CVGA 2023
MAE115 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Engenharia Matemática & Matemática AplicadaProfessor Felipe Acker
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica em 5 minutos (vídeo)
Programação
Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions
1. Vetores no plano e no espaço
Conceito, operações. Reta e Segmento de Reta. Animações. Rn e morphing. Curvas de Bézier
2. Sistemas de coordenadas
O Mistério da Santíssima Trindade. Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão
3. Transformações Lineares
Exemplos geométricos: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão. Matriz da transformação linear. Matrizes de Markov. Produto de matrizes e composição de transformações. Áreas, volumes e determinante. SVD em dimensão 2
4. Produto escalar
Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e fórmulas de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão.
5. Números complexos
Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Subgrupos de C. Transformações de Möbius
6. O Teorema Fundamental da Álgebra
7. Quatérnions
Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda
8. Compactificações do plano
Projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S² em S².
Parte 2: Cônicas
9. Círculo de Apolônio, Elipse, Hipérbole e Parábola
Definições como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio
10. Seções Cônicas
Teoremas de Dandelin-Quetelet
11. Cônicas e Equações do segundo grau
Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas
12. Cônicas em Perspectiva
Vista em Perspectiva de cônica
Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares
13. O Teorema Espectral
Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema
14. A Decomposição em Valores Singulares
15. O Teorema de Aproximação de Schmidt
16. Determinante
Parte IV: Movimentos
17. Movimentos
Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo
18. Campos Centrais
Planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas
19. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski
20. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler
Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²
Resultados a serem demonstrados no curso:
Muitos dos tópicos incluídos na ementa serão apenas mencionados. Os resultados abaixo, porém, serão demonstrados.
Dimensão de Espaço Vetorial
Condição necessária e suficiente para convergência de processo markoviano
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema de Brouwer em dimensão 2 (caso C¹)
Teoremas de Dandelin-Quetelet
Toda equação do segundo grau define em R² uma cônica
Existência e unicidade de cônica passando por 5 pontos em posição geral
Vista em perspectiva de cônica
Teorema Espectral em Rn e Cn
Decomposição em Valores Singulares
Teorema de Aproximação de Schmidt
Planaridade de movimentos em campos centrais e Lei das Áreas
Conversão de Elipses de Hooke em Elipses de Kepler
Material de Apoio
Regulamento
MAE115 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 2023.2 turma 15786
sala F2-011 2ª e 4ª 13:00-15:00
Prova 1: 6 de setembro (entrega até 23:59:59 de 10.IX)
Prova 2: 11 de outubro (entrega até 23:59:59 de 15.X)
Prova 3: 17 de novembro (entrega até 23:59:59 de 20.XI)
Prova 4: 15 de dezembro (entrega até 23:59:59 de 17.XII)
Envie arquivo 'seunome-teste ou prova n.pdf' para acker@matematica.ufrj.br
Testes semanais, para entrega até às 10:00 da segunda-feira da semana seguinte. Cada teste não entregue subtrai 0,2 da média final. Cada teste entregue soma de 0 a 0,2 à média final.