En esta exposición, estudiaremos una clase distinguida de homeomorfismos de superficies: los homeomorfismos pseudo-Anosov y los relacionaremos con los sistemas dinámicos simbólicos. Los sistemas dinámicos simbólicos son uno de los tipos más simples para describir, como sucesiones bi-infinitas de símbolos y una función de corrimiento. Históricamente, las personas han intentado asociar (bajo conjugación o semi-conjugación) un sistema dinámico simbólico a cualquier otro sistema dinámico en el que estén interesadas, ya que esto suele permitir el uso de una gran cantidad de herramientas combinatorias y analíticas formuladas en términos simbólicos para comprender mejor el sistema original. En esta charla, les mostraré cómo asociar uno de ellos a un homeomorfismo pseudo-Anosov.

Esto se realizará a través de las particiones de Markov y un nuevo objeto combinatorio llamado "tipo geométrico de la partición", el cual permite definir un sistema dinámico simbólico determinado por un tipo geométrico T, que resulta ser topológicamente conjugado a cualquier pseudo-Anosov que tenga una partición de Markov de tipo geométrico T. Este sistema es lo que llamamos un modelo simbólico de f y como corolario, obtendremos que el tipo geométrico es un invariante total de conjugación. Este es el punto de partida para una clasificación completa y algorítmica de los homeomorfismos pseudo-Anosov bajo conjugación topológica. Si el tiempo lo permite, compartiré algunas ideas adicionales sobre este tema.

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Las acciones binarias de grupos topológicos son una generalización más o menos natural de las acciones de grupos. Sin embargo, como veremos en esta charla, nociones igualmente naturales como la de órbita y espacio de órbitas tienen comportamientos inesperados. Probaremos que, agregando la noción de grupos estructurales es posible construir espacios universales para dichas acciones. También argumentaremos por qué dicha construcción es poco satisfactoria. Finalmente concluiremos con ejemplos de tipos de órbitas que pueden dar una idea de la complejidad de construir espacios universales usando una construcción de Milnor.

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Un hiperespacio de un espacio topológico dado es una familia de subconjuntos no vacíos de tal espacio considerada tal familia con alguna topología. Dada una función entre espacios topológicos, tal función induce de manera natural una nueva función entre los respectivos hiperespacios, la cual se le conoce como función inducida. El objetivo principal de la plática es dar a conocer algunos resultados obtenidos referente a la dinámica de algunas funciones y sus respectivas funciones inducidas.

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La homología y cohomología de grupos de cadenas invariantes fué introducida por Kevin Knudson. Más tarde, introducimos la cohomología invariante de un Q-grupo G con coeficientes en un  Q-G módulo M, denotado por HH*_{Q}(G,M). En esta charla mostraremos que las clases de equivalencia de sucesiones exactas cortas de grupos Q-equivariantes con nucleo un Q-G-módulo M se clasifican mediante  HH^{2}_{Q}(G,M).

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La categoría derivada de una variedad es una herramienta clásica e importante en el uso del álgebra homológica en la geometría algebraica. En esta plática abordaremos un punto de vista en donde esta categoría toma la forma de un invariante asociado a la variedad que puede otorgarnos información geométrica de la misma. Daremos una introducción básica e histórica a la teoría, con una mira a presentar sus resultados y preguntas más importantes como el teorema de Bondal-Orlov, parejas de Fourier-Mukai, la conjetura de Kawamata, y si el tiempo lo permite discutir la relación de éstas con estructuras tensoriales equipadas en la variedad siguiendo las ideas de la geometría tensorial triangulada de Balmer. 

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Cobordism categories describe the algebraic gluing structure of manifolds, and they are central in the functorial description of topological quantum field theories (TQFTs). We consider a new “nested” variation of a cobordism category where manifolds come with embedded submanifolds and cobordisms with subcobordisms. An example is the category of cylinders with lines. In this talk I will describe the algebraic structure associated with this striped cylinder cobordism category. This is joint work with Calle, Murray, Pacheco-Tallaj, Rovi and Sridhar-Shapiro.

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Sea G un grupo discreto. Una colección de subgrupos F de G es una familia si es no vacía, es cerrado bajo conjugación y tomar subgrupos. Fijemos un grupo G y una familia F de G. Un modelo X para el espacio clasificante respecto de la familia F es un espacio CW en el que el grupo actúa celularmente y cuyos grupos de isotropía pertenecen a la familia F, y el conjunto de puntos fijos X^H es contráctil para todo H en F.

Los espacios clasificantes para familias tienen muchas aplicaciones, por mencionar algunas: aparecen en los enunciados de las conjeturas de isomorfismo de Farrell-Jones y Baum-Connes; se pueden utilizar para definir la cohomología relativa de Adamson; también se pueden utilizar para calcular la complejidad topológica de un grupo etc. Por lo anterior es importante encontrar modelos concretos y minimales para los espacios clasificantes para familias. 

En esta plática daremos un panorama general de los espacios clasificantes para familias  de grupos de 3-variedades orientables, en particular mostraremos como la geometría y la teoría geométrica de grupos nos ayuda a calcular modelos mínimales de los espacios clasificantes. Lo anterior fue un trabajo en colaboración con L.J. Sánchez Saldaña.

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Los infinitesimales de Leibniz fueron proscritos del canon matemático sencillamente porque son inconsistentes con el aparato lógico de moda.  Pero en la narrativa histórica del desarrollo de la geometría, y del cálculo, estos bichos estuvieron presentes siempre. 

Uno de los grandes descubrimientos de la segunda mitad del siglo 20 fue que había categorías suficientemente parecidas (y a la vez abismalmente diferentes) a la categoría de conjuntos que permitían tener asociado un lenguaje y un sistema lógico deductivo con los que se podía trabajar como si ése fuera el único y verdadero universo de discurso. ¡No se vio tal revolución desde que se descubrieron las geometrías no euclidianas!

Gracias a la profunda intuición de Bill Lawvere, se descubrió que había universos de discurso muy naturales bajo los cuales la descripción de los infinitesimales de Leibniz es precisa y en efecto engendra en buena medida todo el cálculo diferencial: la Geometría Diferencial Sintética.  Más aún, contienen como subcategoría plena a la de las variedades lisas (i.e. infinitamente diferenciales)

En esta charla mencionaremos algunos aspectos topológicos susceptibles de ser discutidos en este contexto. Mismos que sirven de base para algunos de los principios subyacentes de la Geometría Diferencial Sintética. 

Advertencia: No necesariamente no hablaremos de Lógica. 

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La teoría de Galois surge de querer expresar las raíces de polinomios usando radicales. Ahora, si en lugar de estudiar a los polinomios y sus raíces, estudiamos a las ecuaciones diferenciales y a sus soluciones, surge una teoría análoga, que se conoce como teoría de Galois diferencial. Esta teoría tuvo su origen en los trabajos de los matemáticos Charles Emile Picard y Ernest Vessiot.

La noción de campo de descomposición de un polinomio en la teoria de Galois, es equivalente a la noción de extensión de Picard-Vessiot de una ecuación diferencial lineal homogénea, en la teoría de Galois diferencial.

En esta plática introduciremos conceptos necesarios para definir a las extensiones de Picard Vessiot de una ecuación diferencial lineal homogénea.

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Los grupos finitamente generados son el objeto de estudio favorito de muchos. Por un lado, son demasiado abundantes para poder ser clasificados, pero también son fáciles de construir mediante presentaciones, por ejemplo. Una pregunta natural es, sin ánimo de clasificarlos, preguntarse cuántos grupos, en el sentido de cardinalidad, finitamente generados hay hasta isomorfismo, o módulo alguna otra relación de equivalencia. También podríamos hacernos la misma pregunta para colecciones particulares de grupos finitamente generados, por ejemplo, cuántos grupos finitamente presentados hay, cuántos grupos que satisfacen alguna otra propiedad de finitud, etc. En esta charla hablaré más en detalle de estas preguntas y sus respuestas.

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