Lez. 01: 23/09/2025: Definizione Moto Browniano, recap di alcuni concetti fondamentali (sigma-algebre, spazi misurabili, sigma-algebra prodotto anche nel caso piu' che numerabile, lemmi di Borel-Cantelli)
Lez. 02: 25/09/2025: Dimostrazione Teorema di Wiener (costruzione del moto Browniano di Levy), I parte
Lez. 03: 26/09/2025: Dimostrazione Teorema di Wiener (costruzione del moto Browniano di Levy), II parte
Lez. 04: 30/09/2025: Dimostrazione Teorema di Wiener (costruzione del moto Browniano di Levy), III parte -- conclusione; proprieta' di invarianza per riscalamento e inversione temporale del MB, Modulus of Continuity del MB
Lez. 05: 01/10/2025: Teorema sulla funzione Modulus of Continuity del MB, Continuita' nel senso di Hoelder, non-monotonia delle traiettorie
Lez. 06: 07/10/2025: Non-differenziabilita' delle traiettorie (con teorema di Paley-Wiener-Zygmund)
Lez. 07: 08/10/2025: Conclusione della dimostrazione di non-differenziabilita' delle traiettorie (con teorema di Paley-Wiener-Zygmund), esercizio (se alpha>1/2 il MB e' quasi certamente non differenziabile in nessun punto)
Lez. 08: 10/10/2025: Dimostrazione MB ha variazione illimitata (e variazione quadratica t)
Lez. 09: 14/10/2025: Teorema di Cameron-Martin, proprieta' di Markov, definizione filtrazione e definizione di F^0 e F^+, generate dal MB
Lez. 10: 15/10/2025: Proprieta' di Markov forte, osservazioni riguardo alle filtrazioni del moto browniano, proprieta' di Markov forte (dimostrazione)
Lez. 11: 17/10/2025: Principio di riflessione + applicazione alla distribuzione del massimo, Martingale (continue) definizione, proprieta' ed esempi
Lez. 12: 21/10/2025: Lemmi di Wald con esercizio, funzioni armoniche (definizione ed alcune caratterizzazioni), principio del massimo
Lez. 13: 22/10/2025: Problema di Dirichlet, teorema di Liouville per funzioni armoniche (dimostrazione), problema di Poisson, introduzione a ricorrenza/transienza del moto browniano in R^d
Lez. 14: 24/10/2025: Ricorrenza/transienza del moto browniano in R^d, dimostrazione transienza per d\geq 3, definizione funzione di Green, proprieta' della funzione di Green
Lez. 15: 28/10/2025: Legge del logaritmo iterato, Skorokhod embedding - dimostrazione legge logaritmo iterato per passeggiate aleatorie su Z
Lez. 16: 29/10/2025: Principio di'invarianza di Donsker (con dimostrazione), prima legge dell'arcsin (con dimostrazione)
Lez. 17: 31/10/2025: Teorema dell'ultimo cambio di segno (caso discreto) e seconda legge dell'arcsin (senza dimostrazione), Integrale stocastico: integrale di Paley-Wiener-Zygmund (con proprieta'), integrale in stile Riemann (con dimostrazione)
Lez. 18: 04/11/2025: Integrale di Ito per processi semplici, proprieta' integrale di Ito processi semplici, approssimazione tramite processi semplici, definizione e proprieta' integrale di Ito piu' generale, formula di Ito (parte I)
Lez. 19: 05/11/2025: Formula di Ito (parte II) qualche esempio
Lez. 20: 18/11/2025: Esempi, formula di Ito generale (con sketch della dimostrazione), definizione integrale stocastico multidimensionale
Lez. 21: 19/11/2025: Formula di Ito multidimensionale, formula del prodotto per MB indipendenti, introduzione alle equazioni differenziali stocastiche (SDE) - notazione, definizione di soluzione, Langevin's equation
Lez. 22: 21/11/2025: Processo di Ornstein-Uhlenbeck, introduzione al rumore bianco, esempio di costruzione di soluzioni di SDE
Lez. 23: 25/11/2025: Metodo del cambiamento di variabili, lemma di Gronwall (enunciato), teorema di esistenza e unicita' per soluzioni di SDE (parte I)
Lez. 24: 26/11/2025: Teorema di esistenza e unicita' per soluzioni di SDE (parte II), qualche formula per risolvere SDE
Lez. 25: 28/11/2025: Esercizi (risoluzione di SDE)
Lez. 26: 02/12/2025: Rappresentazione di Feynman-Kac (con dipendenza dal tempo)
Lez. 27: 03/12/2025: Rappresentazione di Feynman-Kac (indipendenza dal tempo), introduzione al teorema di Girsanov
Lez. 28: 05/12/2025: Teorema di Girsanov, collegamento con teorema di Cameron-Martin, introduzione alla matematica finanziaria, introduzione al modello di Black-Scholes
Lez. 29: 09/12/2025: Formula di Black-Scholes (primo approccio)
Lez. 30: 10/12/2025: Formula di Black-Scholes (secondo approccio), modello di mercato soggetto a eventi rari (shock)