TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ
que recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta.
En realidad, esta ecuación es válida cualquiera que sea el número de dimensiones con que
trabajemos; la diferencia radica en que la descomposición en coordenadas o componentes es
distinta. Sea −→x = (x1, x2, · · · , xq) un punto genérico de la recta, −→x 0 = (x01, x02, · · · , x0q) y
−→v = (v1, v2, · · · , vq) el punto y el vector que definen la recta; entonces
Definición 1.19 (Ecuación vectorial de la recta)
La relación
−→x = −→x 0 + t−→v , t ∈ R,
se denomina ecuación vectorial de la recta L ⊂ Rq que pasa por el punto −→x 0 y
tiene como vector director a −→v
Al descomponer la ecuación vectorial en componentes obtenemos una representación alternativa
de la recta. En efecto
Definición 1.20
El sistema de ecuaciones
x1 = x01 + tv1; x2 = x02 + tv2; · · · ; xq = x0q + tvq, t ∈ R,
recibe el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por −→x 0 =
(x01, x02, · · · , x0q) y tiene como vector director a −→v = (v1, v2, · · · , vq).
Supongamos que vi 6= 0 cualquiera que sea el valor del subíndice y que depejamos t en todas
y cada una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones paramétricas; entonces
t =
x1 − x01
v1
=
x2 − x02
v2
= · · · =
xq − x0q
vq
.
Estas igualdades definen q − 1 ecuaciones independientes llamadas ecuaciones simétricas de
la recta. En tres dimensiones se escriben como
t =
x − x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
,
donde a, b y c son en este caso las componentes del vector director de la recta.
Ejercicio:
Dejamos como ejercicio para el lector la obtención de las ecuaciones simétricas si a = 0 y
b, c 6= 0.
Tomando como ejemplo el resultado de este ejercicio estamos en disposición de dar el caso
general, es decir, aquel en el que parte de las componentes del vector director son nulas
1.5. CURVAS EN RQ 31
Definición 1.21
Sea L ⊂ Rq la recta que pasa por −→x 0 = (x01, x02, · · · , x0q) y tiene como vector
director a −→v = (v1, v2, · · · , vq), cuyas componentes cumplen que vi1 = vi2 =
. . . vin = 0 y vj1, vj2 , . . . , vjm 6= 0, con n + m = q. Entonces, el sistema
xj1 − x0j1
vj1
=
xj2 − x0j2
vj2
= . . . =
xjm − x0jm
vjm
,
xi1 = x0i1
; xi2 = x0i2
; . . . ; xin = x0in ,
recibe el nombre de ecuaciones simétricas de la recta.
TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ
Ejemplo 1.8 (Recta que pasa por dos puntos distintos)
Por supuesto, las ecuaciones anteriores no agotan las formas en las que podemos caracterizar una recta
en el espacio (ni en Rq en general). Una de ellas consiste en expresar la recta como la intersección de dos
planos, otra en proporciar las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta; en este último caso es
trivial adaptar las ecuaciones simétricas.
−→v
(x0, y0, z0)
(x1, y1, z1)
Figura 1.19: Recta que pasa por dos
puntos
Puesto que conocemos dos puntos −→x 0 y −→x 1 por los que
pasa la recta, podemos utilizar como vector director el segmento
dirigido que tiene origen en uno de los puntos y extremo
en el otro; las componentes de tal vector se obtienen
como sigue: −→v = −→x 1 −−→x 0 = (x1 −x0, y1 −y0, z1 −z0).
Substituyendo este resultado en las ecuaciones simétricas,
es decir, tomando a = x1 − x0, b = y1 − y0 y c = z1 − z0,
resulta
x − x0
x1 − x0
=
y − y0
y1 − y0
=
z − z0
z1 − z0
.
Para finalizar es conveniente realizar un par de comentarios, que el lector atento ya habrá
tenido en cuenta:
1. A diferencia de las ecuaciones simétricas, las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial
no sólo definen la recta sino que la dotan de una orientación, esto es, indican en qué
orden se recorren los puntos de la misma. A medida que damos valores al parámetro t
recorremos la curva según el sentido del vector director.
2. Independientemente de las dimensiones del espacio euclídeo, una recta viene caracterizada
por un único grado de libertad, es decir, basta un parámetro real para describir las
coordenadas de todos los puntos de la recta.
1.5.2 Ecuaciones vectoriales y paramétricas de una curva
Consideremos, para fijar ideas, una función vectorial continua
−→r (t) = x (t)−→ı + y (t)−→ + z (t)−→k \. t ∈ I ⊂ R,
cuyos valores son vectores de posición que fijan la posición de distintos puntos P del espacio.
Aunque no hemos definido la continuidad de una función vectorial, el lector con conocimientos
sobre las funciones de una variable podrá admitir sin dificultad que si la función es continua dos
puntos P1 y P2, correspondientes a valores t1 y t2, se encontrarán tan próximos como se quiera
sin más que exigir que |t1 − t2| ≪ 1. Por tanto, es razonable afirmar que la imagen
C =
n
x−→ı + y−→ + z−→k ∈ R3 \. x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I
o
,
de la función anterior define una curva en el espacio, que denotamos C y que no posee saltos ni
agujeros. En numerosas ocasiones se utiliza la notación
C : −→r (t) = x (t)−→ı + y (t)−→ + z (t)−→k , t ∈ I,
para señalar de forma simplificada que la curva C viene parametrizada por dicha función vectorial.
Las ecuaciones
x = x(t); y = y(t); z = z(t),
1.5. CURVAS EN RQ 33
reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva C.
Para convencernos de que existe una relación muy estrecha entre funciones vectoriales y curvas
en el espacio estudiaremos unos pocos ejemplos:
Ejemplo 1.9 (Parametrización de la recta)
Una recta es un caso especial de curva, quizá el más simple de todos. Hemos visto que las ecuaciones
paramericas de la recta L que pasa por el punto −→x 0 = (x0, y0, z0) y tiene como vector director −→v =
(a, b, c) son x = x0+at; y = y0+bt; z = z0+ct, y en forma vectorial L : −→r (t) = −→x 0+t−→v , t ∈ R.
Ejemplo 1.10 (Parametrización de la circunferencia de radio unidad)
Sea la función vectorial
−→r (t) = cos(t)−→ı + sen(t)−→ + 0−→k , t ∈ [0, 2π) .
De acuerdo con las ideas precedentes, la curva asociada tiene por ecuaciones paramétricas
x = cos(t); y = sen(t); z = 0.
Dado que z = 0 podemos restringirnos al plano XY . Para determinar de qué curva se trata vamos a
efectuar una representación gráfica; elaboraremos una tabla con los valores de las coordenadas x e y de
los puntos de la curva correspondientes a diversos valores seleccionados de t.
_
4
3_
4 1 √2
1 √2
5_
4
3_
2
7_
4
_
2
t = π
t = 0
Figura 1.20: Función vectorial: Circunferencia
t x y z
0 1 0 0
π
4
1
√2
1
√2
0
π
2
0 1 0
3π
4 −
1
√2
1
√2
0
π −1 0 0
...
...
...
...
La representación en el plano de estos pocos
puntos basta para darse cuenta de que es una circunferencia
de radio a = 1 (además es una circunferencia
orientada porque recorremos la curva
en sentido contrario a las agujas del reloj, según vamos dando valores a t).
Aun podemos obtener una verificación adicional de que se trata de una circunferencia de radio unidad;
en efecto
x2(t) + y2(t) = cos2(t) + sen2(t) = 1.
Ejemplo 1.11
En este ejemplo deduciremos la forma de la función vectorial que caracterice la curva C intersección
del cilindro de radio 1 centrado sobre el eje Z (x2 + y2 = 1) y el plano de ecuación y + z = 2.
La figura 4.6 muestra de forma esquemática como se obtiene la curva C como intersección de las dos
superficies. Resulta patente que la proyección de C sobre el plano XY coincide con la base del cilindro,
que denominaremos Cxy
Según el ejemplo precedente una circunferencia en el plano se parametriza como
Cxy : −→r (t) = cos(t)−→ı + sen(t)−→ \. t ∈ [0, 2π)