Resumen: Cuando dos especies químicas reaccionan y además pueden difundirse en un medio acotado, sus concentraciones forman patrones en el estado estacionario que pueden explicarse a través del mecanismo de Turing, que originalmente se propuso para modelar los patrones complejos en sistemas biológicos. En esta plática presentamos el estudio de este mecanismo en tres situaciones a saber: Por un lado se ha visto que en sistemas donde el sustrato donde se difunden los reactivos es curvo la relación de dispersión y el rango de modos inestables se modifica con respecto al caso plano. Por otro lado, la difusión en canales se da principalmente a lo largo de su eje, por lo que la dinámica se describe con un operador proyectado y una difusividad efectiva dependiente de la geometría. Para el sistema de reacción-difusión en canales encontramos modificaciones en la relación de dispersión, el intervalo de modos inestables, en las condiciones de inestabilidad y en la aparición de los patrones dependiendo de la forma del canal. Finalmente en el caso de las gráficas circulantes, el operador de Laplace se reemplaza por la matriz Laplaciana relacionada con la matriz de adyacencia de la gráfica. En este caso encontramos cuales gráficas de la familia de circulantes tienen más posibilidades de formar patrones según su grado de conectividad.

Resumen: En el contexto actual de cambio climático, la modelación adecuada de los procesos de infiltración de agua en suelos parcialmente saturados cobra una especial importancia. Modelar dichos procesos de manera adecuada es un problema muy interesante numéricamente, porque la ecuación que los modela, la ecuación de Richards, es una ecuación no lineal que degenera y cambia de dinámica al llegar al proceso de saturación. En esta plática se muestran algunos avances en la modelación de infiltración empleando diferencias finitas generalizadas, una técnica que ha cobrado relevancia en los últimos años por su flexibilidad para aplicarse a diferentes problemas de ecuaciones diferenciales parciales.

Resumen: Los modelos epidémicos estudiados por Kermack y MacKendrick hace casi cien años hicieron evidente que no cualquier organismo patógeno puede ocasionar un brote infeccioso en una población hospedera, y pusieron desde entonces en el foco de investigaciones epidemiológicas el cálculo del número reproductivo básico, R0. La importancia de este número trasciende la parte inicial del proceso epidémico, pues también influye en el remanente de individuos susceptibles al término del brote y, por tanto, en la facilidad con se podrá interrumpir la cadena de infecciones, que también dependerá del tamaño de la población hospedera. En esta plática exhibiré la reducción, con el paso del tiempo, en la persistencia regional de una infección infantil inmunizante en poblaciones europeas a inicios del siglo XX, y discutiré qué factores nos permiten explicar los cambios observados. Para ello combinaré la exploración de modelos matemáticos con la caracterización de distintos rasgos relevantes de los registros epidémicos y su contexto. Con esto busco ilustrar la manera en que los modelos matemáticos nos permiten investigar escenarios desconocidos y conocer el impacto de distintas perturbaciones (por ejemplo, medidas de control o cambios demográficos) sobre la persistencia de diversos organismos patógenos.

Resumen:

In a recent work, we (collaborators and I) introduce a finite element method for Poisson's equation and the Stokes flow in their dual mixed formulations. The dual unknowns will belong to $H(\Div, \Omega).$ an example for Poisson's equation is shown below. For instance, for the Poisson's equation , The weak solution of this equation satisfies: $\vec\sigma\in H(\Div, \Omega)$ and $u\in L^2(\Omega).$ More precisely, the dual formulations satisfy a Babuška-Brezzi type condition within the space $H(\Div) \times L^2$ and functions in $H(\Div)$ have a continuous normal component. Our methods use the Crouzeix-Raviart (CR) element to approximate the dual unknown $\vec\sigma$ and piecewise constants to approximate the original function $u$. This pair satisfies the Babuška-Brezzi condition, but the normal component of CR elements may jump and we improve their continuity by penalising these jumps. Numerical experiments confirm that the methods converge optimally even for low-regularity solutions, like a crack problem (as long as the crack is resolved). In fact, it is proved that the divergence of the dual unknown is always the local best-approximation for any regularity.

In the talk, I will start with some introductory material, followed by some interesting results. The second part, will be devoted to define one of the methods and show some theoretic aspects.