14/11, 14h (sala B143): Thiago Dourado
Título: Hipótese de Riemann sobre Corpos Finitos
Resumo: Iniciamos nossa exposição apresentando os elementos genéricos da teoria dos corpos de funções e da geometria algébrica que permitem a formulação da hipótese de Riemann para corpos finitos e sua analogia com a formulação clássica do problema. Passaremos então a um esboço da prova apresentada por André Weil nos anos de 1940 e o contexto em que ela foi apresentada.
13/11, 14h (sala B143): Rodrigo Sanches Angelo (Stanford University)
Título: Fekete polynomials
Resumo: TBA.
22/08, 14h (sala B09): Caio Simon (IME-USP)
Título: A ação de um operador de Hecke no espaço das funções racionais.
Resumo: Estudamos a ação dos operadores de Hecke Un no espaço R das funções racionais em uma variável, sobre C. O objetivo principal é dar uma classificação completa das autofunções de Un. Conseguimos isso introduzindo certos grafos direcionados, chamados Grafos de Zolotarev, que estendem as conhecidas permutações estudadas por Zolotarev. Desenvolvemos a teoria desses grafos e os usamos para decompor as autofunções de Un em certos espaços vetoriais de dimensão finita de funções racionais, que chamamos de autoespaços. Nesse contexto, provamos que a dimensão de cada autoespaço é igual ao número de vértices em um ciclo pertencente ao seu correspondente Grafo de Zolotarev. Provamos que o número de folhas desse Grafo de Zolotarev é igual à dimensão do núcleo de Un. Também damos uma fórmula para o número de ciclos de tamanho fixado para um Grafo de Zolotarev. Além disso, estudamos as autofunções simultâneas para todos os Un, e damos bases explícitas para elas. Também descobrimos outras fortes relações entre os grafos o núcleo de Un agindo em um subespaço de R; em particular, fornecemos algumas condições equivalentes para diagonalização de Un.
Finalmente, provamos que a clássica Conjectura de Artin para raízes primitivas é equivalente a uma nova conjectura posta aqui, de que existem infinitos autoespaços de dimensão 1.