Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2
public class Solution { public int numTrees(int n) { int[] count = new int[n+1]; count[0] = 1; count[1] = 1; for(int i =2 ; i<= n; i++){ for(int j = 0 ; j< i ; j++){ count[i] += count[j]*count[i-j-1]; } } return count[n]; } }
mistakes: i loop starts from 2 because 0 and 1 already be assigned value
learned:
1 1 2 3 3
\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ / \
2 3 1 2
比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。
定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，
如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1
如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1
如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根的情况) --> [1,2] 左边为空 count[0],右边只有一个元素count[1]
+ Count[1] * Count[0] (2为根的情况。 -->[1,2] 左边只有一个元素count[1]，右边为空count[0]
再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2] (1为根的情况)
+ Count[1]*Count[1] (2为根的情况)
+ Count[2]*Count[0] (3为根的情况)
所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i] 0<=k<i-1
问题至此划归为一维动态规划。