Matemáticas

Cálculo multivariable

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Índice general

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Índice general V

1 Geometría y topología de Rq 1

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 El espacio euclídeo Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Producto escalar y distancia euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Bases ortogonales en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Volumen de un sistema de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Clasificación de los subconjuntos de Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Bolas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Intervalos en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3. Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Primera toma de contacto con las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Curvas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2. Ecuaciones vectoriales y paramétricas de una curva . . . . . . . . . . 32

1.6 Superficies en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.2. Ecuaciones escalares de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7.2. Coordenadas polares generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.3. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.4. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.A Caracterización de regiones en el plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.A.a. Caracterización de regiones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.A.b. Caracterización de regiones _sólidas_en el espacio . . . . . . . . . 47

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Funciones reales escalares 51

2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Representación gráfica de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.2. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.3. Secciones de una gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3 Límites y continuidad de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4 Derivabilidad de una función escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1. Interpretación geométrica de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.A Representación de superficies cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.A.a Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V

VI

ÍNDICE GENERAL

2.A.b Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.A.c Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.A.d El Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.A.e El paraboloide elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.A.f El paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.B Caracterización de regiones delimitadas por superficies cuádricas . . . . . . . . 96

2.C Algunos trucos para el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.C.a Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.C.b Cálculo de límites en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3 Diferenciabilidad de las funciones escalares 107

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.2 Definición de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Propiedades de las funciones escalares diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4 Propiedades del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.5 Plano tangente y recta normal a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6 Algunos teoremas de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.6.1. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.6.2. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6.3. Diferenciación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.6.4. Funciones continuamente diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.6.5. Desarrollo finito de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 Funciones vectoriales 145

4.1 Definición de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2 Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.1. Límites y continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . 147

4.2.2. Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 151

4.3 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3.2. Representación gráfica de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 160

4.3.3. Gradiente, divergencia y rotacional de un campo . . . . . . . . . . . 161

4.3.4. Interpretación de la divergencia y el rotacional . . . . . . . . . . . . 162

4.3.5. Algunas relaciones básicas del operador ∇ . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3.6. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.4.1. Derivadas de una trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.4.2. Curvas suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.5 Integrales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5.1. Partición y medida de un arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5.2. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.5.3. Integrales de línea y arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.5.4. Influencia de la orientación de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.5.5. Integrales de línea de campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 185

4.A Curvatura y sistema intrínseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.A.a Definición de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.A.b Triedro intrínseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

ÍNDICE GENERAL VII

5 Extremos de las funciones escalares 197

5.1 Definición de extremo local o relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2 Condición necesaria de extremo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3 Condición suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.3.1. Desarrollo de Taylor alrededor de un punto crítico . . . . . . . . . . 203

5.3.2. La diferencial segunda como forma cuadrática . . . . . . . . . . . . 204

5.3.3. Criterio de suficiencia de la diferencial segunda . . . . . . . . . . . . 205

5.3.4. Criterio de la diferencial segunda en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.4 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

El proyecto libros abiertos 221

Otros documentos libres 226

Tema 1

Nociones sobre la geometría y topología de Rq

1.1 Introducción

Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. Introducido en la antigüedad,

el concepto se ha ido generalizando y profundizando con el tiempo. El número es

esencial en el desarrollo de diversas disciplinas como la Física, la Química, la Economía o la

Informática. Las magnitudes físicas1 están definidas por un valor numérico, un error (también

numérico) asociado a las limitaciones del proceso de medida y una unidad adecuada a su dimensión.

Las matemáticas estudian las magnitudes haciendo abstracción de su naturaleza y de como

han sido medidas, es decir, no tienen en consideración unidades o posibles errores. De forma genérica

consideraremos que los valores numéricos carecen de dimensiones y en los pocos casos

en que les asociemos una dimensión no utilizaremos un sistema de unidades concreto.

El cero, los números naturales N y sus opuestos constituyen el conjunto de los números enteros

Z. Todas las razones de dos números enteros p/q (con q 6= 0) dan lugar a los números

racionales que se denotan por Q. Los números enteros son un subconjunto de los racionales,

Z ⊂ Q, ya que cualquier entero p se puede escribir como la razón p/1 de dos números enteros.

Los números fraccionarios se pueden representar por fracciones finitas o por fracciones

periódicas infinitas; por ejemplo

5

= 2.5,

2

10

= 3.333 . . .

3

Existen además números en forma de fracciones indefinidas aperiódicas que se denominan

irracionales. Ejemplos de estos números son

√2, lím

n→∞

_

1 +

1

n

_n

.

La unión de ámbos tipos de números, racionales e irracionales, da lugar al conjunto de los

números reales R. Los números reales están ordenados: para cualquier par x e y se cumple una

y sólo una de las siguientes relaciones x < y, x = y, x > y.

Otro hecho importante es que R puede representarse geométricamente como una recta. Se

llama recta real o eje númerico a una recta infinita en la que se han establecido: i) un origen que

se denota habitualmente como O, ii) un sentido positivo (señalizado mediante una flecha) y iii)

una escala para medir longitudes. Normalmente la recta real se representa en posición horizontal

y se considera positivo el sentido izquierda-derecha. Cuando x es positivo se representa mediante

un punto P situado a la derecha de O y a una distancia d(O, P) = x. Si es negativo se le

representa por un punto Q situado a la izquierda de O y a una distancia d(O, P) = −x. El cero

corresponde al propio origen O.

Por este método cada número real x está representado por un punto P de la recta real. Diremos

que el valor numérico x (incluyendo el signo) es la _distancia orientada_del punto P al origen.

1Elegimos este ejemplo ya que el curso está orientado a los alumnos de la Licenciatura en Física.

1

2

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

P X

X0

Figura 1.1: La recta real

La relación es biunívoca: dos puntos distintos caracterizan números reales distintos. Y por ello

los términos número real y punto del eje real son sinónimos y así los utilizaremos.

En lo que sigue utilzaremos las siguientes propiedades de los números reales, que aceptaremos

sin demostración:

1. Dados dos números reales arbitrarios x < y, existen números reales z, tanto racionales

como irracionales, que verifican que x < z < y.

2. Todo número irracional se puede expresar con grado de precisión arbitrario mediante

números racionales.

1.2 El espacio euclídeo Rq

1.2.1 Producto escalar y distancia euclídea

De forma análoga existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares

ordenados de números reales, que reciben el nombre de coordenadas del punto. Consideremos

dos rectas perpendiculares situadas sobre el plano a las que llamaremos ejes coordenados X e

Y ; elegiremos su intersección O como origen de coordenadas, definiremos sobre ámbos ejes

una escala adecuada y asociaremos el origen de coordenadas con el par (0, 0). Dado un punto

P trazamos dos segmentos que pasan por él y son perpendiculares a los ejes. Sus intersecciones

con los ejes definen dos puntos a los que corresponden valores numéricos x0 e y0, tal como se

muestra en la figura 1.2. Los dos números del par ordenado (x0, y0) se denominan coordenadas

cartesianas del punto P.

y

x

x0

y0 P

Figura 1.2: Coordenadas cartesianas en el plano

Los puntos en el espacio se caracterizan de forma similar mediante ternas de números reales

ordenados. Elijamos tres rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto del espacio.

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 3

Las tres rectas reciben el nombre de ejes coordenados X, Y y Z y su intersección O el nombre

de origen de coordenadas. Definimos una escala adecuada sobre los tres ejes coordenados y

asociamos la terna (0, 0, 0) al origen de coordenadas. Dado un punto P procedemos como antes:

trazamos segmentos que pasan por dicho punto y son perpendiculares a los ejes coordenados;

sus intersecciones con dichos ejes definen tres puntos caracterizados por los números x0, y0 y

z0, que reciben el nombre de coordenadas cartesianas del punto P.

La elección de los ejes X, Y y Z es arbitraria a excepción de las dos reglas siguientes:

1. Los tres ejes son perpendiculares entre sí.

2. Su sentido positivo queda establecido por los dedos pulgar, índice y corazón de la mano

derecha situada sobre la terna de ejes.

$x$

$x_0$

$y_0$

\bf P

$z$

$z_0$

$y$

Figura 1.3: Coordenadas cartesianas en el espacio

Cuando se introduce el concepto de distancia euclídea entre dos puntos, la recta, el plano y el

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

espacio son ejemplos particulares de lo que se llaman espacios euclídeos

Definición 1.1 (Espacio Euclídeo)

El espacio euclídeo (q − dimensional) Rq, con q ∈ N, es el conjunto formado por

todas la sucesiones −→x = (x1, x2, · · · , xq) de q números reales.

Un elemento de Rq se denomina frecuentemente un punto en Rq; R1, R2 y

R3 se denominan la recta, el plano y el espacio respectivamente. Los números

x1, x2, · · · , xq son las coordenadas cartesianas de −→x .

Los elementos de Rq se denominan también vectores en Rq, ya que este espacio es

un espacio vectorial con las operaciones usuales:

−→x + −→y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xq + yq),

λ−→x = (λx1, λx2, · · · , λxq),

y por tanto también será correcto denominar a los números x1, x2, · · · , xq componentes

del vector −→x .

En este espacio se introducen los conceptos de producto escalar de dos vectores

−→x ,−→y

_

,

Xq

i=1

xiyi,

y se definen la norma euclídea de un vector −→x ∈ Rq

−→x

,

q−→x ,−→x

_

=

sX

i

x2i

,

y la distancia entre dos elementos de Rq

d

􀀀−→x ,−→y

_

,

−→y − −→x

=

sX

i

(xi − yi)2

En el caso particular de R la norma coincide con el valor absoluto, es decir, kxk =

|x| y por tanto d (x, y) = |x − y|.

Dado que la norma y la distancia se definen de forma subsidiaria al producto escalar de dos

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 5

elementos de Rq, todas sus propiedades serán consecuencia directa de las propiedades de éste.

Teorema 1.1 (Propiedades del producto escalar)

Si −→x , −→x 1, −→x 2 e −→y , −→y 1, −→y 2 son elementos del espacio Rq y λ ∈ R, entonces se

cumple que:

1. Simetría:

−→x ,−→y

_

=

−→y ,−→x

_

,

2. Bilinealidad:





λ−→x ,−→y

_

=

−→x , λ−→y

_

= λ

−→x ,−→y

_

, −→x ,−→y 1 + −→y 2

_

=

−→x ,−→y 1

_

+

−→x ,−→y 2

_

, −→x 1 + −→x 2,−→y

_

=

−→x 1,−→y

_

+

−→x 2,−→y

_

.

3. Positividad:

−→x ,−→x

_

≥ 0 y

−→x ,−→x

_

= 0 sys −→x = −→0 .

Demostración 1.1

1.

−→x ,−→y

_

=

Xq

i=1

xiyi =

Xq

i=1

yixi =

−→y ,−→x

_

,

2. En virtud de la propiedad precedente bastará con demostrar que

λ−→x ,−→y

_

= λ

−→x ,−→y

_

, −→x ,−→y 1 + −→y 2

_

=

−→x ,−→y 1

_

+

−→x ,−→y 2

_

,

para completar la demostración del punto 2. En efecto,

λ−→x ,−→y

_

=

Xq

i=1

λxiyi = λ

Xq

i=1

xiyi = λ

−→x ,−→y

_

−→x ,−→y 1 + −→y 2

_

=

Xq

i=1

xi(y1i + y2i) =

Xq

i=1

xiy1i +

Xq

i=1

xiy2i =

−→x ,−→y 1

_

+

−→x ,−→y 2

_

3.

−→x ,−→x

_

=

Pq

i=1 x2i

, y la suma de un número finito de sumandos positivos o cero es siempre

positiva o nula; para que la suma sea cero todos y cada uno de los sumandos deben ser nulos.

Las propiedades de la norma de un vector se deducen de forma trivial a partir de las ecuaciones

enunciadas en el teorema 1.1

Teorema 1.2 (Propiedades de la norma)

Si −→x , −→y son elementos del espacio Rq y λ ∈ R, entonces

1.

−→x

≥ 0 y

−→x

= 0 sys −→x = −→0 ,

2.

λ−→x

= |λ|

−→x

,

3.

−→x ,−→y

_

≤

−→x

−→y

.

4.

−→x

+

−→y

≤

−→x

+

−→y

,

Demostración 1.2

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Dejando como ejercicio la demostración de las dos primeras propiedades, nos centraremos en las

dos últimas.

3. Si −→x ó −→y son nulos la igualdad se satisface de forma trivial. Supongamos que −→x e −→y son no

nulos y linealmente dependientes (−→y = λ−→x); entonces

−→x ,−→y

_

=

Xq

i=1

xi(λxi) = λ

Xq

i=1

x2i

= λ

−→x

2

= λ/|λ|

−→x

−→y

.

Por lo tanto

(−→x,−→y

_

=

−→x

−→y

, si λ > 0, −→x,−→y

_

= −

−→x

−→y

< kxk kyk , si λ < 0.

Si, por el contrario, −→x e −→y son linealmente independientes, es decir, −→y − λ−→x 6= −→0 ∀λ ∈ R,

entonces

0 <

λ−→x − −→y

2

=

λ−→x − −→y , λ−→x − −→y

_

= λ2

−→x

2

+

−→y

2

− 2λ

−→x ,−→y

_

,

El miembro de la derecha define una parábola en la variable λ; para que dicha parábola no corte al

eje λ = 0 debe cumplirse que

4

−→x ,−→y

_2

− 4

−→x

2

−→y

2

< 0,

de donde se deduce fácilmente que −

−→x

−→y

<

−→x ,−→y

_

<

−→x

−→y

. Así, cualquiera que

sea el caso la propiedad 3 es correcta.

4.

−→x + −→y

2

=

−→x + −→y ,−→x + −→y

_

=

−→x

2

+

−→y

2

+ 2

−→x ,−→y

_

≤

−→x

2

+

−→y

2

+ 2

−→x

−→y

=

􀀀

−→x

+

−→y

_2

.

Calculando la raiz cuadrada positiva de esta relación obtenemos inmediatamente la propiedad

enunciada en cuarto lugar.

Enunciamos a continuación las propiedades fundamentales de la distancia euclídea, cuya demostración

dejamos como ejercicio para el lector

Teorema 1.3 (Propiedades de la distancia euclídea)

Bajo las mismas condiciones que en el teorema 1.2 se verifica

1. d

􀀀−→x ,−→y

_

≥ 0 y d

􀀀−→x ,−→y

_

= 0 sys −→x = −→y ,

2. d

􀀀−→x ,−→y

_

= d

􀀀−→y ,−→x

_

,

3. d

􀀀−→x ,−→z

_

≤ d

􀀀−→x ,−→y

_

+ d

􀀀−→y ,−→z

_

.

Ejemplo 1.1

Demostremos que la función d1

􀀀−→x ,−→y

_

= |x1 − y1| + |x2 − y2|, definida en R2, satisface todas las

propiedades de la distancia euclídea y que por tanto es una definición alternativa de distancia en R2 (la

generalización a un número arbitrario de dimensiones es inmediata).

1. La positividad de d1 es evidente: d1

􀀀−→x ,−→y

_

= |x1 − y1| + |x2 − y2| ≥ 0. Además

d1

􀀀−→x ,−→y

_

= 0 ⇔ |x1 − y1| + |x2 − y2| = 0

⇔

_

|x1 − y1| = 0 ↔ x1 − y1 = 0 ↔ x1 = y1

|x2 − y2| = 0 ↔ x2 − y2 = 0 ↔ x2 = y2

_

⇔ −→x = −→y .

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 7

2. d1

􀀀−→x ,−→y

_

= |x1 − y1| + |x2 − y2| = |y1 − x1| + |y2 − x2| = d1

􀀀−→y ,−→x

_

.

3. d1

􀀀−→x ,−→y

_

= |x1 − y1| + |x2 − y2| = |x1 − z1 + z1 − y1| + |x2 − z2 + z2 − y2|, y utilizando

que |A + B| ≤ |A| + |B|, resulta

d1

􀀀−→x ,−→y

_

≤ |x1 − z1| + |x2 − z2| + |z1 − y1| + |z2 − y2| = d1

􀀀−→x ,−→z

_

+ d1

􀀀−→z ,−→y

_

.

Una vez que el lector ha aceptado a d1 en el _club de las distancias respetables_podemos estudiar

el aspecto de la circunferencia asociada a la nueva distancia. La definición general de circunferencia de

radio R (centrada en el origen de coordenadas) es

C ,

_

(x, y) ∈ R2 \. d (x, y , 0, 0) = R

,

y particularizando para la distancia d1

C ,

_

(x, y) ∈ R2 \. |x| + |y| = R

.

Por cuadrantes la expresión precedente se escribe como

1. x > 0, y > 0. x + y = R −→ y = R − x.

2. x < 0, y > 0. −x + y = R −→ y = R + x.

3. x < 0, y < 0. −x − y = R −→ y = −R − x.

4. x > 0, y < 0. x − y = R −→ y = −R + x.

Así, en cada cuadrante la circunferencia coincide con un segmento de recta. Uniendo los cuatro segmentos

concluimos que la circunferencia es un polígono de cuatro lados perpendiculares entre sí y que

forman ángulos de 45 grados con los ejes.

X

Y

R

Figura 1.4: Esto también es una circunferencia

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

1.2.2 Bases ortogonales en Rq

El siguiente teorema muestra que el ángulo interno que forman dos vectores del plano o del

espacio está estrechamente ligado a su producto escalar

Teorema 1.4 (Ángulo entre dos vectores del espacio)

Sean −→u y −→v dos vectores del plano o del espacio y θ ∈ [0, π] el ángulo interno que

forman dichos vectores, entonces se cumple que

−→u,−→v

_

=

−→u

−→v

cos θ.

Demostración 1.4

z

x

y

k−→b − −→a k

−→b − −→a

−→b

−→a

Figura 1.5: Ley de los cosenos

Acudimos a la trigonometría para demostrar este teorema.

Aplicando la ley de los cosenos al triángulo que

tiene un vértice en el origen de coordenadas y dos de

sus lados adyacentes definidos por los vectores−→u y −→v ,

tal como se muestra en la figura, obtenemos

−→v − −→u

2

=

−→u

2

+

−→v

2

− 2

−→u

−→v

cos θ.

y por la definición de norma

−→v − −→u

2

=

−→v − −→u,−→v − u

_

,

−→v

2

=

−→v ,−→v

_

,

−→v

2

=

−→u,

resulta

−→v − −→u,−→v − −→u

_

=

−→v ,−→v

_

+

−→u,−→u

_

− 2

−→u

−→v

cos θ.

Ahora bien

−→v − −→u,−→v − −→u

_

=

−→v ,−→v

_

+

−→u,−→u

_

− 2

−→u,−→v

_

,

con lo cual

−→v ,−→v

_

+

−→u,−→u

_

− 2

−→u,−→v

_

=

−→v ,−→v

_

+

−→u,−→u

_

− 2

−→u

−→v

cos θ,

o lo que es lo mismo

−→u,−→v

_

=

−→u

−→v

cos θ.

Si los vectores −→u y −→v son no nulos podemos despejar

cos θ =

−→u,−→v

_

−→u

−→v

.

Para generalizar este resultado utilizamos que cualquiera que sea la dimensión del espacio

euclideo se cumple que (veáse la demostración 1.2 )

−

−→x

−→y

<

−→x ,−→y

_

<

−→x

−→y

,

y si los dos vectores son distintos del vector nulo tenemos

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 9

−1 ≤

−→x ,−→y

_

−→x

−→y

≤ 1.

Teniendo en cuenta que |cos(θ)| ≤ 1 y el teorema 1.4 convenimos en definir el ángulo interno

que forman dos vectores no nulos como

Definición 1.2

Sean −→x y −→y dos vectores no nulos de Rq; se define el agulo interno (agudo) θ que

forman estos dos vectores como

cos θ ,

−→x ,−→y

_

−→x

−→y

.

Dos vectores no nulos −→x ,−→y ∈ Rq se dicen ortogonales si el ángulo interno que forman es

θ = π/2, lo cual, según la definición precedente, implica que

−→x ,−→y

_

= 0.

Definición 1.3 (Base de Rq)

Todo conjunto formado por q vectores de Rq linealmente n independientes,

−→b i, i = 1, 2, . . . , q

o

, es una base de dicho espacio vectorial. Puede demostrarse

que cualquier vector −→x ∈ Rq puede descomponerse de forma única como una

combinación lineal de los vectores de la base, es decir

−→x = α1−→b 1 + α2−→b 2 + · · · αq−→b q =

Xq

i=1

αi−→b i,

donde α1, α2, . . . , αq son números reales. La combinación lineal anterior se llama

descomposición del vector −→x según la base y los números αi se denominan

componentes (o coordenadas) del vector −→x en la base dada.

El hecho de que el vector se defina mediante las componentes αi (en la base dada) se denota

habitualmente como

−→x = (α1, α2, · · · , αq) ,

y no será necesario precisar a qué base nos referimos siempre que esto no conduzca a ningún

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

tipo de ambigüedad.

Definición 1.4 (Bases ortogonales)

Una base del espacio euclídeo Rq,

n

−→b i, i = 1, 2, . . . , q

o

, se dice que es ortogonal

si sus vectores son ortogonales entre sí dos a dos, es decir

D

−→b i,−→b j

E

= 0, si 1 ≤ i 6= j ≤ q.

Si además se verifica que

D

−→b i,−→b j

E

= δi,j =

(

1, si i = j,

0, si i 6= j,

la base es ortonormal.

De forma más fundamental puede demostrarse que todo conjunto de vectores ortogonales entre

sí dos a dos es siempre un sistema linealmente independiente y que en todo espacio vectorial

existen bases ortogonales.

A lo largo de este curso sólo consideraremos bases de este tipo lo que nos permite aplicar una

variedad de corolarios útiles. Sabemos que todo vector −→x ∈ Rq admite una descomposición

única

−→x =

Xq

j=1

αj−→b j .

Multiplicando escalarmente la igualdad anterior por el vector −→b i resulta

D

−→x ,−→b i

E

=

Xq

j=1

αj

D

−→b j ,−→b i

E

= αi

−→b i

2

,

por lo que podemos despejar la componente αi

αi =

D

−→x ,−→b i

E

−→b i

2 , i = 1, 2, . . . , q,

y utilizando la relación entre el producto escalar de dos vectores y el ángulo que forman

αi =

−→x

−→b i

cos θi

−→b i

2 =

−→x

cos θi

−→b i

,

donde θi es el ángulo agudo que forman el vector −→x y el i-ésimo vector de la base. Si para otro

vector −→y tiene lugar la descomposición

−→y =

Xq

j=1

βj−→b j ,

entonces el producto escalar de ámbos vectores puede escribirse como

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 11

−→x ,−→y

_

=

*Xq

i=1

αi−→b i,

Xq

j=1

βj−→b j

+

=

Xq

i,j=1

αiβj

D

−→b i,−→b j

E

=

Xq

i=1

αiβi

−→b i

2

.

En particular la norma del vector −→x se escribe

−→x

=

Xq

i=1

α2i

−→b i

2

.

Si la base es ortonormal las expresiones anteriores se simplifican bastante ya que todas las

normas se reducen a la unidad, es decir

αi =

D

−→x ,−→b i

E

,

−→x ,−→y

_

=

Xq

i=1

αiβi,

−→x

=

Xq

i=1

α2i

.

Definición 1.5 (Proyección ortogonal)

El vector

−→P i = αi−→b i =

D

−→x ,−→b i

E

−→b i

2 −→b i, i = 1, 2, . . . , q,

se denomina proyección ortogonal del vector −→x sobre el vector −→b i

θi

−→x

−→bi

−→Pi

Figura 1.6: Proyeccion ortogonal

Para comprender el significado del vector −→P i

consideremos, tal como se muestra en la figura,

los dos vectores −→x y −→b i. Trazamos un segmento

de recta que pasa por el extremo del vector −→x

y que corta perpendicularmente a la recta definida

por el vector −→b i; el segmento dirigido que parte

del origen de coordenadas y termina en la intersección

es −→P i. No resulta muy difícil comprobarlo:

el segmento dirigido en cuestión es paralelo al

vector unitario −→b i/

−→b i

y tiene como longitud

(orientada)

−→x

cos θi, esto es

􀀀

−→x

cos θi

_ −→b i

−→b i

= αi−→b i = −→P i.

Trabajaremos habitualmente con la base estándar, cuyos elementos se denotan por {−→e i \. i =

1, 2, · · · , q}. Se trata de vectores unitarios definidos de tal forma que −→e i está dirigido según el

sentido positivo del i-ésimo eje de coordenadas. Los vectores de la base estándar forman por

definición un sistema ortonormal, esto es,

−→e i,−→e j

_

= δi,j . Cuando trabajemos en el plano o

en el espacio, los tres vectores de la base estándar −→e 1,−→e 2 y −→e 3 se denotarán frecuentemente

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

por los símbolos −→ı , −→ y −→k respectivamente. También es habitual en este caso denotar las

coordenadas cartesianas de un punto por x, y, z en lugar de x1, x2, x3.

Ejemplo 1.2 (Ángulos directores de un vector)

Llamamos ángulos directores de un vector a los ángulos internos entre éste y los vectores −→b i de la

base. Según hemos visto en la sección precedente la descomposición de un vector en una base se puede

expresar como

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 13

−→x =





−→x

cos θi

−→b 1

,

−→x

cos θ2

−→b 2

, · · · ,

−→x

cos θq

−→b q



,

es decir,

αi =

−→x

cos θi

−→b i

,

y como por otra parte

αi =

D

−→x ,−→b i

E

−→b i

2 ,

resulta que

cos θi =

D

−→x ,−→b i

E

−→x

−→b i

.

Obviamente, si la base es ortonormal

−→x =

􀀀

−→x

cos θ1,

−→x

cos θ2, · · · ,

−→x

cos θq

_

,

y

cos θi =

D

−→x ,−→b i

E

−→x

.

Utilizando estas expresiones obtendremos los ángulos directores del vector −→x = (1, 2, 3), en la base

estándar −→ı ,−→ ,−→k . La norma del vector se calcula como

−→x

= √12 + 22 + 32 = √14. Prosiguiendo

con el cálculo tenemos

−→x ,−→ı

_

= 1 → cos θ1 =

1

√14 → θ1 = cos−1

_

1

√14

_

≃ 1.30

−→x ,−→

_

= 2 → cos θ1 =

2

√14 → θ1 = cos−1

_

2

√14

_

≃ 1.00

D

−→x ,−→k

E

= 3 → cos θ1 =

3

√14 → θ1 = cos−1

_

3

√14

_

≃ 0.64

1.2.3 Volumen de un sistema de vectores

Como paso previo a la definición del (hiper)volumen subtendido por un cierto conjunto de

vectores de Rq debemos introducir el producto vectorial y el producto mixto.

Definición 1.6 (Producto vectorial en R3)

Dados dos vectores −→a = (a1, a2, a3) y −→b = (b1, b2, b3), definimos su producto

vectorial como el nuevo vector:

−→a × −→b ,

−→i −→j −→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

=

a2 a3

b2 b3

−→i −

a1 a3

b1 b3

−→j +

a1 a2

b1 b2

−→k

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Conviene notar aquí que la primera identidad tiene un marcado caracter formal y sólo adquiere

sentido real cuando el determinante se desarrolla por la primera fila.

Teorema 1.5 (Propiedades del producto vectorial)

El producto vectorial de dos vectores del plano o del espacio verifica las siguientes

propiedades:

1. −→a × −→b = −−→b × −→a ; en consecuencia −→a × −→a = −→0 .

2.

−→a

×

−→b

=

−→a

−→b

sen θ, donde θ es el ángulo agudo que forman los

dos vectores. Por lo tanto la norma del producto vectorial es igual al área del

paralelogramo subtendida por los vectores −→a y −→b .

3. (λ−→a ) × −→b = −→a × (λ−→b ) = λ(−→a × −→b ).

4. −→a × (−→b + −→c ) = −→a × −→b + −→a × −→c .

5. (−→a + −→b ) × −→c = −→a × −→c + −→b × −→c .

6. −→a × (−→b × −→c ) =

−→a ,−→c

_−→b −

D

−→a ,−→b

E

−→c .

Demostración 1.5

Las propiedades 1, 3, 4 y 5 se deducen de forma directa a partir de las propiedades de los determinantes;

aconsejamos al lector que utilice sus conocimientos de álgebra (y cierta fuerza de voluntad) para

demostrarlas. La demostración de la última propiedad se plantea como problema al final del capítulo, con

lo que nos contentaremos aquí con demostrar la propiedad número 2.

−→a

×

−→b

2

=

a2 a3

b2 b3

2

+

a1 a3

b1 b3

2

+

a1 a2

b1 b2

2

= (a2b3 − a3b2)2 + · · ·

= (a21

+ a22

+ a23

)(b21

+ b22

+ b23

) − (a1b1 + a2b2 + a3b3)2

=

−→a

2

−→b

2

−

D

−→a ,−→b

E2

=

−→a

2

−→b

2

sen2 θ

(1.1)

Como θ es el ángulo agudo formado por los dos vectores y sen θ ≥ 0 si θ ∈ [0, π] podemos escribir

−→a

× −→b

=

−→a

−→b

sen θ.

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 15

θ

−→b

−→a

h

Figura 1.7: Área de un paralelogramo

No resulta muy arduo convencerse de que el

miembro de la derecha nos proporciona el área

del paralelogramo definido por los dos vectores.

Imaginemos tal como muestra la figura, los dos

vectores reducidos al origen y completado el paralelogramo

mediante otros dos vectores paralelos

a los originales. Si tomamos como base del paralelogramo

al vector −→a la altura del mismo viene

dada trivialmente por

−→b

sen θ con lo cual

A = base × altura =

−→a

−→b

sen θ.

Definición 1.7 (Producto mixto en R3)

Dados tres vectores −→a , −→b y −→c del espacio, el número real

D

−→a ,−→b × −→c

E

,

se llama producto mixto de −→a , −→b y −→c (en dicho orden).

Teorema 1.6 (Propiedades del producto mixto)

Las propiedades básicas del producto mixto de tres vectores del espacio −→a =

(a1, a2, a3), −→b = (b1, b2, b3) y −→c = (c1, c2, c3) son:

1.

D

−→a ,−→b × −→c

E

=

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

.

2. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cíclicas

D

−→a ,−→b × −→c

E

=

D

−→b ,−→c × −→a

E

=

D

−→c ,−→a × −→b

E

.

3. El producto mixto de tres vectores linealmente dependientes o coplanares es

nulo, es decir

D

α−→a + β−→b ,−→a × −→b

E

= 0.

Demostración 1.6

1. La primera propiedad se demuestra de forma directa a partir de la definición

D

−→a ,−→b × −→c

E

=

_

a1−→ı + a2−→ + a3−→k ,

b2 b3

c2 c3

−→ı −

b1 b3

c1 c3

−→ +

b1 b2

c1 c2

−→k

_

= a1

b2 b3

c2 c3 − a2

b1 b3

c1 c3

+ a3

b1 b2

c1 c2

=

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

2,3 Estas propiedades se deducen subsidiariamente de la primera utilizando determinantología elemental.

Ejemplo 1.3

Utilizaremos el producto mixto para demostrar que los vectores −→a = (1, 4,−7), −→b = (2,−1, 4) y

−→c = (0,−9, 18), son coplanares. Utilizando la forma determinantal del producto mixto tenemos

D

−→a ,−→b × −→c

E

=

1 4 −7

2 −1 4

0 −9 18

= 0,

y de acuerdo con la tercera propiedad del producto mixto deducimos la coplanariedad de los vectores.

Teorema 1.7 (Volumen de un paralelepípedo)

EL producto mixto

D

−→a ,−→b × −→c

E

es, salvo un signo, igual al volumen del paralelepípedo

construido sobre los tres vectores −→a , −→b y −→c , reducidos a un origen

común.

Según afirma el teorema precedente, el volumen del paralelepípedo construido a partir de

los tres vectores −→a = (a1, a2, a3), −→b = (b1, b2, b3) y −→c = (c1, c2, c3) viene dado por

V () =

___

D

−→a ,−→b × −→c

E___

=

______

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

______

.

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 17

Demostración 1.7

θ

−→b × −→c

−→c

−→b

−→a

h

Figura 1.8: Volumen de un paralelepípedo

Considérese el sistema formado por los tres vectores

−→a , −→b y −→c que parten de un mismo punto; dicho sistema

permite construir, tal como se muestra en la figura,

un paralelepípedo. Los vectores −→b y −→c forman la base

del paralelepípedo cuyo área es A =

−→b × −→c

.

Si

θ es el ángulo que forman los vectores −→a y −→b × −→c

(ortogonal a la base), la altura del paralelepípedo viene

dada por h =

−→a

|cos θ|. Así el volumen se escribe

V () = Ah =

−→b × −→c

−→a

|cos θ| ,

y aplicando la definción del coseno del ángulo formado por dos vectores, resulta

V () =

_____

−→b × −→c

kak cos θ

_____

=

_____

D

−→a ,−→b × −→c

E

_____

.

Las definiciones de los productos vectorial y mixto en el espacio, se pueden generalizar sin

gran dificultad al caso de un espacio de dimensión arbitraria

Definición 1.8 (Producto vectorial en Rq)

Dados q − 1 vectores −→v 1,−→v 2, · · ·−→v q−1 pertenecientes a Rq(q ≥ 3) se define su

producto vectorial como

−→v 1 × −→v 2 × · · · × −→v q−1 ,

___________

−→e 1 −→e 2 · · · −→e q

v11 v12 · · · v1q

v21 v22 · · · v2q

...

...

. . .

...

v(q−1)1 v(q−1)2 · · · v(q−1)q

___________

Se trata de una definición formal cuyo significado es el siguiente: el vector que

denominamos producto vectorial tiene por componentes los números que resultan

de desarrollar el determinante anterior por su primera fila.

También es este caso las propiedades más importantes del producto vectorial general son

consecuencia directa de las propiedades de los determinantes; en entre ellas destacaremos las

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

que se enuncian en el siguiente teorema

Teorema 1.8 (Propiedades del producto vectorial en Rq)

1. −→v 1 × · · · × −→v i × · · · × −→v j × · · · = −−→v 1 × · · · × −→v j × · · · × −→v i × · · · ;

en particular, el producto vectorial se anula cuando el mismo vector se repite

dos o más veces

2. −→v 1 × · · · × (λ−→v i) × · · · × −→v q−1 = λ−→v 1 × · · · × −→v i × · · · × −→v q−1.

3. −→v 1 × · · · × (−→ui + −→v i) × · · · = −→v 1 × · · · × −→ui × · · ·+

−→v 1 × · · · × −→v i × · · ·

Las dos últimas propiedades se puden resumir en una sola que establece la linealidad del

producto vectorial en cualquiera de sus argumentos

Definición 1.9 (Producto mixto en Rq)

Dados q vectores −→v 1,−→v 2, · · ·−→v q pertenecientes a Rq(q ≥ 3) se define su producto

mixto como el número

−→v 1,−→v 2 × · · · × −→v q

_

,

___________

v11 v12 · · · v1q

v21 v22 · · · v2q

...

...

. . .

...

v(q−1)1 v(q−1)2 · · · v(q−1)q

vq1 vq2 · · · vqq

___________

Como en los casos anteriores, las propiedades del producto mixto se obtienen de forma directa

a partir de su definición como un determinante

Teorema 1.9 (Propiedades del producto mixto en Rq)

1. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cíclicas de sus argumentos

−→v 1,−→v 2 × · · · × −→v q

_

=

−→v q,−→v 1 × · · · × −→v q−1

_

.

2. El producto mixto es lineal en todos y cada uno de sus argumentos, es decir

−→v 1, · · · × (α−→ui + β−→v i) × · · ·

_

= α

−→v 1, · · · × −→ui × · · ·

_

+ β

−→v 1, · · · × −→v i × · · ·

_

.

Cuando dos vectores del plano se reducen a un mismo punto definen un paralelogramo cuyo

área A podemos obtener utilizando la propiedad 1.5 (2); análogamente tres vectores del espacio

situados sobre el mismo origen definen un paralelepípedo cuyo volumen V viene dado por el

teorema 1.7 . En Rq (q > 3), q vectores reducidos a un mismo punto definen un hiperparalelepípedo

que contiene un cierto hipervolumen. De ahora en adelante para referirnos de forma

indistinta al área, al volumen o al hipervolumen de una región utilizaremos la palabra _medi-

1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 19

da_, que denotaremos por la letra griega μ. En su momento definiremos de forma más precisa

el concepto de medida de ciertas regiones de Rq; de momento nos basta con saber que si q = 2,

entonces μ = A, y si q = 3 entonces μ = V .

Definición 1.10 (Volumen de un hiperparalelepípedo)

La medida del (hiper)paralelepípedo formado _ por los q vectores −→v i = (vi1, vi2, · · · , viq)

i=1,2,...,q (con q ≥ 2) se define como

μ () ,

___________

___________

v11 v12 · · · v1q

v21 v22 · · · v2q

...

...

. . .

...

v(q−1)1 v(q−1)2 · · · v(q−1)q

vq1 vq2 · · · vqq

___________

___________

Cuando q ≥ 3 el volumen puede reescribirse como un producto mixto

μ () =

__

−→v 1,−→v 2 × · · · × −→v q

___

Ejemplo 1.4

Demostremos que el área del paralelogramo _ construido sobre los dos vectores (a1, a2) y (b1, b2)

viene dada por

A(_) =

____

____

a1 a2

b1 b2

____

____

Comenzaremos transformando los dos vectores en elementos de R3 añadiendo para ellol una tercera

componente nula, es decir

−→a −→ (a1, a2, 0) ,

−→b −→ (b1, b2, 0) .

Sabemos que el área del paralelogramo_es igual a la norma del producto vectorial de los dos vectores,

es decir

A(_) =

−→a

×

−→b

=

______ ______ ______

−→ı −→ −→k

a1 a2 0

b1 b2 0

______

______

______

,

y desarrollando el determinante por la primera fila

A(_) =

____

____

____

a1 a2

b1 b2

____

−→k

____

____

=

____

____

a1 a2

b1 b2

____

____

−→k

=

____

____

a1 a2

b1 b2

____

____

.

1.3 Clasificación de los subconjuntos de Rq

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

1.3.1 Bolas en Rq

Los intervalos unidimensionales, abiertos (a, b) o cerrados [a, b], tienen una gran importancia

en el análisis de la recta real R. En el espacio euclídeo Rq existen subconjuntos que juegan

un papel similar al de los intervalos unidimensionales. Los más importantes son las bolas y los

intervalos generalizados en q dimensiones. A modo de ejemplo podemos decir que el concepto

de bola nos permitirá, en su momento, introducir de manera sencilla los límites de funciones

reales definidas en Rq. Por su parte, los intervalos juegan en la mayor parte de los textos de

cálculo un papel importante en la definición de la integral de Riemann en más de una dimensión.

Definición 1.11 (Bolas en Rq)

Se llama bola abierta de centro −→x 0 ∈ Rq y radio ρ > 0 al conjunto:

B

􀀀−→x 0, ρ

_

=

_−→x ∈ Rq \. d

􀀀−→x 0,−→x

_

< ρ

.

Análogamente se denomina bola cerrada de centro −→x 0 ∈ Rq y radio ρ > 0 al

conjunto:

B

􀀀−→x 0, ρ

_

=

_−→x ∈ Rq \. d

􀀀−→x 0,−→x

_

≤ ρ

.

Por último se llama bola reducida de centro −→x 0 ∈ Rq y radio ρ > 0 a:

B∗ 􀀀−→x 0, ρ

_

= B − {−→x 0} =

_−→x ∈ Rq \. 0 < d

􀀀−→x 0,−→x

_

< ρ

.

De ahora en adelate, cuando se afirme que una función posee determinada propiedad _cerca

del punto_−→x 0 o en la _vecindad del punto_−→x 0 el lector deber interpretar que existe un radio

positivo ρ > 0 de tal suerte que en todos los puntos de la bola B

􀀀−→x 0, ρ

_

se cumple la propiedad

mencionada.

La figura 1.9 representa tres ejemplos de bolas en el plano. En R2 es habitual denominar discos

(abiertos, cerrados y reducidos) a las bolas. En la recta real las bolas se reducen a simples

intervalos unidimensionales. Introducimos en este ejemplo un convenio que emplearemos habitualmente

en el futuro: los discos abiertos se representan mediante líneas discontinuas mientras

que los cerrados vienen delimitados por líneas continuas.

−→x 0

−→x ∈ B

ρ

−→x ′ /∈ B

−→x ′′ /∈ B

−→x 0

−→x ∈ B

ρ

−→x ′ ∈ B

−→x ′′ /∈ B

B

B

−→x 0 /∈ B∗

−→x ∈ B∗

ρ

−→x ′ /∈ B∗

−→x ′′ /∈ B∗

B∗

Figura 1.9: Bolas en el plano

1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 21

Propiedades de las bolas

A continuación enumeraremos sin demostración algunas de las propiedades más importantes

de este tipo de conjuntos; en lugar de una demostración nos bastará con mostrar un gráfico

justificativo.

1. Dados −→x 0,−→y 0 ∈ Rq, (−→x 0 6= −→y 0), ∃ρ, σ > 0 \. B

􀀀−→x 0, ρ

_

∩ B

􀀀−→y 0, σ

_

= ∅

ρ

σ −→x 0

−→y 0

Figura 1.10: Propiedades de las bolas 1

2. Si −→x 0 ∈ Rq y −→x ∈ B

􀀀−→x 0, ρ

_

, ∃σ > 0 \. B

􀀀−→x , σ

_

⊂ B

􀀀−→x 0, ρ

_

ρ

σ

−→x 0

−→x

Figura 1.11: Propiedades de las bolas 2

1.3.2 Intervalos en Rq

−→a

−→b

Figura 1.12: Intervalo en el plano

El concepto de intervalo se puede generalizar

sin esfuerzo a un número cualquiera de dimensiones

de tal suerte que estos subconjuntos guarden

una fuerte similitud con los intervalos de la

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

recta real. Utilizaremos la siguiente definición

Definición 1.12 (Intervalos en Rq)

1. Dados −→a = (a1, a2, · · · , aq) ,−→b = (b1, b2, · · · , bq), ambos pertenecientes a

Rq, se llama intervalo abierto al subconjunto:

I

_

−→a ,−→b

_

=

_−→x ∈ Rq \. ai < xi < bi∀i

.

Un intervalo abierto en q dimensiones se puede expresar como el producto

cartesiano de q intervalos unidimensionales abiertos de la recta real, es decir

I

_

−→a ,−→b

_

= (a1, b1) × (a2, b2) × · · · × (aq, bq).

2. Análogamente se denomina intervalo cerrado al subconjunto:

I

_

−→a ,−→b

_

=

_−→x ∈ Rq \. ai ≤ xi ≤ bi∀i

,

o

I

_

−→a ,−→b

_

= [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [aq, bq].

Ejemplo 1.5 (Primeros ejemplos de intervalos)

Veamos algunos ejemplos sencillos de intervalos en dos dimensiones:

I ((2, 3), (4, 5)) = (2, 3) × (4, 5) =

_

(x, y) ∈ R2 \. 2 < x < 4, 3 < y < 5

.

I ((2, 3), (4, 5)) = [2, 3] × [4, 5] =

_

(x, y) ∈ R2 \. 2 ≤ x ≤ 4, 3 ≤ y ≤ 5

.

1.3.3 Conjuntos abiertos, cerrados y compactos

Después de un cuatrimestre de Cálculo los conceptos de intervalo abierto y cerrado serán

familiares al lector. Es fundamental que generalicemos estos conceptos al caso de subconjuntos

genéricos de Rq. Nos limitaremos, no obstante, a las cuestiones más básicas que utilizaremos a

lo largo del curso: dé por hecho el lector que los conceptos que vamos a introducir ahora no son

más que la _parte visible de un iceberg de conocimiento denominado topología_. Tendremos la

oportunidad de comprobar que muchas propiedades de las funciones multivariable, enunciadas

como teoremas, sólo son válidas en dominios abiertos; otras por el contrario requieren que el

dominio sea cerrado.

1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 23

Definición 1.13 (Puntos interiores, exteriores y frontera)

Sean un conjunto ⊂ Rq y su complementario Rq − . Dado −→x 0 ∈ Rq se dice

que:

1. −→x 0 es un punto interior de si ∃ ǫ > 0 \. B

􀀀−→x 0, ǫ

_

⊂ .

2. −→x 0 es un punto exterior de si ∃ ǫ > 0 \. B

􀀀−→x 0, ǫ

_

⊂ Rq − .

3. −→x 0 es un punto frontera de si ∀ ǫ > 0 se cumple simultáneamente que

_

B

􀀀−→x 0, ǫ

_

∩ 6= ∅,

B

􀀀−→x 0, ǫ

_

∩ (Rq − ) 6= ∅.

Exterior

Frontera

Interior

C

Figura 1.13: Puntos interiores, exteriores y frontera

De la definición anterior se deduce que todo punto exterior de es un punto interior de su

complementario Rq −. Es importante destacar que en la definición de punto interior (exterior)

de un conjunto basta con que exista una (sola) bola de radio ǫ > 0 que satisfaga la condición

correspondiente para que el punto sea interior (exterior). Por el contrario la definición de punto

frontera es mucho más restrictiva; debe cumplirse que, cualquiera que sea el radio, la bola centrada

en el punto −→x 0 contenga de forma simultánea puntos pertecientes a y puntos que no

pertenecen a dicho conjunto.

Definición 1.14 (Puntos adherentes y de acumulación)

Sea un conjunto ⊂ Rq y un punto −→x 0 ∈ Rq, se dice que:

1. −→x 0 es un punto adherente de si ∀ ǫ > 0, B

􀀀−→x 0, ǫ

_

∩ 6= ∅.

2. −→x 0 es un punto de acumulación de si ∀ ǫ > 0, B∗

􀀀−→x 0, ǫ

_

∩ 6= ∅.

Las definiciones de punto frontera, adherente y de acumulación pueden confundirse ya que

sus diferencias son sutiles. Un punto −→x 0 es adherente al conjunto si toda bola centrada en −→x 0

contiene puntos pertenecientes al conjunto; para que sea frontera debe contener además puntos

que no pertencen a . La distinción entre puntos adherentes y de acumulación es aún más sutil.

Todo punto −→x 0 ∈ aislado es un punto adherente (y frontera), pero no lo es de acumulación ya

que existen bolas centradas en él que sólo contienen un punto de : el propio −→x 0

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Una vez clasificados los puntos de Rq en los tipos interior, exterior y frontera con respecto a

un determinado conjunto, conviene definir los conceptos de interior, exterior y frontera de dicho

conjunto.

Definición 1.15 (Interior, frontera y exterior de un conjunto)

Dado un conjunto cualquiera ⊂ Rq, se definen los siguientes conjuntos relacionados:

1. El interior de es el conjunto ° formado por todos los puntos interiores de

, es decir

°

= {−→x ∈ Rq \. −→x es punto interior de }.

2. El exterior de es el conjunto Ex(C) formado por todos los puntos exteriores

de , es decir

Ex() = {−→x ∈ Rq \. −→x es punto exterior de }.

3. La frontera de es el conjunto ∂ formado por todos los puntos frontera de

, es decir

∂C = {−→x ∈ Rq \. −→x es punto frontera de }.

Una definición alternativa de Exterior de un conjunto es Ex() =

z }°| {

Rq − . Los conjuntos °,

Ex() y ∂ son una partición de Rq porque todo punto de Rq es necesariamente una y sólo

una de las siguientes cosas: o punto interior de o punto exterior de o punto frontera de ;

es imposible que sea simultáneamente dos de ellas. De manera más formal podemos enumerar

algunas de las propiedades más importantes de estos conjuntos como sigue

Teorema 1.10 (Propiedades de los conjuntos°, Ex() y @)

1. Los conjuntos °, Ex() y ∂ son disjuntos.

2. Rq = ° ∪ Ex() ∪ ∂.

C ˙C ∂C

C = ˙C + ∂C

(frontera incluida)

Figura 1.14: Interior, frontera y adherencia