5 клас

Опрацювати 13-14 квітня

Добуток десяткового дробу і натурального числа

Як відомо, суму однакових доданків можна замінити . Добуток десяткового дробу і натурального числа

Як відомо, суму однакових доданків можна замінити добутком.

Наприклад, 1,3+1,3+1,3+1,3+1,3=1,3⋅5=6,5

Добутком десяткового дробу і натурального числа називають суму доданків,

кожен з яких дорівнює даному десятковому дробу, а кількість доданків дорівнює цьому натуральному числу.

Значення 6,5 для добутку 1,3⋅5 можна отримати інакше: помножити 1,3 на 5, не звертаючи уваги на кому, а в отриманому добутку 65 відокремити комою одну цифру справа, тобто стільки, скільки цифр після коми в дробі 1,3.

Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, потрібно:

1) помножити його на це число, не звертаючи уваги на кому;

2) в отриманому добутку відокремити комою стільки цифр праворуч, скільки їх відокремлено комою в десятковому дробі.

При множенні великих чисел десятковий дріб множать на натуральне число "стовпчиком".

Приклад:

25,017⋅12=300,204

25,017⋅12¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯50034+25017¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯300,204

.

Наприклад, 1,3+1,3+1,3+1,3+1,3=1,3⋅5=6,5атурален з яких дорівнює даному десятковому дробу, а кількість доданків дорівнює цьому натуральному числу.

Значення 6,5 для добутку 1,3⋅5 можна отримати інакше: помножити 1,3 на 5, не звертаючи уваги на кому, а в отриманому добутку 65 відокремити комою одну цифру справа, тобто стільки, скільки цифр після коми в дробі 1,3.

Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, потрібно:

1) помножити його на це число, не звертаючи уваги на кому;

2) в отриманому добутку відокремити комою стільки цифр праворуч, скільки їх відокремлено комою в десятковому дробі.

При множенні великих чисел десятковий дріб множать на натуральне число "стовпчиком".

⋅

25,017⋅12¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯50034+25017¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯300,204

9 -10 квітня

Множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.

Щоб помножити десятковий дріб на 10,100,1000 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому на стільки цифр вправо, скільки нулів стоїть у множнику після одиниці.

Приклад:

Якщо в результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нуль або декілька нулів.

При множенні десяткового дробу на 10 кому переносять на одну цифру праворуч (число збільшується).

Отже, при діленні на 10, кому треба переносити на одну цифру ліворуч (число зменшується).

27,5:10=2,75 2,75⋅10=27.5

При діленні на 100 кому переносять на дві цифри ліворуч.

347,3:100=3,473

51048,1:1000=51,0481

Щоб поділити десятковий дріб на 10,100,1000 і т.д., треба перенести кому в цьому дробу на стільки цифр ліворуч, скільки нулів стоїть після одиниці в дільнику.

Будь-яке ціле число можна записати у вигляді десяткового дробу, поставивши кому праворуч і приписавши нулі.

9153:100=9153,0:100=91,530=91,5

Наприклад: 6,7:10=06,7:10=0,67

4,761:100=Виконати тест

ВИКОНАТИ7 -8квітня

березня

Виконати протягом 25- 26 березня

Опрацювати 20-21 березня

Додавання і віднімання десяткових дробів.

Розглянемо задачу.

В одному відрізі є 2 м 1 дм 2 см тканини, а в іншому — 1 м 3 дм 4 см. Скільки тканини у двох відрізах?

Для розв'язання задачі додамо довжини обох відрізів у стовпчик.

2 м 1 дм 2 см 1 м 3 дм 4 см

3 м 4 дм б см

Щоб знайти суму довжин, ми додавали число сантиметрів до числа сантиметрів, число дециметрів до числа дециметрів, число метрів до числа метрів.

Вирази довжини відрізків у метрах і спробуй додати одержані десяткові дроби у стовпчик.

Довжинами кожного з відрізів у метрах є: 2,12 м і 1,34 м. Щоб відповісти на запитання задачі, потрібно додати числа 2,12 і 1,34.

Попереднє розв'язання підказує, що потрібно додавати соті до сотих (бо сантиметри додавали до сантиметрів), десяті — до десятих, одиниці — до одиниць. Тому числа 2,12 та 1,34 потрібно підписати одне під одним так, щоб кома стояла під комою. Далі додати десяткові дроби так, як і натуральні числа, не зважаючи на коми. У сумі кому ставити під комою. Запис додавання десяткових дробів у стовпчик має такий вигляд:

+ 2,12

1,34 3,46

Як знайти різниці 3,46 - 2,12 і 3,46 - 1,34?

Віднімаючи, за відомою сумою і одним з доданків знаходять другий доданок. Оскільки 2,12 + 1,34 = 3,46, то

3,46-2,12 = 1,34 і 3,46-1,34 = 2,12.

Записи віднімання у стовпчик мають такий вигляд:

_3,4б _3,4б

2,12 1,34

1,34 2,12

Отже, віднімаючи десяткові дроби, від'ємник підписують під зменшуваним так, щоб кома стояла під комою. Віднімають десяткові дроби, як і натуральні числа, не зважаючи на коми. У різниці кому ставлять під комою.

Додаючи й віднімаючи дроби з різною кількістю десяткових знаків, цю кількість можна зрівняти, дописавши нулі. Нулі можна і не дописувати, а подум-ки уявляти їх на тих місцях, де немає розрядних одиниць.

Для додавання десяткових дробів справджуються вивчені раніше переставна і сполучна властивості:

а + b = b + a — переставна властивість;

(а + Ь) + с = а + (Ь + с) — сполучна властивість.

Прочитай

1. Виконати дії:

3)2,39802+13,54; б)

• а) 13,54=13,54000;

15,13

+ 2,39802 + 2,39802

13,54000 або 13,54 15,93802 15,93802

б) 15,13 = 15,1300;

15,1300

0,6278

14,5022

0,6278.

Додавання починаємо справа:

2 + 0 = 2 стотисячних, 0 + 0 = 0 десятитисячних,

8 + 0 = 8 тисячних,

9 + 4=13 сотих, 3 пишемо, 1 переносимо в десяті,

3 + 5 + 1=9 десятих,

2 + 3 = S одиниць, 1 десяток.

Віднімання починаємо справа: беремо 1 соту і, перетворюємо її у 10 тисячних, беремо 1 тисячну і перетворюємо її у 10 десятитисячних, матимемо 9 тисячних і 10 десятитисячних; 10-8 = 2 десятитисячних, 9-7 = 2 тисячних, 2-2 = 0 сотих, 11-6 = 5 десятих,

4 одиниці, 1 десяток.

2. Розв'язати рівняння:

а) х+ 14,72= 17,518; б)23-х= 14,574.

а) х= 17,518- -14,72; б) х = 23 -14,574;

_17,518 _23,000

14,72 14,574

2,798 8,426

х = 2,798; х = 8,426.

867. а) 0,942 + 3,27

868. а) 8,184 - 3,32

Рівень А

б) 14,0856 9,97

б) _23,18

15,325

в) 0,018 +

10,096

в) _1,91

0,8752

Виконай дії:

869. а) 0,17+ 5,2;

г) 0,018 + 0,19;

є) 28,03 - 9,0048;

а) 43 + 31,17;

г) 3,1 + 0,096;

є) 15,1 - 13,273;

Знайди х, якщо:

а)*+ 0,8= 1;

б) 7,9 + 0,537; д) 16,71-15,8; ж) 12-0,037; 6)15,04 + 9,86; д) 0,084 + 0,0095; ж) 10,3 -1,099;

б) х - 0,08 = 0,07;

872. Знайди пропущені числа:

в) 4,302 + 0,768; є) 28,6-3,33; 3)0,012-0,0089. в) 7,141+0,98; є) 12,32-8,7; з) 0,064 - 0,0034.

в) 1,2 - х = 0,4.

Обчисли:

873. а) 5,73 + 2,902 + 0,79;

в) 62,9-(29,01-7,9);

д) 11,7-(5,79+ 4,92);

а)2,14 + 3,68+ 10,603;

в) 30,48+ 120,1 +4,368;

д) 0,035+ 0,108-0,12;

б)132-81,9 + 32,71; г) 81,05 -7,9 -11,37; є) 18,92-(8-6,017). 6) 4,75 + 0,354 + 3,0046; г) 3,28+ 4,16-2,106; є) 32,78 - (5,66 + 10,495).

Дано три числа: 5,82; 4,097; 0,378. Склади з них усі можливі суми та знайди їхні значення.

Дано три числа: 8,17; 9,05; 7,739. Склади з них усі можливі різниці та знайди їхні значення. Від якого числа потрібно відняти 1,27, щоб одержати 7,03?

До якого числа потрібно додати 5,08, щоб одержати 11,1?

Розв'яжи рівняння:

879. а) 7,23+х= 10,141;

в) х- 0,39 =14,57; а)х + 14,5 = 24,807;

в) 8,7-х = 7,95;

6) 28,15 -х = 15,09; г) 5,41+ 4,9 +х= 17,29. б)х-11,42 = 0,982; г) 2,4 + 0,66 +х = 7,045.

Перша кімната квартири має площу 14,2 м2, площа другої кімнати на 7,5 м2 більша від площі першої, а площа третьої на 5,2 м2 менша від площі другої. Яка площа третьої кімнати?

Перша сторона трикутника дорівнює 16,7 см, друга — на 1,9 см коротша від першої. Яка довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника дорівнює 40,9 см?

Довжина прямокутника дорівнює 11,3 см, а його ширина на 3,9 см менша від довжини. Чому дорівнює периметр цього прямокутника? Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 12,5 км/год, а швидкість течії річки — 2,8 км/год. Яка швидкість човна за течією річки; проти течії річки?

Рівень Б

Обчисли зручним способом:

885. а) 6,25 + 8,63 - 2,13 + 1,25;

а)4,425 + 3,441-1,341+2,575;

6)0,375 + 4,318 + 1,625-1,318.

б) 55,47 + 7,763 + 0, 53 -2,063.

887. Розстав замість зірочок знаки «+» і «-» так, щоб виконувалася рівність: а) 0,01 * 1,1 *0*0,11 * 1 =0;

б) 0,4 * 0,6 * 0,7 * 0,05 * 0,75 = 1.

Знайди різницю в метрах:

а) 7,2 м - 82 см; б) 8 дм - 49 см; в) 346 см - 96 см; г) 5,4 м - 39 дм. Знайди різницю в дециметрах:

а) 4,43 дм - 27 см; б) 86 см - 0,25 дм; в) 1 м Зсм-78 см.

Знайди різницю в кілограмах:

а) 3 ц - 43,5 кг; б) 4 ц 6 кг - 49,6 кг.

Знайди значення виразу в центнерах: а) 2 т + 4 ц + 6 кг; б) 4 т - 8,5 ц - 80 кг.

Знайди суму у квадратних метрах: 2 а + 34,2 м .

Знайди суму в арах: 2 га + 2,6 а + 600 м2.

За перший день турист пройшов 18,1 км, що на 1,3 км більше від того шляху, який він пройшов за другий день. Який шлях пройшов турист за два дні?

Перша сторона трикутника дорівнює 5,23 дм. Вона на 0,6 дм коротша від другої сторони і на 0,9 дм довша від третьої. Чому дорівнює периметр цього трикутника?

В Андрія та Сергія однакові шматки риболовної ліски. Андрій відмотав Сергієві 1,6 м ліски. На скільки метрів ліски в Андрія залишилося менше, ніж стало у Сергія?

Швидкість течії річки дорівнює 2,8 км/год. На скільки кілометрів більше проходить за годину човен за течією цієї річки, ніж проти течії? На порожній бочці з-під оселедців було написано: брутто — 86,25 кг, нетто — 81,7 кг. У неї засипали 80,5 кг оселедців. Що тепер потрібно написати на бочці?

Маса двох ящиків з яблуками становить 27,2 кг, до того ж, маса одного з них на 3,2 кг більша від маси іншого. Яка маса кожного яшика?

Склади задачу за її розв'язанням:

1)14,2-2,2=12; 2)12:2 = 6; 3)6 + 2,2 = 8,2.

Площа першого поля на 1,2 га менша від площі другого, а площа третього — на 2,8 га більша від площі другого. Яке з полів — перше чи третє — має більшу площу і на скільки?

У графин з водою долили 0,4 л води. Через деякий час витратили 0,75 л, а потім долили ще 0,85 л, після чого у графині стало 2 л води. Скільки води було у графині спочатку?

Здогадайся

904. Знайди суму чисел: 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,98 + 0,99.

Виконання прикладів записати в зошитах

Опрацювати протягом18 19 Порівняння десяткових дробів

Який шматок дроту довший — завдовжки 0,7 м чи 0,70 м?

0,7 м = 7 дм; 0,70 м = 70 см. Оскільки 7 дм = 70 см, то 0,7 м = 0,70 м.

Отже, якщо до деякого десяткового дробу дописати праворуч нуль (або кілька пулів), то одержимо дріб, який дорівнює даному.

Навпаки, якщо деякий десятковий дріб закінчується нулями, то ці нулі можна відкинути й отримаємо дріб, який дорівнює даному.

Десяткові дроби записують за тими ж правилами, що й натуральні числа. Тому порівнювати десяткові дроби можна за правилами, аналогічними до правил порівняння натуральних чисел.

Який із дробів — 15,4 чи 11,32 — більший? Чому?

Ціла частина першого дробу дорівнює 15, а другого — 11. Оскільки 15 > 11, то 15,4 > 11,32.

Який із дробів — 15,41 чи 15,28 — більший? Чому?

Дроби 15,41 і 15,28 мають однакові цілі частини, але перший з них мас більше число десятих: 4 > 2. Тому 15,41 > 15,28. Дроби 15,41 і 15,43 мають однакові цілі частини й однакове число десятих. Проте перший з них має менше число сотих (1 < 3), тому 15,41 < 15,43.

Порівняємо дроби 3,42 і 3,423. Запишемо перший дріб так: 3,42 = 3,420. Оскільки 3,420 < 3,423, то 3,42 < 3,423.

Отже, із двох десяткових дробів більший той, у якого більша ціла частина. Якщо десяткові дроби мають однакові цілі частини, то більшим буде той дріб, у якого більше число десятих; якщо число десятих однакове, то більшим буде той дріб, у якого більше число сотих, і т. д.

Десяткові дроби, як і звичайні, можна зображати точками на координатному промені. Знайдемо, наприклад, на координатному промені точку, що відповідає десятковому дробу 0,7. Для цього поділимо одиничний відрізок координатного променя ОХ (рис. 124) на десять рівних частин. Кожна частина становить 0,1 одиничного відрізка. Від початку променя відкладемо сім таких частин, отримаємо точку Е, яка відповідає числу 0,7. Кажуть і навпаки: точці Е відповідає число 0,7. Щоб знайти точку, що відповідає числу 1,2, відкладемо від точки О одиничний відрізок і 2 десятих частини наступного одиничного відрізка. Отримаємо точку F, яка й відповідає числу 1,2.

Ми вже знаємо, що 1,2 > 0,7. Точка F, яка відповідає числу 1,2, лежить на координатному промені правіше від точки Е, яка відповідає числу 0,7. Отже, із двох десяткових дробів більшому дробу відповідає точка координатнп-о променя, що лежить правіше.

б) 0,3 і 0,23; г) 4 і 4,2.

Прочитай

Порівняти десяткові дроби:

а) 121,35 і 123,11; в) 1,73 і 1,738;

а) 121,35 < 123,11, бо 121 < 123;

б) 0,3 > 0,23, бо цілі частини однакові, але перший дріб має більше число десятих (3 > 2);

в) 1,73 = 1,730; 1,730 < 1,738, бо цілі частини, числа десятих і числа сотих однакові, але число тисячних першого дробу менше (0 < 8). Отже, 1,73 < 1,738;

г) якщо після запису деякого натурального числа поставити кому і дописати після неї кілька нулів, то одержимо десятковий дріб, що дорівнює даному натуральному числу. Тому 4 = 4,0.

Знаючи, що 4,0 < 4,2, отримаємо: 4 < 4,2.

Усно

• 1. Назви кілька десяткових дробів, що дорівнюють дробу: 0,350; 1,2; 1,10; 3,01.

  2. Назви кілька десяткових дробів, менших від дробу 9,5.

  3. Назви кілька десяткових дробів, більших від дробу 0,49.

  4. Прочитай десяткові дроби і порівняй їх: 0,2; 0,20; 0,200; 0,2000; 0,20000. Відповідь обгрунтуй.

Рівень А

Використавши найменшу кількість цифр, запиши десяткові дроби, що дорівнюють даним: 5,210; 3,020; 80,0100; 4,0300.

Порівняй десяткові дроби:

б) 8,27 і 8,35; Д) 2,7 і 2,72; ж) 3,14 і 3,1462; і) 2,01 і 2,002; б) 21,2 і 20,8; д) 4,35 і 4,351; ж) 5,034 і 5,042;

835.

а) 17,6 і 21,6; г) 5,538 і 5,539; є) 14,230 і 14,227; и) 25 і 25,04; а) 7,3 і 7,4; г) 8,01 і 8,21; є) 7 і 7,03;

в) 40,37 і 40,31; є) 10,7 і 10,700: з) 3,43 і 3,4285f й) 0,17 і 0,173. в) 17,31 і 17,29; є) 9,57 і 9,570; з) 0,3 і 0,279.

836. Знайди помилки і виправ їх:

а) 0,23 > 0,19; б) 25,4 > 24,942; в) 2,70 > 2,7;

г) 3,521 > 3,6; д) 0,0741 > 0,07; є) 5,001 > 5,02.

837. Запиши два десяткові дроби, більші від 11,23.

838. Запиши десяткові дроби в порядку спадання:

а) 7,07; 7,02; 0,702; 0,072; 0,0072; 0,72;

б) 0,507; 0,57; 1,02; 10,2; 0,372; 0,0539. Запиши десяткові дроби в порядку зростання:

а) 5,01; 5,003; 0,053; 0,503; 0,0504; 0,5004;

б) 0,72; 0,702; 0,79; 7,9; 7,91; 0,709; 0,799.

840. Накресли координатний промінь. За одиничний відрізок візьми 10 клітинок зошита. Познач на промені дроби: 0,3; 0,8; 1,5. Накресли координатний промінь. За одиничний відрізок візьми 10 клітинок зошита. Познач на ньому дроби: 0,4; 0,9; 1,7.

Рівень Б

842. Між якими двома сусідніми натуральними числами розміщений десятковий дріб: а) 3,8; б) 12,48; в) 10,4; г) 7,22?

Скільки є натуральних значень х таких, що:

а)5,6<х<6,1; б) 8,2 <jc< 14; в) 3,72 <jc< 8,3;

г) 14<х< 14,2; д)25<х<26; є) 0,8 <х < 3,4?

844. Замість зірочок запиши одну й ту ж цифру так, щоб рівність чи нерівність була правильною:

а)0,*3 = 0,3*; б)2,4*>2,*5; в) 0,8*2 < 0,81*;

г) 5,2*1 >5,*29; д) 3,1*2 < 3,12*; є) 0,15* > 0,1*8.

Здогадайся

845. Запиши число 100, використавши знаки арифметичних дій, за потреби дужки та 4 п'ятірки; 5 п'ятірок; 6 п'ятірок.

Вправи для повторення

846. За два дні туристи пройшли 40 км. За перший день вони пройшли 5/8 усього шляху. Скільки кілометрів пройшли туристи за другий день?

847. Склади задачу, маючи її розв'язання.

1) 96 : 3 = 32 (сторінки).

2) 32 - 5 = 160 (сторінок).

848. Запиши десятковий дріб, який має: а) 5 цілих 3 десятих і 2 тисячних; б) 0 цілих 5 сотих і 4 тисячних; в) 0 цілих 7 десятих 2 сотих і 3 десятитисячних.

Опрацювати протягом 16-17 Сприймання і освоєння навчального матеріалу.

1 м = 10 дм, 1 дм =

м, 1 дм = 10 см, 1 см = дм, 3 см = дм.

1 грн. = 100 к.; 1 к. =

грн.; 8 к. = грн.

1 м = 100 см, 1 см =

м, 5 см = м.

Дробові числа мають знаменники 10, 100, тобто одиницю з наступними нулями. Поряд зі звичайними дробами для запису дробових чисел використо­вують десяткові дроби.

Виразимо 3 м 572 мм у метрах. Оскільки 1 мм =

м, то 572 мм = м, тоді 3 м 572 мм = 3

м.

Одиниця довільного розряду становить одну десяту частину одиниці наступного, вищого розряду.

З іншого боку, 3 м 572 мм = 3 м + 500 мм + 70 мм + 2 мм = 3 м + 5 дм + + 7 см + 2 мм = 3 м +

м + м + м = 3,572 м.

Ліворуч від коми в числі 3,572 м стоїть натуральне число 3, яке показує число цілих метрів. Праворуч від коми перша цифра 5 показує число десятих частин (дм), друга цифра 7 — число сотих частин (см) і третя цифра 2 — чи­сло тисячних частин (мм) метра. Запис 3,572 називають десятковим дробом, що означає десятковий запис дробового числа.

Десятковий дріб складається з двох частин: ліворуч від коми — цифри цілої частини десяткового дробу, а праворуч — цифри її дробової частини, останні називають десятковими знаками. Число 3,572 має три десяткові знаки 5, 7 і 2. Якщо знаменник дробової частини числа — розрядна одиниця 10, 100, 1000,..., то щоб записати це число десятковим дробом, роблять так:

1) записують цілу частину числа (вона може дорівнювати 0) і ставлять кому;

2) праворуч від коми записують чисельник дробової частини даного чи­сла, якщо чисельник має стільки знаків, скільки нулів у знаменнику. Якщо ж у чисельнику менше знаків, ніж у знаменнику нулів, то після коми, перед ци­фрами чисельника, потрібно дописати таку кількість нулів, якої не вистачає

Наприклад:

= 0,017; = 0,01.

Щоб швидко прочитати десятковий дріб, достатньо подивитися, на яко­му місці після коми стоїть останній десятковий знак.

З історії виникнення десяткових дробів

Десяткові дроби були відомі з давніх-давен. У деяких країнах Азії вони застосовувалися ще до нашої ери.

У XV ст. знання про десяткові дроби значно розвинув провідний учений найкращої на той час у світі Самаркандської астрономічної обсерваторії аль Каші. У творі «Ключ до арифметики» (1427 р.) він дав правила дій над десят­ковими дробами. Десяткові дроби аль Каші зображав різними способами: ці­лу частину відокремлював вертикальною рискою або писав її іншим кольо­ром, або надписував над цифрами назви розрядів.

Згодом десяткові дроби з'являються і в Європі. У 1585 році вийшла праця про десяткові дроби нідерландського інженера Симона Стевіна.