Resumo: A proposta desta palestra é fazer um apanhado geral da Teoria Multiplicativa dos Números do ponto de vista da análise e da probabilidade, juntamente com minha contribuição nos últimos anos. Pretendo focar em definições, motivação, resultados, e conjecturas, muito pouco em provas ou detalhes técnicos. Abordaremos o estado da arte do problema da discrepância de Erdős (conjecturado por Erdős nos anos 30, e resolvido por Tao em 2015), e o passeio aleatório multiplicativo -- iniciado nos anos 40 por Wintner e um tópico central nos últimos 10 anos.
Título: Uma humilde contribuição aos prime gaps (slides)
Resumo: Nesta palestra vamos mostrar como a demonstração que D. J. Newman deu para o Teorema dos Números Primos pode servir como um "mapa do tesouro" para estudarmos o problema da existência de números primos em intervalos pequenos. Para isso, abordaremos o problema da escolha de uma função peso adequada para identificar números primos em intervalos pequenos e comentaremos as adaptações que devem ser feitas na prova de Newman para obter resultados que não são conhecidos até o momento, mesmo supondo verdadeira a Hipótese de Riemann.
Resumo: Nessa palestra, mostraremos uma extensão da fórmula de Bombieri-Siegel de geometria dos Números. Começaremos com uma nova variação da fórmula de soma de Poisson, que pode ser de interesse independente. Nossa extensão envolve uma soma de reticulado (lattice sum) do cross covariograma de quaisquer dois conjuntos limitados. Uma das consequências desses resultados é uma nova caracterização dos multiladrilhamentos (muli-tilings) de espaços Euclidianos por translações, que é uma aplicação da fórmula de Bombieri-Siegel e de nossa extensão. Alguns outros resultados incluem uma fórmula espectral para o produto dos volumes de dois corpos. Finalmente, a desigualdade de Van der Corput segue como um corolário imediato. O conteúdo dessa palestra é trabalho conjunto com Michel Faleiros.