Основание системы счисления на основании наибольшего числа делителей

Как вы знаете, количество минут в часе, и количество секунд в минуте равно 60. А количество градусов в круге 360. Почему?

Исторически данное количество осталось от древних египтян, а те - от вавилонян. Древние вавилоняне пользовались шестидесятиричной системой счисления [1]. То есть для каждого числа от 0 до 59 у них существовал определенный символ (набор совместно применяемых символов, если быть точнее). Для работы с дробными числами применялись шестидесятиричные дроби.

Почему древние выбрали для основания своей системы счисления 60?

По идее древних, основание должно быть таким, чтобы предметы, выраженные числом, можно было делить как можно на большее число различных чисел без остатка.

На целых числах это сложно объяснить, а вот на дробных можно объяснить просто. Если у нас имеется запас зерна, расфасованных в 45 мешков, то как поровну разделить на 2? Если у нас имеется тот же запас зерна, расфасованный в 30 мешков, то на 2 разделить уже проще, но как разделить это зерно на 4 части? Уловили уже проблему? Вавилонцы не знали еще десятичных дробей, не умели выполнять деление столбиком и вообще имели еще большие проблемы с математикой в теоретическом плане.

Для строительства и управления государством требовался большой объем работ по планированию и бухгалтерии. Необходимо было точно распределять ресурсы.

Вавилонцы нашли довольно смелое решение. Они выбрали в качестве системы счисления 60.

Теперь группу в 60 воинов можно было просто распределять на группы.

Круг, поделенный на 60 * 6 можно было делить на множество углов. Ну и так далее. Да и разделить круг карандашиком на 360 намного проще, чем на 100 (попробуйте сами).

Теперь самое интересное.

Почему именно 60? Какие есть числа, которые можно положить в качестве системы счисления, у которых много делителей?

С увеличением чисел количество делителей в подходящих числах увеличивается. 4 - 2 делителя, 5 - 1, 6 - уже 3, 7 снова 1 и так далее.

Давайте попробуем перебрать числа и посчитать. Какая будет зависимсть?

Решать будем на MS SQL. SQL не язык программирования, но такую задачу можно решить.

IF OBJECT_ID('tempdb..#num', 'U') IS NOT NULL

DROP TABLE #num

CREATE TABLE #num ( num int )

SET NOCOUNT ON

DECLARE @num_cur int

SET @num_cur = 2

WHILE @num_cur < 8000 BEGIN

INSERT INTO #num VALUES (@num_cur)

SET @num_cur = @num_cur + 1

END

SET NOCOUNT OFF

print 'делители по основаниям'

SELECT m.num AS num , d.num AS delitel

FROM #num m

INNER JOIN #num d ON

(d.num < m.num)

AND (m.num % d.num = 0)

AND (m.num / d.num <> 1)

ORDER BY num, delitel

print 'количества делителей по основаниям'

SELECT m.num AS num , COUNT(d.num) AS delitel_count

FROM #num m

INNER JOIN #num d ON

(d.num < m.num)

AND (m.num % d.num = 0)

AND (m.num / d.num <> 1)

GROUP BY m.num ORDER BY num

DROP TABLE #num

Результаты оформляем в диаграмму.

Глядя на эту диаграмму видим, что 60 - это минимальное число, у кторого имеются максимальное число делителей (10), находящееся в разумных пределах - до сотни. Больше него вплоть до 12 количесто делителей не увеличиваются.

Если просчитать до 8000, то получим следующую картину: