VIDEO AULAS:

Descomplica: https://youtu.be/Q_tHELEwVN0?si=8yZrPAl5ndawdoJ6
Karina Hayashida: https://youtu.be/GL_ft2bW9QM?si=aLZOsN1-1j5Na44j
Sandro Curió: https://youtu.be/BWwQa8c22Pw?si=kLI9lGO6zGolcG0S

Gis com Giz: https://youtu.be/waIXJzREyw8?si=tdmZO-V5vyI2nGwc

Bizutemática: https://youtu.be/NNPn4dpPe4o?si=9vcgFyrqIympRFAw

COPIE E RESOLVA EM SEU CADERNO:

Nível Fácil

1. Em uma PA, o primeiro termo é 7 e a razão é 4. Escreva os 10 primeiros termos da sequência.

2. Determine o 15º termo da PA: 3, 8, 13, 18, ...

3. Qual é a razão da PA: 20, 16, 12, 8, ...

4. Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 12 e a razão é -2, determine o 20º termo.

5. Verifique se a sequência abaixo é uma progressão aritmética. Justifique sua resposta. 9, 15, 21, 27, 33

Nível Intermediário

6. Em uma PA, o primeiro termo é 5 e a razão é 6. Determine qual é a posição do termo 113.

7. Uma PA possui primeiro termo igual a 18 e último termo igual a 90, com razão igual a 6. Quantos termos ela possui?

8. Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA: 4, 9, 14, 19, ...

9. Em uma PA, o 8º termo é 38 e a razão é 4. Determine o primeiro termo.

10. A soma dos 25 primeiros termos de uma PA é 1.175 e o primeiro termo é 11. Determine a razão dessa progressão.

Nível Difícil

11. Em uma PA, o primeiro termo é 9 e a razão é 5. A soma de seus termos é 2.184. Determine quantos termos possui essa PA.

12. Três números consecutivos de uma PA têm soma igual a 126. Sabendo que a razão é 8, determine esses três números.

13. Em uma PA crescente, o 5º termo é igual ao dobro do 2º termo. Sabendo que a razão é positiva, determine o primeiro termo em função da razão e estabeleça a relação entre eles.

14. A soma dos primeiros n termos de uma PA é 840. Sabendo que o primeiro termo é 12, a razão é 4 e o último termo da soma é exatamente um termo da PA, determine o valor de n.

15. Uma empresa concede aumentos salariais anuais em progressão aritmética. No primeiro ano, o aumento foi de R$ 180,00 e, a cada ano, o valor do aumento cresce R$ 25,00 em relação ao ano anterior. Após vários anos, a soma total dos aumentos concedidos atingiu R$ 9.225,00. Determine quantos aumentos foram concedidos.

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A fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética (PA) permite determinar qualquer termo da sequência sem a necessidade de escrever todos os termos anteriores:

an = a1 + (n - 1) * r

Componentes da fórmula:

• an: termo geral (n-ésimo termo a ser calculated)

• a1: primeiro termo da sequência

• n: posição do termo desejado

• r: razão da PA (diferença constante entre dois termos consecutivos: r = a2 - a1)

Exemplo de Aplicação (Termo Geral)

Calcular o 15º termo da PA (2, 7, 12, 17, ...):

1. Extrair os dados:

   • a1 = 2

   • r = 7 - 2 = 5

   • n = 15

2. Substituir na fórmula: 

    a15 = 2 + (15 - 1) * 5
    a15 = 2 + 14 * 5
    a15 = 2 + 70
    a15 = 72

O 15º termo da sequência é 72.

VIDEO AULAS:

Gis com Giz: https://youtu.be/XROiXtPB_g4?si=CYj29YilxNiCM9gc
Equaciona: https://youtu.be/zgT8oQlUtZ8?si=u_xt5Asohi2DGY8e

COPIE E RESOLVA EM SEU CADERNO:

Nível Fácil

1. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA: 2, 5, 8, 11, ...

2. Determine a soma dos 20 primeiros termos de uma PA cujo primeiro termo é 6 e a razão é 3.

3. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA: 10, 14, 18, 22, ...

4. Uma PA possui primeiro termo igual a 8, razão igual a 5 e 12 termos. Determine a soma de seus termos.

5. Determine a soma dos 25 primeiros termos da PA: 1, 4, 7, 10, ...

Nível Intermediário

6. Uma PA possui primeiro termo igual a 12, último termo igual a 84 e 19 termos. Determine a soma de todos os seus termos.

7. A soma dos primeiros termos de uma PA é formada por 30 termos. Sabendo que o primeiro termo é 15 e a razão é 4, determine essa soma.

8. Em uma PA, o primeiro termo é 7, a razão é 6 e o último termo é 133. Determine a soma de todos os termos.

9. Uma sequência em PA possui 40 termos, primeiro termo igual a 5 e último termo igual a 122. Determine a soma dos termos dessa sequência.

10. A soma dos 18 primeiros termos de uma PA é pedida. Sabendo que o primeiro termo é 11 e o décimo oitavo termo é 79, determine essa soma.

Nível Difícil

11. A soma dos primeiros n termos de uma PA é igual a 1.575. Sabendo que o primeiro termo é 9 e a razão é 4, determine o número de termos dessa progressão.

12. Em uma PA, o primeiro termo é 20 e a razão é 5. Sabendo que a soma de todos os seus termos é 4.500, determine quantos termos possui essa PA.

13. Um teatro possui 25 fileiras de cadeiras. A primeira fileira possui 18 cadeiras e cada fileira seguinte possui 3 cadeiras a mais que a anterior. Determine o número total de cadeiras do teatro.

14. Um corredor percorre uma distância em etapas diárias formando uma PA. No primeiro dia ele percorreu 2 km e, a cada dia, aumentou seu percurso em 0,5 km. Após 20 dias, determine a distância total percorrida.

15. Em uma empresa, um funcionário recebe um bônus anual em progressão aritmética. No primeiro ano, o bônus foi de R$ 500,00 e, a cada ano, aumentou R$ 120,00 em relação ao ano anterior. Ao final de um determinado período, o total recebido em bônus foi de R$ 24.000,00. Determine quantos anos de bônus foram considerados.

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Fórmula da Soma dos n Primeiros Termos

A soma dos n primeiros termos de uma PA (Sn) é obtida pela fórmula:

Sn = [(a1 + an) * n] / 2

Componentes da fórmula:

• Sn: soma dos n primeiros termos

• a1: primeiro termo

• an: n-ésimo termo (último termo da soma)

• n: quantidade de termos a somar

Exemplo de Aplicação (Soma dos Termos)

Calcular a soma dos 15 primeiros termos da PA (2, 7, 12, 17, ...):

1. Identificar os dados:

   • a1 = 2

   • n = 15

   • a15 = 72

2. Aplicar a fórmula: 

S15 = [(2 + 72) * 15] / 2 

S15 = (74 * 15) / 2 

S15 = 37 * 15 

S15 = 555

A soma dos 15 primeiros termos é 555.

VIDEO AULAS:

Sandro Curió: https://youtu.be/wfFiZq7Oii4?si=dm12DWm3ZbDWALnL

COPIE E RESOLVA EM SEU CADERNO:

Nível Fácil

1. Uma escada possui 15 degraus. A altura do primeiro degrau é de 18 cm e cada degrau seguinte é 1 cm mais alto que o anterior. Qual será a altura do 15º degrau?

2. Uma pessoa economiza R$ 20,00 na primeira semana e aumenta sua economia em R$ 5,00 a cada semana. Quanto ela economizará na 12ª semana?

3. Em um teatro, a primeira fila possui 18 cadeiras e cada fila seguinte possui 2 cadeiras a mais que a anterior. Quantas cadeiras existem na 10ª fila?

4. Um corredor percorre 3 km no primeiro dia de treino e aumenta diariamente seu percurso em 1 km. Quantos quilômetros ele percorrerá no 15º dia?

5. Uma empresa concede um aumento salarial anual de R$ 80,00 acima do aumento do ano anterior. Se o primeiro aumento foi de R$ 200,00, qual será o valor do 8º aumento?

Nível Intermediário

6. Um cinema possui 25 fileiras de poltronas. A primeira fileira tem 20 lugares e cada fileira seguinte possui 3 lugares a mais que a anterior. Quantas poltronas existem ao todo no cinema?

7. Um trabalhador recebe bônus anuais em PA. No primeiro ano recebeu R$ 500,00 e, a cada ano, o bônus aumenta R$ 100,00. Quanto terá recebido ao final de 10 anos?

8. Uma empresa fabrica 150 peças no primeiro dia e aumenta sua produção em 12 peças por dia. Quantas peças serão produzidas no 30º dia?

9. Um agricultor planta árvores em fileiras. A primeira fileira possui 12 árvores e cada fileira seguinte possui 4 árvores a mais que a anterior. Se ele fizer 18 fileiras, quantas árvores terá plantado ao todo?

10. Uma biblioteca organiza livros em prateleiras. A primeira prateleira possui 25 livros e cada prateleira seguinte possui 5 livros a mais que a anterior. Sabendo que existem 16 prateleiras, determine o total de livros.

Nível Difícil

11. Um estádio foi construído com arquibancadas em forma de PA. A primeira fileira possui 40 assentos e cada fileira seguinte possui 6 assentos a mais. Sabendo que o estádio possui 35 fileiras, determine o número total de assentos.

12. Um vendedor aumenta sua meta mensal em 15 unidades a cada mês. No primeiro mês sua meta era de 120 unidades. Após um período, a soma das metas atingiu 8.100 unidades. Determine por quantos meses as metas foram contabilizadas.

13. Um estudante resolve exercícios diariamente. No primeiro dia resolve 18 exercícios e aumenta essa quantidade em 2 exercícios por dia. Ao final de um período, resolveu um total de 1.026 exercícios. Determine quantos dias ele estudou.

14. Em uma estrada, postes são instalados de forma que a distância entre postes consecutivos aumenta 0,5 metro a cada novo intervalo. O primeiro intervalo mede 20 metros. Sabendo que existem 30 intervalos, determine a soma total das distâncias entre o primeiro e o último poste.

15. Uma empresa distribui prêmios anuais aos funcionários. O primeiro prêmio foi de R$ 1.200,00 e, a cada ano, o valor aumentou R$ 180,00. Após alguns anos, o total distribuído foi de R$ 45.600,00. Determine quantos prêmios anuais foram concedidos.

VIDEO AULAS:

Descomplica: https://youtu.be/RSixf97dzhc?si=s24ijoiLkEWX6MD3
Sandro Curió: https://youtu.be/haKrC4quHj8?si=QPWonUzFluWoNbR2

Gis com Giz: https://youtu.be/TMbTqx8lM4c?si=qGapaHXngmN9abGU

COPIE E RESOLVA EM SEU CADERNO:

Nível Fácil:

1. Determine o próximo termo da PG: 2, 4, 8, 16, ____

2. Determine a razão da PG: 5, 10, 20, 40, ...

3. Encontre o 6º termo da PG: 3, 6, 12, 24, ...

4. Determine o próximo termo da PG: 81, 27, 9, 3, ____

5. Escreva os cinco primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é 4 e a razão é 3.

Nível Intermediário:

6. Determine o 8º termo da PG: 2, 6, 18, 54, ...

7. Em uma PG, o primeiro termo é 5 e a razão é 2. Determine o 10º termo.

8. Encontre a razão da PG sabendo que: 4, __, 36

9. Em uma PG, a1​=7 e q=3. Determine o 7º termo.

10. Determine o número de termos da PG: 2, 4, 8, 16, ..., 512

Nível Difícil:

11. Em uma PG, a1​=3 e q=2. Determine o 12º termo.

12. Determine a razão da PG sabendo que: a1​=81 e a5​=1.

13. Em uma PG, o primeiro termo é 6 e a razão é 21​. Determine o 9º termo.

14. Determine a soma dos 8 primeiros termos da PG: 1, 2, 4, 8, ...

15. Uma população de bactérias dobra a cada hora. Sabendo que inicialmente havia 250 bactérias, quantas haverá após 10 horas, considerando que o crescimento segue uma Progressão Geométrica?

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TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

Uma Progressão Geométrica, chamada de PG, é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo chamado de razão.

Exemplo:

2, 6, 18, 54, 162, ...

Observe:

2 × 3 = 6
6 × 3 = 18
18 × 3 = 54
54 × 3 = 162

Portanto, a razão é:

q = 3

O que é o termo geral?

O termo geral é uma fórmula que permite descobrir qualquer termo da PG sem precisar calcular todos os termos anteriores.

Fórmula:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Onde:

aₙ = termo que queremos encontrar
a₁ = primeiro termo da PG
q = razão
n = posição do termo

Exemplo 1

Considere a PG:

3, 6, 12, 24, 48, ...

Temos:

a₁ = 3
q = 2

Queremos descobrir o 7º termo.

Aplicamos a fórmula:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

a₇ = 3 × 2⁷⁻¹

a₇ = 3 × 2⁶

a₇ = 3 × 64

a₇ = 192

Portanto, o 7º termo é: a₇ = 192

COMO ENCONTRAR A RAZÃO DE UMA PG

A razão de uma PG pode ser encontrada dividindo um termo pelo termo anterior.

Fórmula: q = aₙ ÷ aₙ₋₁

Exemplo

PG: 5, 15, 45, 135, ...

Calculando a razão:

q = 15 ÷ 5

q = 3

Podemos confirmar:

45 ÷ 15 = 3

135 ÷ 45 = 3

Logo:

q = 3

PROPRIEDADES DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

As Progressões Geométricas possuem algumas propriedades importantes.

1. O quociente entre termos consecutivos é constante

Essa é a principal característica de uma PG.

Exemplo:

4, 12, 36, 108, ...

12 ÷ 4 = 3

36 ÷ 12 = 3

108 ÷ 36 = 3

Como o resultado é sempre o mesmo, temos: q = 3

2. Propriedade dos termos equidistantes

Em uma PG, o produto de dois termos que estão à mesma distância de um determinado termo é igual ao quadrado desse termo.

Exemplo: 2, 4, 8, 16, 32

Observe o termo central: 8

Os termos 4 e 16 estão à mesma distância do 8.

Então:

4 × 16 = 64

E:

8² = 64

Portanto:

4 × 16 = 8²

Essa propriedade pode ser utilizada para encontrar termos desconhecidos em uma PG.

3. Propriedade de três termos consecutivos

Considere três termos consecutivos de uma PG:

a, b, c

Como eles pertencem a uma PG:

b ÷ a = c ÷ b

Fazendo a multiplicação cruzada:

b² = a × c

Portanto:

O quadrado do termo do meio é igual ao produto dos termos das extremidades.

Exemplo

Considere:

3, 6, 12

Temos:

6² = 3 × 12

36 = 36

Portanto, a propriedade está correta.

CORREÇÃO

RESOLUÇÃO – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

NÍVEL FÁCIL

1. Determine o próximo termo da PG: 2, 4, 8, 16, _____

Primeiro, precisamos descobrir a razão da PG.

A razão é obtida dividindo um termo pelo termo anterior:

q = 4 ÷ 2 = 2

Conferindo:

8 ÷ 4 = 2

16 ÷ 8 = 2

Portanto, a razão da PG é 2.

Para encontrar o próximo termo, multiplicamos o último termo pela razão:

16 × 2 = 32

Resposta: O próximo termo é 32.

2. Determine a razão da PG: 5, 10, 20, 40, ...

Para encontrar a razão, dividimos qualquer termo pelo termo anterior.

q = 10 ÷ 5

q = 2

Podemos conferir:

20 ÷ 10 = 2

40 ÷ 20 = 2

Portanto, a razão é constante e igual a 2.

Resposta: q = 2

3. Encontre o 6º termo da PG: 3, 6, 12, 24, ...

Primeiro, identificamos o primeiro termo e a razão:

a₁ = 3

q = 6 ÷ 3 = 2

Queremos encontrar o 6º termo.

Utilizamos a fórmula do termo geral da PG:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo os valores:

a₆ = 3 × 2⁶⁻¹

a₆ = 3 × 2⁵

Sabemos que:

2⁵ = 32

Então:

a₆ = 3 × 32

a₆ = 96

Podemos confirmar pela sequência:

1º termo: 3
2º termo: 6
3º termo: 12
4º termo: 24
5º termo: 48
6º termo: 96

Resposta: O 6º termo é 96.

4. Determine o próximo termo da PG: 81, 27, 9, 3, _____

Primeiro, encontramos a razão:

q = 27 ÷ 81

q = 1/3

Conferindo:

9 ÷ 27 = 1/3

3 ÷ 9 = 1/3

Portanto, a razão é 1/3.

Para encontrar o próximo termo:

3 × 1/3 = 1

Resposta: O próximo termo é 1.

5. Escreva os cinco primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é 4 e a razão é 3.

Temos:

a₁ = 4

q = 3

Para construir a PG, multiplicamos cada termo por 3 para encontrar o próximo.

Primeiro termo:

a₁ = 4

Segundo termo:

4 × 3 = 12

Terceiro termo:

12 × 3 = 36

Quarto termo:

36 × 3 = 108

Quinto termo:

108 × 3 = 324

Portanto, os cinco primeiros termos são:

4, 12, 36, 108, 324

Resposta: 4, 12, 36, 108, 324

NÍVEL INTERMEDIÁRIO

6. Determine o 8º termo da PG: 2, 6, 18, 54, ...

Primeiro, identificamos:

a₁ = 2

q = 6 ÷ 2 = 3

Queremos encontrar o 8º termo.

Utilizamos a fórmula:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo:

a₈ = 2 × 3⁸⁻¹

a₈ = 2 × 3⁷

Calculando:

3⁷ = 2.187

Então:

a₈ = 2 × 2.187

a₈ = 4.374

Podemos verificar pela sequência:

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1.458, 4.374

Resposta: O 8º termo é 4.374.

7. Em uma PG, o primeiro termo é 5 e a razão é 2. Determine o 10º termo.

Temos:

a₁ = 5

q = 2

n = 10

Utilizamos:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo:

a₁₀ = 5 × 2¹⁰⁻¹

a₁₀ = 5 × 2⁹

Sabemos que:

2⁹ = 512

Portanto:

a₁₀ = 5 × 512

a₁₀ = 2.560

Resposta: O 10º termo é 2.560.

8. Encontre a razão da PG sabendo que: 4, _____, 36

Temos três termos de uma PG:

4, _____, 36

Vamos chamar o termo desconhecido de x:

4, x, 36

Em uma PG, o termo do meio pode ser determinado pela relação:

x² = 4 × 36

Calculando:

x² = 144

x = 12

Assim, a sequência fica:

4, 12, 36

Agora podemos encontrar a razão:

q = 12 ÷ 4

q = 3

Conferindo:

36 ÷ 12 = 3

Portanto, a razão é realmente 3.

Resposta: q = 3

Observação: Se forem consideradas razões negativas, também seria possível a sequência 4, -12, 36, com razão -3. Considerando a interpretação usual desse exercício, a resposta esperada é q = 3.

9. Em uma PG, a₁ = 7 e q = 3. Determine o 7º termo.

Temos:

a₁ = 7

q = 3

n = 7

Utilizamos a fórmula:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo:

a₇ = 7 × 3⁷⁻¹

a₇ = 7 × 3⁶

Calculando:

3⁶ = 729

Então:

a₇ = 7 × 729

a₇ = 5.103

Podemos conferir:

7, 21, 63, 189, 567, 1.701, 5.103

Resposta: O 7º termo é 5.103.

10. Determine o número de termos da PG: 2, 4, 8, 16, ..., 512

Temos:

a₁ = 2

q = 2

aₙ = 512

Precisamos descobrir n, que representa o número de termos.

Utilizamos a fórmula:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo:

512 = 2 × 2ⁿ⁻¹

Dividindo os dois lados por 2:

256 = 2ⁿ⁻¹

Sabemos que:

256 = 2⁸

Então:

2⁸ = 2ⁿ⁻¹

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

8 = n - 1

n = 9

Portanto, a sequência possui 9 termos.

Podemos confirmar:

1º → 2
2º → 4
3º → 8
4º → 16
5º → 32
6º → 64
7º → 128
8º → 256
9º → 512

Resposta: A PG possui 9 termos.

NÍVEL DIFÍCIL

11. Em uma PG, a₁ = 3 e q = 2. Determine o 12º termo.

Temos:

a₁ = 3

q = 2

n = 12

Utilizamos a fórmula:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo:

a₁₂ = 3 × 2¹²⁻¹

a₁₂ = 3 × 2¹¹

Sabemos que:

2¹¹ = 2.048

Então:

a₁₂ = 3 × 2.048

a₁₂ = 6.144

Resposta: O 12º termo é 6.144.

12. Determine a razão da PG sabendo que: a₁ = 81 e a₅ = 1.

Temos:

a₁ = 81

a₅ = 1

Precisamos descobrir q.

Utilizamos a fórmula do termo geral:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Como queremos o 5º termo:

a₅ = a₁ × q⁵⁻¹

Substituindo:

1 = 81 × q⁴

Agora dividimos os dois lados por 81:

1/81 = q⁴

Sabemos que:

1/81 = (1/3)⁴

Portanto:

q⁴ = (1/3)⁴

Logo:

q = 1/3

Podemos conferir construindo a sequência:

81, 27, 9, 3, 1

Observe que cada termo é obtido dividindo o anterior por 3, ou seja, multiplicando por 1/3.

Resposta: q = 1/3

13. Em uma PG, o primeiro termo é 6 e a razão é 2⁻¹. Determine o 9º termo.

Observação: Na questão original, a razão aparece como “21”, provavelmente por causa de um problema de formatação. Considerando que a intenção seja 2⁻¹, temos:

q = 2⁻¹ = 1/2

Então:

a₁ = 6

q = 1/2

n = 9

Utilizamos:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Substituindo:

a₉ = 6 × (1/2)⁹⁻¹

a₉ = 6 × (1/2)⁸

Sabemos que:

(1/2)⁸ = 1/256

Então:

a₉ = 6 × 1/256

a₉ = 6/256

Simplificando por 2:

a₉ = 3/128

Em forma decimal:

a₉ = 0,0234375

Resposta: O 9º termo é 3/128 ou 0,0234375.

14. Determine a soma dos 8 primeiros termos da PG: 1, 2, 4, 8, ...

Primeiro, identificamos:

a₁ = 1

q = 2

n = 8

Para calcular a soma dos termos de uma PG finita, utilizamos:

Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)

Substituindo os valores:

S₈ = 1 × (2⁸ - 1) / (2 - 1)

Calculamos:

2⁸ = 256

Então:

S₈ = 1 × (256 - 1) / 1

S₈ = 255 / 1

S₈ = 255

Também podemos verificar fazendo a soma diretamente:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128

Somando:

1 + 2 = 3

3 + 4 = 7

7 + 8 = 15

15 + 16 = 31

31 + 32 = 63

63 + 64 = 127

127 + 128 = 255

Resposta: A soma dos 8 primeiros termos é 255.

15. Uma população de bactérias dobra a cada hora. Sabendo que inicialmente havia 250 bactérias, quantas haverá após 10 horas, considerando que o crescimento segue uma Progressão Geométrica?

Nesse problema, a população dobra a cada hora.

Isso significa que a razão da PG é:

q = 2

A população inicial é:

a₀ = 250

Como o problema pergunta quantas bactérias haverá depois de 10 horas, podemos pensar da seguinte maneira:

Inicialmente: 250 bactérias

Após 1 hora:

250 × 2 = 500

Após 2 horas:

500 × 2 = 1.000

Após 3 horas:

1.000 × 2 = 2.000

Percebemos que a cada hora a população é multiplicada por 2.

Podemos utilizar diretamente a expressão:

População após n horas = população inicial × qⁿ

Assim:

P = 250 × 2¹⁰

Sabemos que:

2¹⁰ = 1.024

Então:

P = 250 × 1.024

P = 256.000

Portanto, após 10 horas haverá:

Resposta: 256.000 bactérias.

RESUMO DAS RESPOSTAS

1. 32

2. q = 2

3. 96

4. 1

5. 4, 12, 36, 108, 324

6. 4.374

7. 2.560

8. q = 3

9. 5.103

10. 9 termos

11. 6.144

12. q = 1/3

13. 3/128 ou 0,0234375

14. 255

15. 256.000 bactérias

VIDEO AULAS:

Sandro Curió: https://youtu.be/haKrC4quHj8?si=6oguqHPsDpqxuZA3

COPIE E RESOLVA EM SEU CADERNO:

NÍVEL FÁCIL

1. Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG: 2, 4, 8, 16, ...

2. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG: 3, 6, 12, 24, ...

3. Determine a soma dos 4 primeiros termos da PG: 5, 10, 20, 40, ...

4. Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG: 1, 3, 9, 27, ...

5. Determine a soma dos 6 primeiros termos da PG: 4, 8, 16, 32, ...

NÍVEL INTERMEDIÁRIO

6. Calcule a soma dos 8 primeiros termos da PG: 2, 6, 18, 54, ...

7. Uma PG possui primeiro termo igual a 5 e razão igual a 3. Determine a soma dos 7 primeiros termos dessa PG.

8. Uma PG possui primeiro termo igual a 4 e razão igual a 2. Calcule a soma dos 10 primeiros termos.

9. Determine a soma dos 7 primeiros termos da PG: 3, 9, 27, 81, ...

10. Uma empresa registra a quantidade de produtos vendidos em cada semana seguindo uma PG. Na primeira semana foram vendidos 2 produtos e, a cada semana, a quantidade vendida foi multiplicada por 2. Quantos produtos foram vendidos ao todo nas 8 primeiras semanas?

NÍVEL DIFÍCIL

11. Uma PG possui primeiro termo igual a 3 e razão igual a 4. Determine a soma dos 9 primeiros termos dessa PG.

12. A soma dos 6 primeiros termos de uma PG é 1.260. Sabendo que o primeiro termo é 10, determine a razão dessa PG.

13. Em uma PG, o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Determine o número de termos necessários para que a soma seja igual a 7.286.

14. Uma população de bactérias começa com 5 indivíduos. A cada período, a população é multiplicada por 3. Considerando que os valores formam uma PG, determine a quantidade total de bactérias contabilizada nos 8 primeiros períodos.

15. Uma pessoa decide guardar dinheiro durante 10 meses. No primeiro mês, ela guarda R$ 10,00. A cada mês, ela passa a guardar o dobro do valor guardado no mês anterior. Determine o valor total economizado ao final dos 10 meses.

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1. SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

Quando precisamos somar uma quantidade determinada de termos de uma PG, podemos utilizar a fórmula:

Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1)

Essa fórmula pode ser utilizada quando:

q ≠ 1

Exemplo

Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG:

2, 4, 8, 16, 32

Temos:

a₁ = 2

q = 2

n = 5

Aplicando a fórmula:

S₅ = 2 × (2⁵ − 1) ÷ (2 − 1)

S₅ = 2 × (32 − 1) ÷ 1

S₅ = 2 × 31

S₅ = 62

Portanto:

S₅ = 62

Podemos conferir fazendo a soma diretamente:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

2. SOMA DE UMA PG INFINITA

Também podemos encontrar a soma de uma PG infinita quando os seus termos vão ficando cada vez menores.

Isso acontece quando:

|q| < 1

A fórmula da soma infinita é:

S∞ = a₁ ÷ (1 − q)

Exemplo

Considere:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Temos:

a₁ = 1

q = 1/2

Aplicando a fórmula:

S∞ = 1 ÷ (1 − 1/2)

S∞ = 1 ÷ 1/2

S∞ = 2

Portanto:

S∞ = 2

RESUMO DAS PRINCIPAIS FÓRMULAS

Razão:

q = aₙ ÷ aₙ₋₁

Termo geral:

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Três termos consecutivos:

b² = a × c

Soma dos n primeiros termos:

Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1)

Soma de uma PG infinita:

S∞ = a₁ ÷ (1 − q)

Condição:

|q| < 1

DIFERENÇA ENTRE PA E PG

É importante não confundir Progressão Aritmética com Progressão Geométrica.

PA – Progressão Aritmética

Os termos são obtidos por meio de uma soma ou subtração constante.

Exemplo: 2, 5, 8, 11, 14, ...

A diferença é sempre: +3

PG – Progressão Geométrica

Os termos são obtidos por meio de uma multiplicação ou divisão constante.

Exemplo: 2, 6, 18, 54, 162, ...

A razão é sempre: ×3

Portanto:

PA → soma ou subtração constante.

PG → multiplicação ou divisão constante.

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