Cálculo Vetorial e Geometria Analítica - o espaço e outros espaços

aula 1 (31 de março de 2015):

1:00 o espaço & outros espaços

1:42 Geometria Euclidiana: o Velho Testamento

2:33 gênesis

4:12 curvas: conjuntos de pontos e trajetórias de partículas

4:44 flechinhas & vetores

8:06 o Novo Testamento: coordenadas

10:59 base

13:22 o Mistério da Santíssima Trindade (início)

13:24 coordenadas de vetor em uma base dada

16:05 origem

17:40 sistemas de coordenadas

19:45 o Mistério da Santíssima Trindade

21:00 produto escalar

29:30 propriedades do produto escalar

32:45 fórmula do produto escalar em função das coordenadas em base ortonormal

40:20 coerência entre as operações com vetores e as correspondentes com coordenadas

46:45 equação paramétrica de reta

51:50 plano dado por ponto e dois vetores

53:05 plano dado por ponto e vetor normal

57:00 de quantos vetores precisamos para formar uma base? (ainda sem resposta)

58:00 espaços vetoriais

58:45 propriedades dos espaços vetoriais

1:02:00 unicidade do elemento neutro

1:04:00 unicidade do simétrico

1:11:35 exemplos de espaços vetoriais

1:11:50 o Rn

1:17:00 espaços de funções

1:19:09 espaços de matrizes

1:20:57 sistemas de partículas

1:24:20 espaços vetoriais complexos

1:25:40 sobre o uso da intuição geométrica

1:26:30 generalizando o produto escalar

1:27:10 norma e tamanho: há escolhas

1:31:00 a norma oriunda do produto escalar não é "natural" mas tem propriedades geométricas boas

1:32:00 validação da média aritmética pela norma do produto escalar (em dimensão 2)

1:36:20 fazendo a mesma coisa em dimensão n

1:42:00 comentários

aula 2 (7 de abril de 2015):

0:40 espaços vetoriais

7:15 comentário sobre escalares complexos

8:00 base de espaço vetorial

12:20 combinação linear

13:00 independência linear

16:28 todo conjunto gerador finito contém base

18:30 como ampliar conjunto linearmente independente para obter base?

23:55 o lema fundamental

40:00 dimensão de espaço vetorial

48:05 produto escalar

48:45 produto escalar de vetores-flechinhas

56:15 produto escalar em espaços gerais

59:00 norma de vetor e ângulo entre dois vetores

1:03:00 Teorema de Pitágoras

1:05:00 comentário sobre fantasias geométricas

1:05:45 projeção ortogonal de um vetor na direção de outro

1:11:10 desigualdade de Cauchy-Schwarz-Buniacóvsqui

1:15:13 comentário sobre probabilidades

1:17:54 como expressar um vetor em uma base dada?

1:19:50 caso em que os vetores da base são ortogonais

1:24:38 bases ortogonais

1:27:00 bases ortonormais

1:28:00 projeção ortogonal sobre plano passando pela origem

1:33:00 construindo uma base ortonormal

1:41:15 o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt

aula 3 (9 de abril de 2015):

parte 1

0:16 determinante & volume

0:30 determinante & sistemas lineares

5:00 determinante e área

6:00 determinante e volume de paralelepípedo

8:38 definição de paralelepípedo

10:25 propriedades da função volume

11:18 volume com sinal

19:00 unidade de volume

20:00 propriedades definidoras do determinante

20:40 trocando a ordem, troca o sinal

24:35 a fórmula do determinante

parte 2

33:08 da necessidade de provar as propriedades a partir da fórmula

37:17 lista alternativa de propriedades do determinante

42:00 determinante de matriz 3X3

43:40 desenvolvimento por coluna

57:20 a unidade de volume

1:00:10 o determinante em função de base qualquer

1:03:00 3 vetores são linearmente independentes se, e só se, seu determinante é não nulo

parte 3

1:06:25 o sinal do determinante

1:07:45 orientação

1:10:00 deformando uma base em outra

1:15:00 se det(u,v,w) e det(x,y,z) têm o mesmo sinal, então podemos deformar (u,v,w) em (x,y,z) mantendo a independência linear

1:30:40 determinante de transformação linear como razão entre volumes

1:36:20 determinante do produto de transformação lineares (ou de matrizes)

aula 4 (14 de abril de 2015):

0:30 produto vetorial

1:00 números complexos

2:03 Hamilton e os complexos

3:00 a busca de Hamilton por números "tridimensionais"

4:20 os quatérnions

7:15 parte escalar e parte vetorial de quatérnions

9:30 multiplicando dois vetores, tomados como quatérnions

10:00 o produto escalar e o produto vetorial

13:35 produto vetorial como um determinante

15:00 uXv é ortogonal a u e a v

19:00 a norma do produto vetorial é a área do paralelogramo formado por u e v

23:40 um "Teorema de Pitágoras" generalizado

28:30 um lema sobre área de projeção

31:20 demonstração do Teorema de Pitágoras generalizado

38:00 comentário sobre generalização do produto vetorial para dimensões mais altas

40:35 propriedades que caracterizam o produto vetorial

42:20 se u e v são linearmente independentes, qual a orientação da base uXv, u, v?

46:30 produto isto: (uXv).w = det(u,v,w)

47:25 uXv, u,v tem a orientação da base canônica

50:30 produto misto e volume

53:10 ratificando a propriedade volumétrica do determinante

56:20 perspectiva

57:20 definição

58:40 perspectiva e video games

1:07:00 determinação da vista em perspectiva com coordenadas

1:14:10 pontos de fuga

1:18:40 desenho de arquitetura e desenho artístico

1:21:20 comentário sobre vista de cônicas em perspectiva

1:22:29 o que acontece no infinito?

1:23:00 dois segmentos de reta quaisquer têm o mesmo número de pontos

1:23:30 um segmento e uma reta têm o mesmo número de pontos

1:24:30 o plano como um grande disco

1:25:00 a projeção estereográfica

1:27:00 projeção estereográfica em coordenadas

1:32:10 propriedades interessantes da projeção estereográfica

1:36:40 o plano projetivo

1:41:20 o espaço projetivo

1:42:30 espaço projetivo e perspectiva

1:44:45 comentário sobre outras possíveis geometrias

aula 5 (16 de abril de 2015):

0:55 parte1: transformações lineares e matrizes

1:40 transformações lineares, ponto de vista geométrico

5:00 propriedades que caracterizam uma transformação como linear

8:05 imagem de reta por transformação linear

9:50 comentários

12:14 exemplo algébrico

12:25 sistemas lineares

12:50 sistemas lineares, ponto de vista matricial

13:25 produto de matriz por vetor

15:20 por trás de cada sistema linear há uma transformação linear

16:20 transformações dadas por produtos por matrizes são lineares

20:30 a derivação é uma transformação linear

24:30 o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que certa transformação linear é sobrejetiva

26:00 comentário sobre o conceito de espaço vetorial

28:00 parte 2: um exemplo: rotação em torno de eixo

28:00 imagem de transformação linear

31:08 visão geométrica

35:10 rotação em torno do eixo "vertical" Oz

40:22 matriz de rotação em torno de Oz

41:35 rotação em torno de eixo qualquer

53:00 pode ser mais simples expressar transformação linear em base outra que a canônica

56:00 matriz de rotação em base (ortonormal) adequada

58:33 parte 3: matriz de transformação linear em bases arbitrárias

58:33 a matriz da transformação depende da base

59:40 mudança de base

1:03:00 duas observações

1:05:07 será linear a inversa de uma transformação linear?

1:14:30 matriz de transformação linear fixadas uma base para o domínio e outra para o contradomínio

1:15:28 escolher base para um espaço é transformá-lo em um Rn

1:22:20 fixadas bases para o domínio e para o contradomínio, toda transformação linear é dada por matriz

1:23:36 relação entre transformações lineares e matrizes

1:27:17 parte 4: produto de matrizes

1:27:17 o produto de matrizes corresponde à composição de transformações lineares

1:31:10 a composição de transformações lineares é uma operação "de multiplicação"

1:33:15 um exercício incontornável

1:44:11 a fórmula do produto de matrizes

aula 6 (30 de abril de 2015):

parte 1

0:25 transformações lineares

2:00 exemplo:sistemas lineares

3:02 por trás de cada sistema linear há uma transformação linear

3:40 matriz de transformação linear

4:40 rotação no espaço

6:50 matriz de rotação em base adequada

8:30 mudança de base

12:45 o caso em que a base é ortonormal

17:09 isometrias que mantêm fixa a origem são lineares

parte 2

31:50 resolução de sistemas lineares por eliminação

38:18 a transformação linear por trás do sistema

39:10 abordagem geométrica das transformações lineares

44:10 a imagem de transformação linear é um subespaço vetorial do contradomínio

50:50 o núcleo da transformação linear

57:30 o Teorema do Núcleo e da Imagem

parte 3

1:04 definições, hipóteses e enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem

1:12:40 desenho da demonstração

1:30:10 versão final

1:31:38 o caso em que o domínio tem produto escalar; subespaço ortogonal

1:33:40 a dimensão do espaço das linhas de uma matriz é igual à do espaço das colunas