1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 25
La demostración de las propiedades anteriores se deja para los problemas del tema. Ahora
definiremos la adherencia de un conjunto y su conjunto derivado
Definición 1.16 (Adherencia y derivado de un conjunto)
Dado un conjunto cualquiera ⊂ Rq, definimos también los siguientes conjuntos:
1. La adherencia de es el conjunto formado por todos los puntos de adherencia
de .
2. Se denomina conjunto derivado de al conjunto ′ formado por todos los
puntos de acumulación de .
Todos punto interior o frontera de un conjunto pertenece a la adherencia del mismo. Asimismo
los puntos interiores son puntos de acumulación del conjunto. Todo punto de acumulación es un
punto adherente; sin embargo existen puntos de adherencia que no son de acumulación: éstos se
denominan puntos aislados del conjunto.
Teorema 1.11 (Propiedades de y ′)
La adherencia, frontera y derivado de un conjunto ⊂ Rq verifican que:
1. = ° ∪ ∂.
2. = ∪ ′.
3. − ′ = Conjunto de puntos aislados de .
4. ° ⊂ ′.
Ejemplo 1.6
Dado el siguiente conjunto de puntos del plano
_ =
_
(x1, x2) ∈ R2 \. x1 6= n, n ∈ N
,
obtenga el interior, la frontera y la adherencia del mismo.
Tal como se observa en la definición _ está formado por todos los puntos del plano excepto aquellos
cuya primera coordenada es un número natural (x1 = 1, 2, · · · ). No es díficil darse cuenta que son
precisamente estos puntos los que constituyen la frontera de _: en cualquier entorno de los mismos
hay simultáneamente puntos que pertencen y que no pertenecen a _. El resto de los puntos de R2, que
constituyen _, forman el interior del conjunto ya que siempre podemos encontrar un entorno de los
mismos que sólo contiene puntos de _. Por tanto conjunto e interior del conjunto coinciden en este caso.
Además, el conjunto no contiene puntos aislados por lo que adherencia y conjunto derivados coinciden.
Así
°_
= _, ∂_ =
_
(x1, x2) ∈ R2 \. x1 = n ∈ N
, _ = _ ∪ ∂_ = R2.
Ejercicio:
Dado el conjunto de puntos
_ =
_
(x1, x2) ∈ R2 \. x1 = 1/n, x2 = 1/m, n,m = 1, 2, . . .
,
TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ
se propone como ejercicio que el lector encuentre sus puntos interiores, frontera, adherentes y
de acumulación.
Finalmente, los conceptos de punto interior, exterior y frontera dan lugar a los de conjunto
abierto y de conjunto cerrado, que son se exponen en la definición 1.18
Definición 1.17 (Conjuntos abiertos y cerrados)
Un conjunto ⊂ Rq es abierto si todos sus puntos son interiores y ninguno
de sus puntos frontera le pertenece, es decir, si = °.
Por el contrario, un conjunto ⊂ Rq se dice que es cerrado si tanto sus
puntos interiores como sus puntos frontera le pertenecen, es decir, si = .
C C
Abierto
Cerrado
Figura 1.15: Abierto y cerrado
La figura lateral muestra dos conjuntos en el
plano, uno abierto cuya frontera se representa mediante
una línea a trazos, y otro cerrado delimitado
por una línea continua. Se trata del convenio que
establecimos para representar discos en el plano,
y que de ahora en adelante utilizaremos para representar
conjuntos genéricos del plano abiertos y
cerrados.
La distinción entre conjuntos abiertos y cerrados
es de gran importancia; por ejemplo las derivadas
parciales (que estudiaremos más adelante)
sólo pueden definirse en un punto interior del
dominio de definición de una función. En consecuencia
muchos teoremas y criterios, que se basan en el concepto o en las propiedades de las
derivadas parciales, sólo son válidos en conjuntos abiertos.
El teorema 1.12 , que damos sin demostrarción, enumera las propiedades básicas de los conjuntos
abiertos y cerrados en espacios euclídeos
Teorema 1.12 (Propiedades básicas de los abiertos y cerrados)
1. Rq y ∅ son simultáneamente conjuntos abiertos y cerrados.
2. La unión de conjuntos abiertos (cerrados) es a su vez un conjunto abierto
(cerrado).
3. La intersección de un número finito de abiertos (cerrados) es un conjunto
abierto (cerrado).
4. Para todo ⊂ Rq, los conjuntos °, Ec() son abiertos, y los conjuntos ∂
y son cerrados.
5. Para todo ⊂ Rq, es el menor cerrado que contiene a . Es decir, si es
cerrado y ⊂ , entonces ⊆ .
6. Un conjunto es cerrado si y sólo si Rq − es abierto.
7. Un conjunto es cerrado si y sólo si ′ ⊆ .
1.4. PRIMERA TOMA DE CONTACTO CON LAS FUNCIONES REALES 27
Definición* 1.18 (Conjuntos compactos y conexos)
Un conjunto ⊂ Rq se dice compacto si, además de ser cerrado, cumple que
∃−→x ∈ , ρ > 0 \. ⊂ B
−→x , ρ
_
.
Un conjunto ⊂ Rq se dice conexo si ∀−→x 1,−→x 2 ∈ C, existe (al menos) una
curva que une dichos puntos y que está completamente contenida en .
$C$
$\rho $
$B$
Figura 1.16: Conjunto compacto
Tal como se muestra en la figura adjunta al párrafo,
un conjunto compacto es un conjunto cerrado
que puede delimitarse mediante una bola de radio
finito; en realidad, si el conjunto es compacto
existen infinitas bolas de radio finito que contienen
al conjunto. Ejemplos de conjuntos compactos son
el intervalo [a, b] de la recta real, cualquier disco
de radio finito, etc. Por el contrario, la recta real,
el plano o el espacio son ejemplos de conjuntos no
compactos.
−→x1
−→x2
C
Conjunto Conexo
−→x2
−→x1
Conjunto Desconexo
Figura 1.17: Conjuntos conexo y disconexo
En esta figura presentamos dos subconjuntos del
plano: el de la izquierda es conexo ya que, dados
dos puntos cualesquiera del mismo, siempre podemos
encontrar una curva dentro del conjunto que
va de un punto a otro; no sucede lo mismo en el
conjunto de la derecha puesto que existen puntos
que no se pueden conectar mediante ninguna curva
que pertenezca integramente al conjunto.
Ejercicio:
En todos los casos obtenga el interior, la frontera y la adherencia de los conjuntos propuestos;
además determine si el conjunto es abierto o cerrado, compacto y conexo:
1. _ =
_
(x, y) ∈ R2 \. 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
.
2. =
_
(x, y, z) ∈ R3 \. z ≥ x2 + y2
.
1.4 Primera toma de contacto con las funciones reales
En esta breve sección introducimos por primera vez las funciones reales definidas en espacios
euclídeos de dimesión superior a uno. Dados dos espacios euclídeos Rq y Rp, donde p y q son
números naturales cualesquiera, podemos definir una función real como una regla que a todo
TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ
punto (o vector) −→x ∈ _ ⊂ Rq le asocia un punto (o vector) −→ϕ
−→x
_
∈ Rp. De manera más
formal
−→ϕ : _ ⊂ Rq −→ Rp ; (x1, x2, · · · , xq) ∈ _ −→ −→ϕ (x1, x2, · · · , xq ) ,
donde el _valor de la función_se expresa en términos de sus componentes como
−→ϕ
−→x
_
= (ϕ1 (x1, x2, · · · , xq )ϕ2 (x1, x2, · · · , xq ) · · · ,ϕp (x1, x2, · · · , xq )) ∈ Rp.
Algunas comentarios pertinentes son:
El subconjunto _ donde la función toma valores se denomina dominio de definición de
la función . El conjunto de valores (numéricos o vectoriales) que toma la función recibe
el nombre de imagen de la misma.
Si p = 1 la función se llama función escalar real de varias variables reales; es frecuente
hablar simplemente de funciones reales de varias variables reales. En este caso la regla
asocia a cada punto de Rq un número real. Un caso particular de estas funciones son las
que se han estudiado en el primer cuatrimestre (donde q = 1).
Si p ≥ 2 la función recibe el nombre de función vectorial (de varias variables reales).
Las funciones ϕi(x1, x2, · · · , xq) se denominan componentes de la función.
Dadas dos funciones −→ϕ y −→φ podemos definir las siguientes funciones:
(−→ϕ + −→φ)(−→x ) = −→ϕ(−→x ) + −→φ(−→x ),
(λ−→ϕ(−→x )) = λ−→ϕ(−→x ),
(−→ϕ · −→φ)(−→x ) = −→ϕ(−→x ) · −→φ(−→x ) =
Pq
i=1 ϕi(−→x ) · φi(−→x ).
En el caso de dos funciones escalares (p = 1) f
−→x
_
y g
−→x
_
se pueden definir además
(fg)(−→x ) = f(−→x )g(−→x ), (f/g)(−→x ) = f(−→x )/g(−→x ).
Ejemplo 1.7
Consideremos los siguientes ejemplos:
Un alambre rectilíneo se sitúa sobre el eje X del sistema de coordenadas del laboratorio y con su
extremo izquierdo en x = 0. En este punto se coloca un mechero cuya llama calienta el alambre;
transcurrido un tiempo prudencial se mide la temperatura del alambre a distintas distancias del
origen. Es razonable pensar en la temperatura del alambre como una función T de la coordenada
x, esto es
T : R −→ R ; x −→ T (x) , ∀x ≥ 0.
Repetimos el _experimento_anterior con una placa muy fina. Elegimos un sistema de referencia
cuyo origen coincida con el vértice inferior izquierdo de la placa y tal que sus dos ejes X e Y
coincidan con dos de los lados de la placa. A continuación se coloca el mismo mechero en el
vértice que hace las veces de origen de coordenadas y calentamos la placa durante un cierto tiempo.
Midiendo la temperatura de la placa en distintos puntos (x, y) obtenemos una idea de como varía
sobre la placa. En este caso la temperatura es una función T de las coordenadas x e y, esto es
T : R2 −→ R ; (x, y) −→ T (x, y ) , ∀x, y ≥ 0.
1.5. CURVAS EN RQ 29
La posición de una partícula (puntual) que se desplaza por el espacio nos proporciona un ejemplo
de función vectorial
−→r : R1 −→ R2 ; t −→ −→r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) ,
que a cada valor del tiempo t le asocia el vector de posición de la particula (con respecto a un
cierto sistema de referencia).
Otro ejemplo de funciones vectoriales lo proporcionan los campos electromagnético y gravitatorio.
Consideremos una carga eléctrica Q que se encuentra situada en el origen de referencia que
utilizamos en el laboratorio. El campo electrostático generado por la misma es
−→E : R3 −→ R3 ; (x, y, z) −→ −→E (x, y, z ) = KQ
x−→ı + y−→ + z−→k
(x2 + y2 + z2)3/2 ,
donde K es una constante que depende del sistema de unidades que estemos utilizando (K = 1 en
el sistema C.G.S. y K = 1/4πǫ0 en el M.K.S., siendo ǫ0 la constante dieléctrica del vacio).
1.5 Curvas en Rq
El objeto de nuestro estudio inmediato son las curvas y superficies en el espacio euclídeo.
Una vez elegido un sistema de referencia, las coordenadas de los puntos ubicados sobre una
curva o sobre una superficie no pueden ser arbitrarias, sino que deben obedecer correlaciones
determinadas. Estas correlaciones se caracterizan mediante ecuaciones, escalares o vectoriales.
Pasamos ahora a considerar de forma breve dichas ecuaciones
1.5.1 Rectas
La recta es el tipo de curva más sencillo que podemos encontrar en un espacio euclídeo. Obtendremos
de manera simple algunas de las ecuaciones que la definen. Deduciremos primero la
ecuación vectorial de una recta en R3 para generalizarla posteriormente a un número cualquiera
de dimensiones (q ≥ 2).
L
y
x
(x0, y0, z0) −→a
x−→ı + y−→ + z−→k
−→v
−→x 0
−→x
Figura 1.18: Definición de recta
Consideremos la recta L que pasa por el punto
−→r 0 = x0−→ı + y0−→ + z0−→k ∈ R3 y es paralela al
vector −→v = (v1, v2, v3). Tal como se muestra en
la figura cualquier punto −→r ∈ L puede escribirse
como
−→r = −→r 0 + −→a ,
donde −→a es el vector con origen en −→r 0 y extremo
en −→r . Ahora bien,
−→a k−→v ⇒ ∃ t ∈ R \. −→a = t−→v ,
y por lo tanto se verifica la siguiente relación
−→r = −→r 0 + t−→v , t ∈ R,