Tanmesék

Egy öreg háromszög

(Matematikai tanmese)

Élt egyszer a végtelenen innen, a váltószámokon túl, egy nagy sötét koordinátarendszer közepén egy öreg háromszög. Nem volt egyebe, mint három daliás szöge: Alfonsó, Bétamás és Gammatyi. Egyszer, amikor közeledni érezte nullára redukálásának idejét, igy szólt szögeihez: "Menjetek szögeim számegyenest látni."

Csomagolt nekik hamuba sült logaritmust és elbúcsuzott tölük. Ök meg fejükbe nyomták hatványkitevöiket és elindultak. Estére, amikor elfáradtak, leheveredtek egy terebélyes egyenlet alá. Hallgatták a köbgyökök csicsergését és a tangensek távoli üvöltését, egykedvüen interpoláltak. Egyszercsak elébük toppant egy kis piros sapkás sinus, és hamuba sült logaritmust kért. Ök azonban nem adtak neki. Erre a piros sapkás sinus elörántotta törtvonalát és pivel osztotta Alfonsót. Bétamás és Gammatyi sen volt rest, rátámadtak. A sinus idejében 180 fokossá vált, nullára redukálódott, és menekülni próbált. Mentek árkon-bokron át, nevezetes szorzatokon és gyöktényezös alakokon kersztül, mig egy sötét, dölt sikban lévö koordinátarenszerbe nem értek. Ennek közepén egy kacsalábon forgó emeletes tört irt le hatalmas köriveket. A sinus elszántan beugrott. Alfonsó, Bétamás és Gammatyi kergették öt a számlálóban, majd a nevezöben, benéztek minden gyökjel alá, kinyitottak minden zárójelet. Gyönyörü, aranyos gyökmegoldó képletek és biborbársony függvények között siettek tovább. Egyszer csak, amikor az egyik árnyas körképletbe bepillantottak, egy implicit alakba mit láttak? Egy megkötözött polinomot. Gyorsan kiemelték a gyökjel alól, és normál alakra hozták. Ekkor az öreg polinom igy szólt: "Alfonsó, Bétamás és Gammatyi! Megmentettetek! Hálából nektek adom három lányom, Amália, Beáta és Cecilia kezét". Lett nagy öröm, átrendezés, hét perioduson át, hetedhét számrendszeren keresztül tartott a lakodalom. Ezalatt folyt szorzás, osztás, gyökvonás, hatványozás, mig a fiatalok közös nevezöre jutottak. Ezután létrehozták legkisebb közös többszörösüket, és még ma is élnek, ha ki nem vonták öket.

(ismeretlen szerző)

Vektória

(Emeltszintü matematikai tanmese)

Hol volt, hol nem volt, a kétváltozós függvényhegyeken is túl, ahol izomorf permutációcsoportok ciklikusan permutálódnak, ott élnek a vektorok a 3 dimenziós lineáris vektortérben: Vektóriában. E történet három vektorról szól: név szerint A Felülvonásról, B Felülvonásról és C Felülvonásról. Testvérek voltak, egy síkon születtek és a kiterjedt FelülVonás klánhoz tartoztak.

Sajna nagy csínytevők: kicsúfolták azokat a vektorokat, melyeknek az övéknél kisebb volt az abszolútéréke, és nem általlottak párhuzamosak lenni a bázisvektorokkal.

Történt egyszer, hogy a három vektor arra vetemedett, hogy páronként merőlegesek lettek egymásra, így létrehoztak egy ortogonális inerciarendszert. Az S sík (ahol éltek) normálvektora, ezt már nem hagyhatta szó nélkül, azonnal számüzte őket S síkról, így lettek 2 dimenziósból 3 dimenziós vektorok. A három számüzöttnek nagyratörő tervei voltak: elhatározták, hogy lineárisan függetlenek lesznek, és bejárják az n-dimenziós teret, de legalábbis új síkot (hazát) keresnek maguknak.

Konvergáltak, konvergálgattak, hol szigorúan monoton növekedve, hol csak monoton növekedve (haladási pályaívük kétváltozós függvény volt), inflexiós pontokon és helyrehozható szakadásokon keresztül. Egyszercsak feltételes elágazáshoz értek, és nem tudták eldönteni merre tovább. B a konvex pályát preferálta, C ellenben a konkávot részesítette előnyben, nem tudtak egyértelmü prioritási sort felállítani. B és C ezen nagyon összevesztek, csak úgy repkedtek a vaskos sértések, B szerint C nem is igazi vektor csak egy félegyenes, míg C nemes egyszerüséggel zérusvektornak nevezte B-t. Már-már vektoriális szorzásra került a dolog, mindketten előkapták négylövetü félautomata determinánsukat, amikor A-nak kézenfekvő ötlete támadt: feldobnak egy érmét, és az érme haladása által leírt pályagörbének előbb megsejtik az integrálját, majd ténylegesen integrálják, amennyiben a megsejtett érték a valódi majoránsa, az első megoldást választják, ha minoránsa a másodikat.

Továbbmentek, mendegéltek, hirtelen azt vették észre, hogy haladási függvényük deriváltja zérus lett, és körbetekintve konstatálták, hogy elérték a lokális maximumot. Ezenközben azonban rájukesteledett, elhatározták, hogy letáboroznak éjszakára. Elővették a magukkal hozott konstansokat, és jóízüen falatozni kezdtek, utóételként kardiodidot csipegettek, és közben elbeszélgettek az élet nagy dolgairól: a szükséges és elégséges feltételekről, integrálkritériumokról, középértéktételekről.

A kellemes csevejt hirtelen szinusz hiperbólikuszok és arkusz kotangensek közeledő üvöltése zavarta meg, gyorsan felírtak egy másodrendü lineáris inhomogén differenciálegyenletet, hogy elriasszák a közelből a ragadozókat. Reménykedtek benne, hogy a buta transzcendens függvények nem ismerik a Laplace transzformációt, így nem tudják egy éjszaka alatt megoldani az egyenletet, az egyenletben elrejtett rezonancia és a zavarófüggvény együttesen nyugodt pihenést biztosít nekik.

Reggel frissen továbbindultak a völgybe, ahol már messziről látszott az ígéret földje: a K sík. A K síkon bináris fák zöldelltek, lyukas tehenek tömték algebrai testüket zamatos gráfokkal, a folyókon kommutatív hálókkal és félhálókkal halásztak az öreg halász utódai, és három hősünk számára a legszembeötlőbb: csábos vektorlánykák kacsintgattak szemérmesen. A, B és C rögtön szeretett volna áttérni a K síkra, azonban a zord normálvektor világosan értésükre adta: mivel lineárisan független vektorok, ezért kizárólag bázisvektorcserés algoritmussal léphetnek be. Segítségül rendelkezésükre bocsátott egy mágikus képletet: -x+2y+3z=2. A három Felülvonás testvér nagyon elszontyolodott, mert nem tudták mi lehet az. Kétségbeesésükben elzarándokoltak a bázisvektorokhoz: i, j és k vektorhoz. Ezek azonban még jól emlékeztek arra, hogy A,B és C párhuzamosak mertek lenni velük, ezért csak annyit mondtak: beszéljenek a normálvektor koordinátáival és keressék a generátorelemet. A mágikus képlet tulajdonképpen a sík egyenlete volt, a három vektor ebből megtudta a normálvektor koordinátáit: n(-1;2;3). Hogy beszélhessenek a koordinátákkal egységvektorrá kellett válniuk, ezért hát leosztották saját koordinátáikat az abszolútértékeikkel. A-nak és B-nek ez sikerült, C azonban osztás után irracionális számot kapott, harsányan átkozódva azonnal visszanövesztette magát, de örökké megmarad a baleset nyoma. A és B sikeresen vette az akadályt és szóba elegyedtek a normálvektor koordinátáival:

- Adjon Gauss ! (Adjon Isten!) - köszön szépen A

- Mit akartok?! - mordulnak rájuk a koordináták

- Úgy hallottuk, ti tudjátok mi az a generátorelem és a bázisvektorcserés algoritmus. - szól B

- Persze, hogy tudjuk, de ilyen csóró egységvektoroknak nem segítünk!

Hmm. Ideje bekeményíteni, gondolja A, majd hangosan így szól:

- Idefigyeljetek ti modortalan valós számok. Lehet, hogy nagy a szátok, de a testvéremnek gyökjel lapul a hátsó zsebében, és nem fél használni! Olyan négyzetgyököt von belőletek, hogy csak úgy porzik.

- Nem félünk az ilyen fenyegetésektől, a sík szempontjából a normálvektor hossza teljesen lényegtelen. Egyébként a -1 negatív szám és nem lehet belőle négyzetgyököt vonni a valós számok halmazán, ez triviális, te primitívfüggvény!

- Akkor talán a komplex számok halmazán... - próbálja menteni a menthetőt A,

B azonban elérkezettnek látja az időt a cselekvésre, óvatosan körülnéz nincs-e túl sok szemtanú, majd előránt egy nagy nullát meg egy törtvonalat a másik zsebéből:

- Elég a szócséplésből! Ha nem válaszoltok azonnal, egyenként leosztalak titeket nullával.

A koordináták szája széle elfehéredik, remegni kezdenek:

- Nem ezt nem teheted! Nullával nem lehet osztani! Csak blöffölsz.

B elszántan közelebb lép, -1 alá helyezi a törtvonalat, majd közelíti a nullát, de ekkor -1 felvisít:

- Gauss segíts! Ez nem normális. NEEE! NEEE! Mindent elmondok, csak ezt ne!

Így történt, hogy A és B megtudta a féltve őrzött bázisvektorcserés algoritmus titkát. Megosztották C-vel is, majd gyakorlatban alkalmazva áttérhettek végre a K síkra, ahol már epedve várták őket E, F és G a normálvektor lányai. A megfelelő vektorok páronként párhuzamosak lettek, összeházasodtak és skaláris szorzatukból még sok kis vektor keletkezett.

Még ma is boldogan élnek, ha közben el nem számolták a koordinátáikat.

(Nagy Sándor, BMF NIK, 2001.06.01)

Vektória II.

(Emeltszintü matematikai tanmese)

Előző történetünk hősei: A, B és C Felülvonás további élete sem szükölködött kalandokban új hazájukba n K síkban. Eleinte mindnyájan boldogok voltak, de később beleuntak a tétlenkedésbe.

A Felülvonás rendezett családi életet élt, algebrai strukturákból szép családi házat épített, ám rettentően unta a Fourier-sorban álldogálást egy kiló konstansért.

B forradalmár lett, harcolt a halmazok egyenlőségéért, és a lineáris függetlenség kivívásáért, de amikor eljött a Függetlenség Napja, immár fölöslegesnek érezte magát.

C müvész lett, relációk kompozícióját örökítette meg az utókornak, hogy legyen mit oktatni a vektoriskolákban, bár az ifjúság hevesen próbálta lebeszélni e meggondolatlan tettéről.

Történt egyszer, hogy a sötét n-dimenziós tér legmélyebb bugyrából egy gonosz Taylor-polinom kígyózott elő. Roppant pusztítást végzett a K síkban, halál és pusztulás (és bukások) kísérték útján, három hősünk ekkor elérkezettnek látta az időt, hogy elhanyagolható hibává redukálják a betolakodót, és megvédjék klánjuk becsületét. A vektorok összedugták kihegyezett fejeiket, hogy a szörnyeteg elpusztításának módozatait megtárgyalják. Szóbakerült a Prüfer algoritmus, iránymenti deriválás, transzformációs mátrix, gráfra feszítés, végül inkább síkbeli transzformációnál maradtak.

Óvatosan becserkészték a fenevadat, de az gyanút fogott, körülinterpolálva felfedezte az önjelölt vektorőröket, és felszólította őket, hogy egyrészt definiálják magukat, mielőtt elfogyasztja őket, másrészt jöjjenek vissza délben, mert már reggelizett. Ekkor B elszántan előreugrott kezében egy éles gyökjellel, a Taylor polinom ebből már látta, hogy ennek a fele sem tréfa, (egy gyökjelből semmi jó nem származik) ádázul morgott és fenyegetően váltogatta az előjeleit, majd B köré tekeredett, hogy megfojtsa. A és C ekkor közbeléptek egy hatalmas szumma jellel. Átalakították a polinomot síkbeli függvénnyé - ami enyhén szinuszos jellegü lett - a polinom azonban még ekkor sem adta fel, tüzet okádott, oszcillálva divergenskedett, kígyószerü testével csapkodott, és egyébként is, inkorrekt módon viselkedett. A három testvér azonban még csak most kezdett belejönni, egy pont körül elforgatták amíg el nem szédült, többször komplett függvényanalízist végeztek rajta (ez kb. olyan mint egy gyomormosás), majd addig deriválták amíg nulla nem lett. Hentesmunka. Borzasztó kegyetlenül kivégezték. A Taylor-polinom maradéktagja fülét-farkát behúzva menekült volna, de elkapták, megszámlálhatóan végtelen számosságú pofonnal látták el, majd összetevőire bontották, és elrettentésképpen részgráfokra feszítették a sík mentén. Ezután a K sík lakói békében élhettek, valamint A B C vektorok sajátértéke nagyot nőtt mindenki szemében.

(Nagy Sándor, BMF NIK, 2001.06.19)

Vektória III

(Vegyes tanmese)

Immáron hosszú ideje béke honol Vektóriában, 3 vektorunk azonban nem bír sokáig megmaradni a kezdőpontján.

A családi élete kissé megromlott, a felesége mostanában holmi idempotenciáról beszélt, már-már elüldözte a háztól.

B magánnyomozócéget alapított, korábban már sikeresen felkutatta a sokat keresett Végtelen néven elhíresült szélhámost, de mostanában csak pang az üzlet.

C müvészlelkülete elemi erővel előtört, gráfokat rajzolt a falakra és egyéb algebrai struktúrákra, müveit egyszerüen graffitiként emlegette. Ettől a tevékenységétől a Vektóriai Közterületfenntartó Társaság (VKT) már több ízben óva intette, és - bár az ifjúságnak ez a tanulási mód már szimpatikus volt - végül ráküldték a vektőrséget.

A,B és főleg C egyre inkább úgy érezte, éghajlatváltozásra van szüksége, így amikor zsoldosokat kerestek az elektriai polgárháborúhoz, B unszolására mind belevágtak. Az elektriaiak hivatalosan nem toborozhattak zsoldosokat vektória területén, így mágneses indukciós vektor minőségében lépték át a határt.

Elektria nagyon félelmetes világ, mindenfelé elektronok cikáznak, amperek és voltok száguldoznak az ívkisülésekben, statikus elektromosságtól kell tartani valamint örvényes erőtér nyelheti el a gyanútlan utazót, aki a macska-, és ferritmágnesköves úton botladozott. A polgárháború a régi, immár dogmává korcsosult energiamegmaradás törvénye miatt tört ki, a harcoló felek egyrészt "Newton!" (ezek a "maradiak"), másfelől "Oryffeus!" (ezek a "haladók", akikhez vektoraink csatlakoztak) felkiáltással vonulnak a csatába. Jelenleg a maradiak vannak elsöprő fölényben, így a haladók minden segítségnek örülnek.

A,B és C egy különleges kommandóba kerültek, aminek a feladata közvetlen támadás indítása a fõbünös Megmaradás ellen. Különleges kiképzést, és ezenfelül egy titkos fegyvert kaptak, ám sietniük kellett, mert a harcoló felek közt egyre nőtt a feszültség. Olyannyira, hogy a feszültség már szinte tapintható volt, bár ez élettani szempontból nem ajánlott, ellenben még mindig egészségesebb, mint rátapintani a lényegre pár ampernyi áramerõsség formájában. A rezgések is kezdtek kritikus szintre érni, már-már elérték a rezonanciafrekvenciát. Míg a teljes haladó haderő egy végső csapásra indult minden mindegy alapon, a támadás leple alatt útnak indult a kommandó.

El is érték Megmaradást, ám ekkor előrontott a közvetlen testőrsége: vérszomjas Nobel-díjas fizikusok vették körül védelmezően.

B zordan megfenyegette őket :

" - Eljött a leszámolás ideje!"

" - Aha, tehát kombinatorika!" - jött a válasz.

B ettől kicsit zavarba jött, nem gondolta, hogy leszámolási problémákkal kell foglalkoznia, zavarának leplezésére gyorsan közvetlen támadást indított, mágneses fluxussal próbálta elkábítani őket, a fizikusok azonban sikeresen hárították a támadást a Nobel-díjukkal.

Kicsit finomabb módszerrel próbálkozott A: előhozakodott az Oryffeus-féle perpetuum mobile-vel, a fizikusok lehurrogták, mivel nem tudta gyakorlatban demonstrálni. (Oryffeus sírba vitte a titkát)

C próbálta megzavarni őket, előrántott egy nabla operátoros képletet, a fizikusok azonban vén rókák, jól tudják, hogy az egyszeres nablálás kétszeres Laplace transzformálásnak felel meg, ami ugye triviális müvelet, ilyesmivel nem lehet zavarba hozni őket. (Nem úgy, mint az elsőéves főiskolás diákokat)

A ekkor a Schauberger-féle hajtómüvel hozakodott elő, amelyből dokumentáltan müködő modell is készült. Schauberger a pisztrángoktól lopta a kialakítás ötletét, szimmetriacsökkenéssel nyert energiatöbbletet. Néhány tudós már kezdett elbizonytalanodni, de a többség "Áltudományos fantazmagória!" felkiáltással továbbra is védelmezte Megmaradást.

Ekkor lépett elő a kommandó eddig háttérbe húzódó alakja, rögtön be is mutatkozott: ő volt Szimmetria. Most látta idejét a titkos fegyver bevetésének. Vésztjóslóan benyúlt a ballonkabátja alá, és valamit lassan kezdett előhúzni. A fizikusok rosszat sejtve összébhúzódtak és parciálisan rendezték soraikat. Szimmetria elővett egy alig száz oldalas levezetést és átnyújtotta a legközelebbi tudósnak. Erre a többiek is közelebb húzódtak, mert ilyen csemegének egyetlen igazi fizikus sem tud ellenállni. Tanulmányozás közben "Fantasztikus! Hihetetlen!" kiáltások hangzottak, majd hitetlenkedő kiáltások, amikor felismerték, hogy az energiamegmaradás csak konzervatív erőterekben igaz. Ekkor néhányan őrjöngeni kezdtek, habzó szájjal próbálták indirekten bizonyítani az ellenkezőjét, de mivel sikertelenek voltak, áttértek kontrapozícióra, majd hipotetikus szillogizmusra. Később ez a bajuk annyira elhatalmasodott, hogy gumiszobába kellett zárni őket. A többiek azonban a formulák interpretálása után rájöttek, hogy ilyen premisszák konjunkciója feltétlenül implikálja a megfelelő konklúziót, vagyis tautológiát nyertek. Olyannyira, hogy a maradiak halmaza hamarosan erősen redukálódott, mi több, bijektíven leképezhető lett az üreshalmazra.

Míg ilyeténmód a védők figyelmét Szimmetria elterelte, ABC vektorok hálót feszítettek Megmaradás köré, a biztonság kedvéért egy kvázi kommutatív félhálót is ráhúztak, majd - régi szokásukhoz híven - megszámlálhatóan végtelen számosságú pofonnal látták el. Később próbálták megállapítani, hogy "alef null", vagy "kontinuum" számosságú volt, végül megegyeztek abban, hogy lényegtelen, mivel az alanynak láthatóan épp elég volt. Talán néhány rúgás is történt, ezeket nem számolta senki. B-nek szemére vetették azt is, hogy a gyökjellel talán mégsem kellett volna úgy összeszurkálnia. Mindenesetre a rábeszélés hatására Megmaradás önként lemondott a nemkonzervatív erőterek feletti uralomról.

A háború ezzel végetért. A három vektort Szimmetria sajátkezüleg tüntette ki a jó vezetőképességü (B-kategóriás jogosítvánnyal rendelkező 8-)) rézből készült háromágú Fluxuskondenzátor éremmel, valamint a konzulátuson keresztül Vektóriában is segített helyre tenni a dolgokat.

Így lett a mesének vége. Aki nem hiszi, tanuljon utána!

(Nagy Sándor, BMF NIK, 2001.09.06)

Ahogy egy elektronikus mese kinézne

(Villamosságtani tanmese)

Hol volt, hol nem volt, talán a T₀ időben, volt egyszer egy szerény, azonban jól megméretezett négypólus, akit Áramnak hívtak. Áram egy szerényen berendezett dual-in-line tokban lakott. Szerénysége ellenére Áram szerette a komfortot, így transzduktori fizetéséböl tellett hideg-meleg telítési áram bevezetésére is, amely zord időjáráskor felmelegítette zárórétegét. Áram már régebben ismerte Ionocskát, kihez átviteli karakterisztikája vonzotta. Ionocska kedves kis induktív tekercs volt, áramkörei mentesek a legcsekélyebb hibaszögtől. Áram rajongott érte, ami érthető, hiszen Ionocska remanens ferrit teste, szimmetrikus impedanciája és módfelett harmonikus félhullámai már a kiszolgált Leydeni Palack dielekrtikumát is átütötték (és ez nem semmi)! Ionocska édesatyja, a népszerü Cosinus Fi, aki elismert ipari mágnes és nagy teljesitménytényezö, már konkrét kapcsolást tervezett leánykája jövőjéről. Csak egy jól meghatározott névértékü, elismert kapacitással kivánt kapcsolatot létesiteni. Ámde most is közbeszólt a megbízhatósági valószínüség, már ahogy az gyakran történni szokott ... Egy napon Ionocska pikofarádjával hazafelé tartott a fodrásztól - ahol félhullámait rakatta be -, midőn a pikofarád szürőláncába egy fürészfog akadt. Örvény Áram minimális futási idővel odasietett, és sikerült is Ionocska vadrezgéseit (még amplitúdómaximumuk előtt) lecsillapítania és egyenirányítania. Csatolási tényezőjük növekedtével Áram meghívta Ionocskát a Differenciál Klubba vacsorára. A Differenciál azonban reflexió miatt zárva volt. Nem tesz semmit - vigasztalta Ionocska, ma már több kiló Hertzet ettem, ügyelnem kell az erővonalaimra. Áram ürügyet talált, és Ionocskát körutazásra hívta Sztátorba. Az inflexiónál mindig rosszul leszek! - hárította el a csábító meghívást Ionocska. Végül mégis vállalkozott (ellentétben atyja intelmeivel) egy kissebb frekvenciamenetre a közeli szórt mezőben. A komplex sík felett lassan leereszkedett az este, csak az égen ragyogtak a csillag-delta kapcsolások. Csupán egy magányos oszcillátor röpködött a fejük felett, valahol szelíden csobogtak a rövidhullámok, és halkan zúgtak a reduktorok. A Wheatstone-hídnál Áram mágneses terébe vonzotta Ionocskát és igy élvezték a modulációt. ... és ma is rezegnek, ha azóta le nem csillapodtak.

(ismeretlen szerző)

A Vektória 1-2-3 történetek szerzője szerény személyem, ezek utánközölhetők, egyes részei vagy egészük tetszőlegesen felhasználhatóak.

Nagy Sándor, 2001