2022 Fall: Class Field Theory

주교재: Class field theory by Neukirch [link]

• CFT를 공부하는데 가장 중요한 책(?)은 이견이 있겠지만 아직까지도 Cassels--Froehlich의 Algebraic Number theory입니다. 새로 출판된 버전엔 예전 버전(1967년)의 errata로 시작합니다. 이 errata는 이곳에도 확인할 수 있습니다 [link]. (연습문제 풀이? [link])

• CFT 전반에 대한 다른 책들은 크게 cohomology를 강조하여 쓴 우리 교재인 Neukirch의 책과, Milne의 책이 있습니다 [link]. 두 책의 밸런스(?)를 잡으려는 시도 중에 하나는 Kedlaya의 project가 있습니다 [link]. 또 다른 하나로는 Harari의 책 Galois cohomology and class field theory가 있습니다. 이 책은 Poitou--Tate duality를 증명하는 것을 목표로 CFT를 소개합니다. Milne의 책을 포함하여 이 세 개는 교재 후보였는데 결국 Neukirch를 최대한 따라가는 방향으로 수업을 진행하기로 결심했습니다. 학생들의 의견(?)을 반영하여 최대한 갈루아 코호몰로지 이론에 집중하여 CFT를 소개하고자 합니다.

• 물론 Artin--Tate의 classic도 있습니다...(할많하않)... 이를 위한 group cohomology background를 소개하는 책으로는

-- Lang의 Topics in cohomology of groups

--Weiss의 Cohomology of groups... 두 책 다 정말 꼼꼼하게(?) 설명하고 있으니 정말로 자세히 보고 싶은 분들은 참고하세요...

• 책과 다른 장점을 갖는 강의록으로는 여러가지가 있겠지만 저는 Zhu의 것을 재미있게 읽었습니다 [link]. Jannsen것도... [link].

• 수업시간에는 다루지 않을 테지만....Local fields와 Lubin--Tate theory등에 대한 내용은....

--Serre의 Local fields책이 있습니다. (Galois cohomology, Algebraic groups and class fields 등도 있습니다.)

--Serre책의 introduction에 해당하는 Guillot의 책 A Gentle Course in Local Class Field Theory도 있습니다.

--Iwasawa의 Local class field theory 책도 있습니다.

--Yoshida의 paper가 있습니다 [link].

--Schneider의 note도 있습니다 [link].

--좀 더 elementary(?) 버전으로 Allen의 강의록이 있습니다 [link].

--local field에 대한 (짧은) Berger의 강의록도 있습니다 [link].

• 마지막으로 CFT의 역사에 대해서는 K. Conrad의 note가 있습니다 [link].

모든 참고문헌을 다 볼 순 없습니다. 또한 강의록들은 교과서에 비해 정제되지 않은 단점(e.g. 오타, 부정확한 내용들)이 있을 수도 있습니다. 가볍게 살펴보고 맘에 드는 것을 기본으로 좀 더 세심히(?) 공부하는 것을 추천합니다. 일단 이번학기 수업을 통해 Neukirch책을 다 같이(?) 세심히 읽고 이해하는 것을 추천합니다...

• 9월 19일 수업 내용 보충: [pdf]

[참고영상] 10월... 잦은 휴강 시간에 보면서 복습하시기 바랍니다.

• Borcherds: Commutative algebra lectures [link] (homological algebra part [link]) --기본적으로 가환대수에 대한 영상으로 homological algebra 파트를 참고하시면 현재까지 공부한 내용에 대한 충분한 복습이 될 수 있습니다.

• Lozano-Robelldo's 2 talks [link] -- 타원곡선론을 공부하는데 필요한 galois cohomology 지식에 대한 설명을 들을 수 있습니다.

• Some curators 11 short videos [link] -- 가볍게 복습하기에 적절한 영상

• Inflation-Restriction sequence--Weston의 짧은 노트 [link], video by other [link]

[기말 보고서 주제]

• Kummer theory for degree n extension

• Lubin-Tate theory (Local CFT)

• Kronecker-Weber theory

• j-invariant and Kronecker's jugentraum

• Tate thesis

• L-functions

• explicit CFT (e.g. computation of Hilbert symbol)

[몇몇 참고도서]

• Ideles [link]

• Geometric class field theory [link], [link], [pdf]

• L-functions [link], [link], [link], [link], [link]