Tema III. Resolución de casos de Modelos de PL

3.1. Resolución Matemática de PL 

En los temas tratados anteriormente se ha discutido como se plantea un problema de programación lineal identificando las actividades y expresando el objetivo y las restricciones, todo esto conduce a una expresión lineal a optimizar y el conjunto de restricciones (desigualdades o igualdades) que son también expresiones lineales.

En este sentido, se puede demostrar que siempre es posible matemáticamente, encontrar una solución. Asi pues, las soluciones posibles son:

• • 1. Existe un optimo y es único, se verifica para una única combinación de valores de las variables

    2. Existe un optimo que se verifica para mas de una combinación de  valores de las variables, en este caso se dice que hay soluciones optimas alternativas 

    3. No existe un optimo pues siempre es posible mejorar el objetivo, en este caso se dice que el optimo es no finito y el problema no acotado

    4. No existe ninguna combinación de valores de las variables que satisfaga simultáneamente todas las desigualdades, en este caso se dice que el problema es incompatible. 

3.2. Algoritmos Aplicados a los Casos de PL 

Una vez identificado que el problema tiene solución, se debe conocer un procedimiento  para encontrar la solución. Un método sistemático para lograr  la solución optima de un problema de programación lineal es el Método Simplex.  

Luego de planteado el problema formulado mediante ecuaciones, llevando las desigualdades a igualdades mediante la incorporación de las variables de slack, estamos en presencia de de un sistema de sistemas de ecuaciones con m + n incógnitas, donde m es el numero de ecuaciones debidas a las restricciones que se proporcionan y n es el numero de incógnitas originales del problema. Las otras m incógnitas son las variables slack agregadas, a razón de una por cada ecuación. 

El Método Simplex consiste simplemente en partir de una solución en la cual hay exactamente m variables distintas de cero, que ademas son positivas, y pasar a otra solución que mejora el valor de la función objetivo  mediante el reemplazo de una de las variables de la solución por una de las n variables que no intervenían. El procedimiento se repite hasta alcanzar el optimo. 

• • Solución básica: Cuando en la solución hay m incógnitas distintas de cero 

  • Solución  básica factible: Cuando las incógnitas distintas de cero son positivas 

El Método Simplex se trata de partir de una solución básica factible, pero esto no siempre es posible.

Es necesario entonces agregar el concepto de variable artificial que es un variable que se agrega en cada ecuación donde no existe una variable slack con coeficiente +1. las variables artificiales se incorporan al objetivo con un coeficiente tal que hace que no estén presentes en la solución optima.

La forma mas sencilla de calcular la solución básica factible inicial consiste en anular todas las variables excepto las de holgura con coeficiente +1 y las artificiales y hacer y hacer todas las variables no nulas iguales a los respectivos términos independientes de sus ecuaciones. 

Ejemplo (fuente: Marin, Rodriguez y Perino, 2015)

En un taller metalúrgico se fabrican dos tipos de piezas P1 y P2, que deben seguir los siguientes procesos: estampado en hojas metálicas, soldado y pintado.  La operación de estampado consiste en preparar partes idénticas que luego seran soldadas de a pares, formando la pieza P1. El mismo proceso se realiza para la pieza P2. 

La tabla 1 muestra los insumos de equipos  para la realización de cada una de las operaciones 

Evaluación Final Abril-julio 2023