CÁLCULO DE LA MASA TERRESTRE

Newton recibe un chichón por una manzana casi como su cabeza

La ley de gravitación de Newton expresa que la fuerza con la cual son atraídos los objetos por la Tierra en las cercanías a su superficie se calcula como:

F=-G·m·M/r²

F expresa el valor en magnitud de tal fuerza; G, la constante de proporcionalidad de la ley de gravitación; m, el valor de la masa de cualquier objeto en las cercanías de la superficie terrestre; M, el valor de la masa de la Tierra, y r el valor de la longitud del radio terrestre. Nótese que se toma el radio terrestre y no la separación entre el objeto y la superficie terrestre; esto se debe al primer teorema de cascarones de Newton: en cuerpos esféricos, la ley de gravitación es aplicable sólo si se mide la separación de sus centros, pues la ley de gravitación de Newton sólo es aplicable directamente para cuerpos puntuales. Dado que en general todos los cuerpos son muy pequeños respecto al tamaño de la Tierra, se asume que son puntuales; asimismo se considera que la Tierra tiene una forma perfectamente esférica (lo cual se sabe no es del todo cierto, aunque sí es muy buena aproximación).

Dado que en valor en magnitud de la fuerza con que son atraídos los cuerpos en las cercanías de la superficie terrestre también se expresa como F=-m·g, y g expresa el valor de la aceleración gravitacional, se tiene:

-m·g=-G·m·M/r²

Esto se reduce a:

M=g·r²/G

Así es posible calcular la masa de la Tierra

Henry Cavendish (siglo XVIII) pretendía determinar la densidad promedio de la Tierra. Dado que Eratóstenes ya había calculado el radio terrestre (r=6.366x10⁶ m), él conocía el volumen, pero no contaba con el valor M de la masa de la Tierra. Entonces, mediante una balanza de torsión y unas esferas de plomo instaladas a ella obtuvo que G tenía un valor de 6.73x10^-11 N·m²/kg². Hoy en día el valor aceptado de G es de 6.6735x10^-11 N·m²/kg² aproximadamente. El valor de g también era muy bien conocido en su época (9.81 m/s², en promedio, al nivel del mar), así que el valor M de la masa terrestre quedaría como:

M=(9.81 m/s²)·(6.366x10⁶ m)²/(6.6735x10^-11 N·m²/kg²)

M=5.956x10²⁴ kg

Nuevamente, la masa de la Tierra tiene un valor de 5.956x10²⁴ kg aproximadamente.

Masa de la Luna

Si se entiende “peso de la Luna” como la fuerza con la que Tierra atrae a la Luna… no es cero y podemos calcularlo:

Según Newton:

F = G*M*m/d^2

M= masa de la Tierra = 5,972 × 10^24 kg

m = masa de la Luna = 7,349 × 10^22 kg

G = 6.64*10^-11 N*m^2/Kg^2

d= distancia del centro de la Tierra al centro de la Luna =

= ‘distancia de la Tierra a la Luna’

= 384 400 000 m = 3.844 * 10^8 m

Haciendo el cálculo:

F = [ 6.64 * 5.972 * 7.349 / (3.844^2) ] * 10^ (24+22–11–8*2)

= 19.72 * 10^19 N

F = 1.972 * 10^20 N

Ese sería el “peso de la Luna”, entendido como la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna, estando la luna donde suele estar.

Comparemos esta fuerza con la que experimentaría si en lugar de estar alejada estuviese en la superficie de la Tierra.

En la superficie de la Tierra : d=R (radio de la Tierra)

Bueno, esto sería si la luna fuese un punto muy pesado… luego calculo si el centro de la luna está a una altura igual al radio de la luna.

F = G*M*m/R^2

Y el factor G*M/R^2 es lo que se conoce como g (aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra… que tiene unidades de m/s^2) = aproximadamente 10 m/s^2

Comprobemos que es así:

R = 6371 Km = 6.371*10^6 m

g = G*M/R^2

= 6.64*10^-11 * 5.972 * 10^24 / (6.371 * 10^6 )^2 =

= 9.769 N / Kg

= 9.769 m/s^2

Por tanto, el “peso” de la luna, si estuviese en la superficie de la Tierra sería:

F = m*g =

= 7,349 × 10^22 kg * 9.8 m/s^2 =

= 7.2 * 10^23 N

Dividiendo esta fuerza, por el valor que obtuvimos antes: 1.972 * 10^20 N

cociente = 7.2 * 10^23 N / 1.972 * 10^20 N = 3651

Es decir, si estuviese en la superficie de la Tierra la Luna “pesaría” (se sentiría atraída por la Tierra) con una fuerza 3651 veces mayor. Pero al estar lejos, el peso que siente la Luna es 1 parte entre 3651 del que sentiría sobre la Tierra. Comparativamente es bastante menor pero es una fuerza muy grande. Sin embargo la aceleración centrípeta (hacia el centro de la Tierra) es pequeña, porque esa fuerza en comparación con su masa es pequeñita. (aceleración = Fuerza / masa)

Lo mismo ocurre con una persona si se compara lo que la Tierra atrae a esa persona en la superficie de la Tierra y lo que la Tierra atrae a esa persona si se aleja mucho, a la distancia que está la Luna: pesaría 3651 veces menos… Es decir, una persona de 73 Kilogramos de masa sentiría una atracción (empuje) hacia la Tierra equivalente al empuje hacia abajo de un objeto de 20 gramos (cuando ese objeto de 20 gr estuviese en la Tierra), que equivale a 0.2 Newtons, muy poco comparado con los 730 Newtons que sentiría en la superficie terrestre. La aceleración que experimentaría Armstrong hacia la Tierra sería: a = 0.2 N/ 73 Kg = 0.0027 m/s^2

Es decir, como consecuencia de esa aceleración, al cabo de 1 segundo su velocidad de acercamiento a la Tierra sería solamente de 3 milímetros cada segundo.

Pero esa misma persona, en la superficie de la Luna sentiría una atracción hacia la Luna bastante mayor.

El radio de la Luna son 1737 Km… así que:

F_luna_persona = G * m_persona * m_luna / Radio_luna^2

= 6.64*10^-11 N*m^2/Kg^2

* 73 Kg

* 7.349 × 10^22 kg

/ (1737000 m)^2

= 118 N

Es decir, el “peso” de la persona sobre la Luna (entendido como la fuerza de atracción de la Luna) sería la sexta parte que el peso sobre la Tierra.

Su aceleración hacia la Luna sería la sexta parte de g… unos 1.66 m/s^2

La conclusión es que aunque la Tierra tirase de la persona, la Luna tira más fuerte y caería hacia la Luna. El astronauta Armstrong no sale volando hacia la Tierra sino que cae pegado a la Luna.

Podríamos decir que por cada segundo que pasa la Tierra intenta que vaya a una velocidad de 3 milímetros por segundo pero la Luna intenta que vaya a 1.66 metros por segundo, que serían 1660 milímetros por segundo, y lo que hace es ir hacia la Luna a una velocidad de (1660–3)=1657 metros por segundo.

Añado:

ahora el peso de la luna si el centro de la Luna estuviese a una altura igual a su radio, es decir, a 1737 km

F = G*M*m/d^2

d = R + r

R = 6371 km = 6.371*10^6 m

r = 1737 km = 1.737*10^6 m

d = R + r = 8108 km = 8.108 *10^6 m

g = 6.64*10^-11 * 5.972 * 10^24 / (8.108 * 10^6 )^2 = 6.03 N/Kg = 6.03 m/s^2

F = m*g =

= 7,349 × 10^22 kg * 6.03 N/Kg =

= 4.43 * 10^23 N

Si dividimos :

cociente = 4.43 * 10^23 N / 1.972 * 10^20 N = 2246

Según este nuevo cálculo, el peso de la Luna si estuviese sobre la Tierra como cuando pones una pelota en una báscula sería 2246 veces el peso que tiene la Luna normalmente, estando lo lejos que está.