Program

17, 19, 24 & 26 August : Jaqueline Siqueira

2pm-3:30pm (Rio de Janeiro) Universidade Federal de Rio de Janeiro
Rio de Janeiro, Brazil

A Brief Introduction to Ergodic Theory

Abstract: Describing the behaviour of the orbits of a dynamical system can be a challenging task, especially for systems that have a complicated topological and geometrical structure. A very useful way to obtain features of such systems is via invariant probability measures. For instance, by Birkhoff’s Ergodic Theorem, almost every initial condition in each ergodic component of an invariant measure has the same statistical distribution in space. Moreover, in recent years, Ergodic Theory has proven to be a very effective tool in solving problems in other fields such as Topology, Differential Geometry and Number Theory (e.g. the celebrated Green-Tao Theorem).

The purpose of this mini course is to introduce some of the fundamental features of Ergodic Theory, such as invariant and ergodic probability measures, the Poincaré Recurrence Theorem and Birkhoff’s Ergodic Theorem, thus providing a starting point in this great field.

Program

Lecture 1: The course will begin with a quick review of Measure Theory, providing the needed requisites.
I will then introduce the concept of invariant measure and derive certain dynamical properties via the Poincaré Recurrence Theorem.

Lecture 2: In this lecture we will show that under general conditions one can guarantee the existence of invariant measures. We will then discuss a few examples of dynamical systems with invariant measures.

Lecture 3: In this lecture we introduce the concept of ergodicity and discuss examples of ergodic systems.

Lecture 4: In the last lecture we will formulate Birkhoff’s Ergodic Theorem and present a few nice consequences of this powerful result.

21, 23, 28 & 30 September : Timoteo Carletti

2pm-3:30pm (Rio de Janeiro's time) Université de Namur,
& Center for Complex Systems, Belgium

Complex Networks & Dynamical Systems

19, 21, 26 & 28 October : Mark Levi

2pm-3:30pm (Rio de Janeiro's time) Pennsylvania State University, USA

Topics in Hamiltonian Mechanics

30 November , 2, 7 & 9 December : Tomas Alarcon

2pm-3:30pm (Rio de Janeiro's time) Centro de Ricerca Matematica - CRM
Bellaterra (Barcelona), Catalunya, Spain.

An introduction to stochastic modelling in Mathematical Biology

Summary: In this course, I will review the application of applied stochastic methods with an emphasis on those subjects which are relevant to the application of the theory to problems in Mathematical Biology

Lecture 1. General Introduction: motivation (noise-induced phenomena), general definitions and basic concepts

Lecture 2. Markov processes: The Chapman-Kolmogorov equation, The Master Equation, and Asymptotic methods and rare events

Lecture 3. Numerical methods: The Gillespie algorithm and the $\tau$-leap method

Lecture 4. Multiple scales in stochastic systems: a brief introduction

12 & 14 April : Otávio Marçal Leandro Gomide

2pm-3:30pm (Rio de Janeiro) Universidade Federal de Goiás

Goiânia, Brazil

Uma breve Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Resumo: Sistemas dinâmicos são frequentemente utilizados para entender como um fenômeno se comporta com a evolução do tempo, e por esse motivo constituem uma ferramenta essencial da modelagem matemática que possui aplicações em diversas áreas como a Física, Biologia, Engenharia, dentre outras. O principal objetivo deste curso é introduzir as definições básicas de sistemas dinâmicos e ilustrar tais conceitos através de alguns exemplos. Abordaremos os casos de dinâmica em tempo discreto e em tempo contínuo.

Programa:

1. Sistemas Dinâmicos Discretos: Definições e Exemplos;

2. A dinâmica de uma rotação no círculo;

3. Fluxos e Equações Diferenciais: Definições e Exemplos

4. Sistemas lineares planares.

Referências:

1) D. K. Arrowsmith, C. M. Place. An Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1990.

2) J. Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, 1979.

3) M. Kot. Elements of Mathematical Ecology. Cambridge University Press, 2001.

20, 22, 27 & 29 April : Hildeberto Cabral

2pm-3pm (Rio de Janeiro) Universidade Federal de Pernambuco

Recife, Brazil

Estabilidade de Sistemas Hamiltonianos Lineares (Stability of Linear Hamiltonian Systems)

Resumo : O problema de estabilidade de sistemas Hamiltonianos, se não for a situação de dois graus de liberdade em que o teorema de Arnold se aplica, é um problema em geral difícil de ser tratado. Neste caso estuda-se a estabilidade do sistema linearizado na vizinhança do equilíbrio e este é o objetivo do curso proposto.

Programa :

Teoria básica de sistemas Hamiltonianos

Forma normal de matrizes Hamiltonianas

Estabilidade de sistemas Hamiltonianos lineares periódicos

Teoria de Krein-Gelfand-Lidskii sobre estabilidade forte de sistemas lineares periódicos

Problema da ressonância paramétrica, curvas fronteiras das regiões de estabilidade/instabilidade