Título: Corpos de funções ciclotômicos sobre corpos finitos com módulo
quadrático irredutível (slides)
Resumo: Nesse seminário, daremos uma breve introdução aos corpos de funções ciclotômicos sobre corpos finitos, que surgem a partir do paralelo entre a teoria de corpos de funções algébricas sobre corpos finitos e corpos de números algébricos. Apresentaremos também uma caracterização de tais corpos para o caso em que os mesmos têm módulo quadrático irredutível.
Resumo: A sequence of positive real numbers $a_1, a_2, \ldots, a_n$, is log-concave if $a_i^2 \geq a_{i-1}a_{i+1}$ for all $i$ ranging from 2 to $n-1$. Log-concavity naturally arises in various aspects of mathematics, each characterized by different underlying mechanisms. Examples range from inequalities that are readily provable, such as the binomial coefficients $a_i = \binom{n}{i}$, to intricate inequalities that have taken decades to resolve, such as the number of forests $a_i$ in a graph $G$ with $i$ edges. It is then natural to ask if it can be shown that the latter type of inequalities is intrinsically more challenging than the former. In this talk, we provide a rigorous framework to answer this type of questions, by employing a combination of combinatorics, complexity theory, and geometry. This is a joint work with Igor Pak.
Título: Multi-tiling no lattice inteiro com conjuntos finitos discretos. (slides)
Resumo: A partir da transformada de Fourier de funções indicadoras, algumas condições para multi-tiling de corpos (conjuntos mensuráveis do espaço euclidiano) são obtidas e, por sua vez, estas condições são discretizadas e transformadas para o caso de multi-tiling do lattice inteiro. Identidades que envolvem a contagem de pontos inteiros dentro de corpos podem ser geradas através desse método de discretização como, por exemplo, a fórmula de Hardy para o problema do círculo de Gauss.
Título: O problema de divisão de Dirichlet e algumas variações.
Resumo: Nessa conversa, irei apresentar o resultado clássico de Dirichlet sobre o valor médio do número de divisores dos números naturais (com um breve enfoque histórico) e também algmas variações, como o valor médio dos divisores livres de quadrados e também o valor médio de todos os divisores sobre os números livres de quadrados.
Título: Koukoulopolos and Maynard’s proof of the Duffin and Schaeffer conjecture in Diophantine approximation
Resumo: We give some idea of the background and previous work on this conjecture, now a theorem, and some subsequent developments. Their proof is ingenious and somewhat complicated. I hope to give an indication of their ideas and methodology in this talk.