Розв'язання: Повторно наведемо формулу об'єму циліндра:

V=Soc•H=πR2H,

тут Soc=πR2 – площа основи циліндра (площа круга);

H – висота циліндра.

Циліндр описаний навколо призми (циліндр описаний навколо куба за умовою), якщо основи циліндра описані навколо основ призми (коло описане навколо квадрата), а висота циліндра дорівнює висоті призми.

Маємо куб з ребром a, наприклад, (у куба всі ребра рівні) та об'ємом Vкуба=a3=8 см3

Звідси слідує, що ребро (висота, довжина і ширина) куба, а значить і висота циліндра дорівнює

Коло описане навколо квадрата, якщо всі вершини квадрата лежать на колі, а центр кола лежить на перетині діагоналей квадрата.

Тому діаметр кола дорівнює діагоналі AC вписаного квадрата ABCD, а радіус R дорівнює половині діаметра (тобто половині діагоналі ACквадрата ABCD), – радіус, де – довжина діагоналі квадрата.

Її довжину обчислили за теоремою Піфагора у прямокутному ΔACD, ∠ADC=90 і AD=CD=a=2 см – катети.

Об'єм циліндра знаходимо за формулою:

Відповідь: 4π см3 – Б.

Задача 38.30 Знайти об'єм циліндра, якщо розгорткою його бічної поверхні є квадрат, сторона якого дорівнює кубічному кореню з числа Pi ().

Розв'язання: Об'єм циліндра визначаємо за формулою:

V=SocH=πR2H, де R – радіус основи і H – висота циліндра.

Маємо розгортку циліндра – квадрат AA1A1'A' зі стороною (), причому .

Оскільки квадрат AA1A1'A' – розгортка циліндра, то довжина його сторони дорівнює довжині основи циліндра (кола) з радіусом OA=R і висоті циліндра ().

Отже, a=2πR – довжина кола, звідси

– радіус кола, основи циліндра.

Підставляємо в формулу об'єму циліндра:

Отже, V=0,25 (кубічних одиниць) – об'єм циліндра.

Відповідь: 0,25.

Задача 38.35 Криниця має форму циліндра, діаметр основи якого дорівнює 1,2 м, а глибина – 3 м. Він наповнений водою на 2/3 глибини. Обчислити з точністю до 0,01 м3 об'єм води у криниці.

Розв'язання: В умові задачі задано що маємо криницю, яка має форму циліндра.

Зробимо математичну модель задачі:

криницю замінимо на циліндр з діаметром основи D=1,2 м, а її глибина – це висота циліндра, H=3 м.

Об'єм води у криниці – це об'єм частини циліндра, який заповнений водою.

Об'єм циліндра V1, який заповнений водою становить 2/3 об'єму заданого циліндра (оскільки об'єм циліндра залежить від висоти лінійно), тобто V1=2/3•V.

Об'єм циліндра обчислюється за формулою:

V=Soc•H=πR2H, де R=D/2=0,6 м – радіус основи і H=3 м – висота циліндра;

π~3,14 – відношення довжини кола до його діаметра.

Переходимо до розрахунків

Тобто V1=2,26 м3 – об'єм води у криниці.

Відповідь: 2,26 м3.

Опрацювати за підручником тему:Призма. Правильна призма.Опрацювати запропоновані задачі Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 13 см, а діагональ бічної грані дорівнює 12 см. Знайти площу основи призми.

Розв'язання: В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною a, тому площу основи обчислимо за формулою:

Soc=a2.

У правильної призми бічне ребро перпендикулярне до площини основи CC1⊥ (ABC), тому CC1⊥BC. Звідси CC – перпендикуляр опущений з вершини C1 на площину основи (на квадрат ABCD), BC1 – похила, яка опущена з цієї ж вершини C1 на площину основи, BC – проекція похилої BC1.

Оскільки основа – квадрат ABCD, то AB⊥BC.

За теоремою «Про три перпендикуляри» маємо AB⊥BC1, тому ΔABC1 – прямокутний (∠ABC1=90). З прямокутного трикутника ABC1(∠ABC1=90), в якому BC<1=12 см – катет (діагональ бічної грані) і AC1=13 см – гіпотенуза (діагональ призми), за теоремою Піфагора знайдемо катет AB=a – довжину сторони квадрата:

Площа основи правильної чотирикутної призми – квадрата ABCD:

Soc=a2=52=25 см2.

Відповідь: 25 см2 – Б.

У правильній чотирикутній призмі площа діагонального перерізу дорівнює S. Визначити площу бічної поверхні.

Розв'язання: Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:

Sб=Poc•H=4aH.

У правильній чотирикутній призмі діагональним перерізом є прямокутник ACC1A1 зі сторонами діагоналі основи призми AC і висоти CC1=H.

Діагональ основи правильної чотирикутної призми (квадрата ABCD):

(Обчислюємо як довжину гіпотенузи AС прямокутного ΔABC (∠ABC=90)).

Площа діагонального перерізу:

Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми:

Відповідь: 2√2S – В. Опрацювати за підручником тему: Призма.Пряма призма

Чотирикутна призма

Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює a, а висота – H.

Розв'язання: Площа повної поверхні правильної призми:

Sn=2Soc+Sb.

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною a.

Тому площа основи:

Soc=a2,

периметр основи:

Poc=4a.

Площа бічної поверхні:

Sb=Soc•H=4aH.

Площа повної поверхні правильної чотирикутної призми:

Sn=2Soc+Sb=2a2+4aH=2a(a+2H).

Відповідь: 2a(a+2H) – Д.

В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4 см і 10 см і бічною стороною 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 10 см.

Обчислити повну поверхню призми.

Розв'язання: Площа повної поверхні прямої призми:

Sп=2Soc+Sb.

В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами AD=4 см і BC=10 см і бічною стороною AB=CD=5 см.

Знайдемо висоту DL трапеції.

Із прямокутного трикутника DLC (∠DLC=90, бо DL⊥BC, CD=5 см – гіпотенуза і CL=3 см – катет) знайдемо катет DL.

DL2=CD2-CL2, звідси

Площа основи – трапеції ABCD:

Периметр основи:

Poc=AB+BC+CD=2•5+10+4=24 см.

Площа бічної поверхні:

Sб=Poc•h=24•10=240 см2.

Площа повної поверхні прямої призми:

Sп=2Soc+Sb=2•28+240=296 см2.

Відповідь: 296 см2 – Д.