2025 Fall: Introduction to Fermat's last theorem
2025 Fall: Introduction to Fermat's last theorem
이번 강의는 대수학 특강으로, 대수적 정수론에 대한 기본적인 지식을 갖춘 학생들을 대상으로 한다.
정수론의 가장 고전적이면서 유명한 문제 중에 하나인 페르마의 마지막 정리(FLT)에 대한 와일즈의 증명을 이해하는 것을 목표로 한다.
증명을 정확하게 이해하기 위해서 필요한 여러가지 도구들을 소개하고, 궁극적으로는 타원곡선, 보형곡선, 보형형식, 갈루아 표현 등에 등장하는 여러가지 용어의 정의를 이해하고, 유명한 정리에 익숙해지며 그들을 사용하여 FLT가 MLT(modularity lifting theorem)의 증명으로부터 얻을 수 있다는 것을 보인다. 마지막으로, MLT를 증명하고 (semistable) 타원곡선의 modularity를 증명(을 소개)한다.
수업 전 해당 주제에 대해 조금 쉽게 접할 수 있는 책으로는 [link], [link] 를 추천한다. 이외에도 여러 expository articles가 있고, Youtube에도 다양한 강연들이 있다(아래 참조).
[DDT]=Fermat's last theorem by Darmon, Diamond and Taylor
[CSS]=Modular forms and Fermat's last theorem by Cornell, Silverman, Stevens (editors) (학교에서 다운로드 가능), [video]
[Mur]=Seminar's on Fermat's last theorem by Murty (editor)
[CY]=Elliptic curves, modular forms and Fermat's last theorem by Coates, Yau (editors)
[CR]=Arithmetic algebraic geometry by Conrad, Rubin (editors)
Fermat's last theorem 1, 2 by Saito
Modularity lifting theorems by Gee [link], see videos from AWS [link]
Richard Taylor's Lecture note [pdf]
Elliptic curves (e.g. Milne's elliptic curves, Knapp's elliptic curves, Silverman's classic)
Modular forms and modular curves (e.g. Milne's note [link], Schraen's note [pdf], Diamnond and Shurman's book, Diamond and Im in Seminar's on Fermat's last theorem)
Galois representations (e.g. Wiese's note [link], Bruin and Kret's note [link], Taylor's article [link]) ....
Hecke algebras and modular forms
level-raising and lowering and so on
Galois cohomology and Selmer groups
Galois deformations / Modularity lifting theorem
Mazur [link], Ribet [link], [link], Rubin-Silverberg [link], Gouvea [link], Buhler in [CR] above [ (especially good for the early lectures)
Calegari [link], Emerton [link], Thorne [link], [link], [link], Newton [link]...