Resumen: West introdujo la aplicación de stack-sorting, un operador definido combinatoriamente sobre el conjunto de permutaciones de tamaño n, que sirve como un análogo determinista de la máquina de ordenamiento mediante pila de Knuth. Este operador fue generalizado en retículos y ha sido ampliamente estudiado en los últimos años, mostrando su relación con diferentes teorías, entre otras cosas, explica las relaciones cumulante-cumulante dentro de la probabilidad no-conmutativa.

En el 2023 dentro del artículo “Pop‑Stack Operators and Torsion Classes” de Barnard, Defant y Hanson hacen un estudio de este operador sobre los retículos de lases de torsión proponiendo un par de conjetura sobre clases de torsión de tipo 𝐴. En particular, los autores conjeturan que la imagen de este operador es mínima cuando la orientación del carcaj es lineal y máxima en el caso bipartito. Presentaremos la herramienta para la demostración de esta conjetura.

Mostraremos que el problema de contar los elementos de la imagen del operador puede reformularse como el conteo de familias de aristas no adyacentes en grafos completos, estableciendo así una conexión directa con los números de Motzkin.

Nuestra construcción se basa en herramientas de la teoría de representación de álgebras de tipo 𝐴 y en la teoría de clases de torsión, junto con una categoría que llamamos categoría de cuerdas. Esta categoría permite traducir objetos categóricos a configuraciones combinatorias, dando lugar a la biyección que fundamenta nuestro enfoque.

Sede: Unidad de Extensión Universitaria UNAM-Oaxaca

Resumen: En esta charla hablaremos de mapas birracionales entre variedades proyectivas complejas que tienen la propiedad de que su esquema base es suave e irreducible. Estos mapas se llaman especiales. Introduciremos algunos ejemplos y mencionaremos los resultados clásicos más importantes sobre la clasificación de mapas birracionales especiales del espacio proyectivo.

Posteriormente, discutiremos algunos resultados recientes de clasificación que invitan a generalizar dichos resultados clásicos. En particular, presentaremos un mapa birracional especial de la cuádrica suave de dimensión cuatro, Q4, en sí misma, tal que tanto el mapa como su inversa están definidos por cúbicas. El esquema base resulta ser una superficie K3 no mínima de grado diez.

Esta transformación cubo–cúbica de Q4 posee varias propiedades geométricas muy interesantes. Además, está relacionada con una familia de cúbicas de dimensión cuatro que son especiales en el sentido de Hassett. Por ello, esta transformación especial resulta ser, en efecto, muy especial.

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Resumen: En esta charla presentaremos ideas básicas sobre cubrientes y cubrientes ramificados de superficies y explicaremos cómo estos permiten establecer conexiones entre los grupos modulares de las superficies involucradas, tanto en el caso de tipo finito como de tipo infinito. Estudiaremos la teoría de Birman–Hilden y algunas de las condiciones asociadas a esta propiedad.

En particular, daremos condiciones bajo las cuales ciertos cubrientes inducen inclusiones del grupo modular de la superficie base en el del espacio total. Como aplicación, mostraremos la inyectividad del grupo modular de una superficie no orientable en el de su doble cubierta orientable, independientemente de si es de tipo finito o infinito, lo que proporciona una herramienta útil para su estudio. Finalmente, discutiremos otras consecuencias, como la descripción de ciertas extensiones entre estos grupos. 

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Resumen: Las álgebras de conglomerado son anillos conmutativos dotados de una estructura combinatoria que, actualmente, se estudian en diversos campos de las matemáticas. Por esta razón, identificar estructuras de conglomerado en ciertos anillos conmutativos se ha convertido en un problema bastante común dentro del área. En esta línea, por ejemplo, las Grassmannianas tienen una estructura de conglomerado, expuesta por Scott, J, S. De la misma forma, las variedades de banderas parciales también tienen una estructura de conglomerado, expuesta por Kadhem, F. En esta plática explicaremos brevemente ambas estructuras de conglomerado, y enunciaremos una conjetura (aún abierta en ciertos casos) que relaciona ambas estructuras: existe una semilla s′ de la Grassmanniana tal que la semilla inicial de la variedad de bandera parcial sea una semilla restringida de s′. Daremos algunos ejemplos de la conjetura y de la secuencia de mutaciones que se usa para, a partir de la semilla inicial de la Grassmanniana, identificar la semilla inicial de la variedad de bandera parcial como semilla restringida.

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Resumen: Gracias al Teorema de Geometrización, sabemos con precisión cuándo una 3-variedad compacta dada admite una métrica hiperbólica, es decir, una métrica con curvatura constante -1. Además, por el Teorema de Rigidez de Mostow esta estructura geométrica es única, lo que significa que cualquier invariante geométrico es también un invariante topológico. En dicho caso, ¿se podrá describir efectivamente la geometría de dicha variedad (por ejemplo, su volumen) en términos de su topología?En el mundo de las 3-variedades casi todas admiten una métrica hiperbólica completa, pero entre éstas, muy pocas son aritméticas. Por ejemplo, él único nudo en la 3-esfera cuyo complemento es aritmético es el nudo de ocho. En esta plática construiremos una infinidad de colecciones finitas de geodésicas en la superficie modular de modo que el complementos de sus órbitas periódicas relativas al flujo geodésico en el tangente unitario sean 3-variedades aritméticas y veremos que su volumen es proporcional al número de órbitas periódicas. Este es un trabajo conjunto con Jesica Purcell y Tali Pinsky. 

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