En esta exposición, estudiaremos una clase distinguida de homeomorfismos de superficies: los homeomorfismos pseudo-Anosov y los relacionaremos con los sistemas dinámicos simbólicos. Los sistemas dinámicos simbólicos son uno de los tipos más simples para describir, como sucesiones bi-infinitas de símbolos y una función de corrimiento. Históricamente, las personas han intentado asociar (bajo conjugación o semi-conjugación) un sistema dinámico simbólico a cualquier otro sistema dinámico en el que estén interesadas, ya que esto suele permitir el uso de una gran cantidad de herramientas combinatorias y analíticas formuladas en términos simbólicos para comprender mejor el sistema original. En esta charla, les mostraré cómo asociar uno de ellos a un homeomorfismo pseudo-Anosov.

Esto se realizará a través de las particiones de Markov y un nuevo objeto combinatorio llamado "tipo geométrico de la partición", el cual permite definir un sistema dinámico simbólico determinado por un tipo geométrico T, que resulta ser topológicamente conjugado a cualquier pseudo-Anosov que tenga una partición de Markov de tipo geométrico T. Este sistema es lo que llamamos un modelo simbólico de f y como corolario, obtendremos que el tipo geométrico es un invariante total de conjugación. Este es el punto de partida para una clasificación completa y algorítmica de los homeomorfismos pseudo-Anosov bajo conjugación topológica. Si el tiempo lo permite, compartiré algunas ideas adicionales sobre este tema.

Un hiperespacio de un espacio topológico dado es una familia de subconjuntos no vacíos de tal espacio considerada tal familia con alguna topología. Dada una función entre espacios topológicos, tal función induce de manera natural una nueva función entre los respectivos hiperespacios, la cual se le conoce como función inducida. El objetivo principal de la plática es dar a conocer algunos resultados obtenidos referente a la dinámica de algunas funciones y sus respectivas funciones inducidas.

La categoría derivada de una variedad es una herramienta clásica e importante en el uso del álgebra homológica en la geometría algebraica. En esta plática abordaremos un punto de vista en donde esta categoría toma la forma de un invariante asociado a la variedad que puede otorgarnos información geométrica de la misma. Daremos una introducción básica e histórica a la teoría, con una mira a presentar sus resultados y preguntas más importantes como el teorema de Bondal-Orlov, parejas de Fourier-Mukai, la conjetura de Kawamata, y si el tiempo lo permite discutir la relación de éstas con estructuras tensoriales equipadas en la variedad siguiendo las ideas de la geometría tensorial triangulada de Balmer.