EMENTA: Álgebra Linear em IR2 e IR3; curvas parametrizadas, noções elementares de cinemática

e de geometria; equações cartesianas; cônicas e o teorema espectral, quádricas

OBJETIVOS GERAIS: Estabelecer as bases para a geometrização futura de diversos aspectos da

Matemática; aplicar as idéias de derivada e integral ao estudo das curvas parametrizadas,

consolidando o vínculo com as idéias físicas correspondentes

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE I: Pontos, vetores-flechinhas e pares (ternos) ordenados, equação vetorial de uma reta;

sistemas de coordenadas; planos; espaços vetoriais, base e dimensão

UNIDADE II: Transformações lineares e suas relações com sistemas lineares e matrizes,

composição de transformações e produto de matrizes; teorema do núcleo e da imagem

UNIDADE III: Determinantes, áreas e volumes com sinal; determinante de transformação linear

como razão entre a área (volume) da imagem e a da figura original

UNIDADE III: Produto escalar e projeção; números complexos, quatérnions e produto vetorial;

interpretação geométrica do produto vetorial; equações cartesianas de retas e de planos; noções

de perspectiva

UNIDADE IV: Curvas e superfícies definidas por equações; cônicas e classificação das curvas do

segundo grau; teorema espectral em dimensões dois e três; quádricas e classificação das

superfícies do segundo grau

UNIDADE V: Curvas parametrizadas, velocidade e aceleração; aceleração tangencial, aceleração

normal e curvatura; torçao; leis de Newton; comprimento de arco; forma de variação de ângulo;

área varrida por uma curva; relações entre as leis de Newton e as de Kepler

Parte 1 - O Plano: sistemas de coordenadas e vetores; lugares geométricos e curvas parametrizadas; transformações lineares e matrizes; produto escalar; decomposição em valores singulares; programação linear; determinante; números complexos e inversões; número de voltas, Teoremas Fundamental da Álgebra e de Brouwer; iterações, método de Newton e ferradura de Smale.

Parte 2 - O Espaço & Outros Espaços: vetores, produto escalar;transformações lineares e matrizes; produto escalar; quatérnions, produto vetorial; base e dimensão, bases ortonormais; Teorema do Núcleo e da Imagem; determinante.

Parte 3 - Cônicas e o Teorema Espectral: perspectiva e projeção estereográfica; seções cônicas; equações do 2o grau a duas variáveis; Teorema Espectral em R3, quádricas; Decomposição em Valores Singulares, Teorema Espectral; a SVD e o Teorema Espectral, polinômios; Teorema de Aproximação de Schmidt; Forma Polar, Forma de Schur, Teorema de Cayley-Hamilton

Parte 4 - Curvas Parametrizadas: movimentos, velocidade, aceleração, curvatura; comprimento de arco, variação de ângulo, área varrida, momento angular; torção; equações diferenciais; Leis de Newton; oscilador harmônico; problema dos dois corpos