Ejemplo 1
Del sueldo de Luis, 2/5 partes son para gastos personales y 1/5 parte para alquiler de la casa. ¿Qué fracción de su sueldo le queda para otros gastos?
1) ½
2) 1/5
3) 7/10
4) 3/5
5) 2/5
Explicación
Observe que si Luis gasta 1/5 de su sueldo en el alquiler de la casa y 2/5 del mismo en gastos personales, entonces gasta en esas dos cosas 2/5 y 1/5 de su sueldo. Como 1/5 + 2/5 = 3/5 se tiene entonces que Luis gasta 3/5 partes de su sueldo en alquiler y gastos personales.
Considerando el sueldo de Luis como una unidad, y sabiendo que gasta 3/5 partes de su sueldo; entonces, lo que le queda para otros gastos se obtiene restando 3/5 de 1
Como 1- 3/5 = 2/5 se concluye entonces que 2/5 partes del sueldo de Luis son para otros gastos. Por tanto, la opción 5) es la correcta.
Ejemplo 2
Si el diámetro de un círculo se triplica, su área con respecto a la original
será mayor:
1) 3 veces
2) 4 veces
3) 6 veces
4) 9 veces
5) 36 veces
Explicación
Si se llama con r el radio del círculo original, su área es r 2. Al triplicarse su diámetro, el radio resulta triplicado, de manera que el nuevo radio es 3r y el área del nuevo círculo es entonces (3r) 2= 9 r 2.
El área del círculo aumentado (9 r2) resulta 9 veces mayor que la del círculo original ( r2). La opción correcta es la 4).
Ejemplo 3
Cada día gano ¢500 más de lo ganado el día anterior. Si el jueves gané el triple de lo ganado el lunes, ¿cuánto gané el miércoles?
1) ¢750
2) ¢1 250
3) ¢1 500
4) ¢1 750
5) ¢2 250
Explicación
La solución de este problema puede obtenerse resolviendo una ecuación lineal de primer grado, de la siguiente manera: llámese con x la cantidad de dinero recibida el lunes. Cada día gano ¢500 más de lo obtenido el día anterior, por tanto, el martes gano [x+500] colones, el miércoles gano [(x+500)+500]=[x+1000] colones, y el jueves gano [(x+1000)+500] = [x+1500] colones.
Por otra parte, lo ganado el jueves es el triple de lo ganado el lunes; entonces: x+1500=3x; y si se despeja la incógnita, se obtiene: x=750.
Así, lo que gané el lunes fue ¢750 y por tanto, lo que gané el miércoles fue ¢1750. De aquí que la opción correcta es la 4). Las otras cuatro opciones corresponden a errores comunes en el planteo del problema y en la solución de la ecuación.
Ejemplo 4
José tiene 90 naranjas para vender. Al primer comprador le vende la tercera parte de ellas; al segundo comprador le vende la tercera parte del resto.
¿Cuántas naranjas le quedan a José?
1) 10
2) 20
3) 30
4) 40
5) 50
Explicación
Al primer comprador José le vende la tercera parte del total de naranjas; esto es, le vende la tercera parte de las 90 naranjas que tiene, es decir 30 naranjas. El resto, después de la primera venta, será 60 naranjas.
Al segundo comprador José le vende la tercera parte del resto; esto es, le vende la tercera parte de las 60 naranjas sobrantes de la primera venta; por tanto al segundo comprador José le vende 20 naranjas. En total, José vendió 50 naranjas, distribuidas así: 30 al primer comprador y 20 al segundo comprador. En consecuencia, le quedaron sin vender 40 naranjas. La opción 4) es la correcta.
Ejemplo 5
En un rombo cualquiera, como el de la figura adjunta, la opción correcta que relaciona los ángulos a y b es:
1) a = b
2) b = 2 a
3) a + b = 90º
4) a + b < 90º
5) 2 a + b = 90º
Explicación
Las opciones 1) y 2) se desechan porque corresponden a casos particulares de rombos: la 1) se refiere a un rombo de diagonales iguales; la 2) a un rombo que tiene dos ángulos de 60º y dos de 120º, por tanto, no pueden afirmarse para un rombo cualquiera. Las opciones 4) y 5) son incorrectas porque en un rombo cualquiera se pueden distinguir cuatro triángulos rectángulos congruentes; en ellos se cumple que el ángulo a es congruente con el ángulo complementario del ángulo b, lo que significa que a +b = 90º. Entonces la opción 3) es la correcta.
Ejemplo 6
Sea a un número entero con el cual se forma la expresión: a(a+1). Esta expresión siempre es un número:
1) impar
2) par
3) negativo
4) igual a cero
5) diferente de cero
Explicación
Como a es un número entero, la expresión (a+1) equivale al número entero consecutivo. La expresión a(a+1) corresponde a la multiplicación de un número entero por su consecutivo, y por tanto, a la multiplicación de un número par por otro impar. En efecto, si a es par, el entero siguiente (a+1) será impar y, si a fuera impar, entonces (a+1) sería par.
El producto de un número par por uno impar siempre es un número par, por lo que la opción correcta es la 2) y la opción 1) jamás podría presentarse. La opción 4) se daría solo en el caso particular de que a fuera cero (0)o menos uno ( 1), por lo que no puede afirmarse que suceda siempre. La opción 3) nunca podría presentarse. La expresión a(a+1) corresponde al producto de dos números negativos consecutivos, a dos números positivos consecutivos, o a un número multiplicado por cero, y en ninguno de estos tres casos, la multiplicación dará negativa. En el caso particular de que a tomara los valores 0 ó ( 1), la opción 5) no se cumplirá.
Ejemplo 7
Un tanque está provisto de dos llaves; la primera puede llenar el tanque en 3 horas y la segunda puede llenarlo en 2 horas. ¿En cuánto tiempo se llena el tanque si están abiertas las dos llaves?
1) 6 horas
2) 5 horas
3) 2 horas y 30 minutos
4) 1 hora y 12 minutos
5) 10 minutos
Explicación
La primera llave tarda 3 horas en llenar el tanque, por tanto, en una hora está llena 1/3 del tanque. Por un razonamiento análogo se deduce que la segunda llave llena en una hora 1/2 tanque. Las dos llaves juntas llenan, en una hora, 1/3 + 1/2, o sea, 5/6 del tanque. Por tanto, transcurrida una hora falta 1/6 de tanque para llenar.
Como las llaves juntas llenan 5/6 de tanque en una hora, llenarán 1/6 de tanque en 1/5 de hora, o sea, llenarán 1/6 de tanque en 12 minutos. Luego, las llaves juntas llenarán el tanque en 1 hora y 12 minutos; por tanto, la opción 4) es la correcta.