Programma di massima del corso:
Moto Browniano I. Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementi stazionari e indipendenti. Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione.
Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Formula di Feynman-Kac. Qualche applicazione alla matematica finanziaria.
Riferimenti bibliografici:
Brownian Motion (Moerters and Peres):
An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998)
Applicazioni alla matematica finanziaria: An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
Modalita' d'esame:
Esercizi preparati a casa + orale.
Orario 2025-2026:
Martedi' 14:00-16:00 Aula 1 (terzo piano pal. C)
Giovedi' 16:00-18:00 Aula 1 (terzo piano pal. C)
Venerdi' 16:00-18:00 Aula M6
Diario delle lezioni: 2025-26.