Transformación lineal

Núcleo e imagen. Clasificación de las transformaciones lineales.

Rango de una tranformación lineal

El rango de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores que se pueden obtener al aplicar la transformación a algún vector del dominio. El rango es un subespacio vectorial del espacio de llegada de la transformación. Para hallar el rango de una transformación lineal, se puede usar el método de reducción por filas para obtener una matriz escalonada reducida que represente la transformación, y luego contar el número de filas no nulas, que es igual a la dimensión del rango.

Monomorfismo

El monomorfismo de una transformación lineal es una propiedad que indica que la transformación es inyectiva, es decir, que no hay dos vectores distintos en el dominio que se transformen en el mismo vector en el codominio. Esto implica que la transformación preserva la estructura algebraica de los espacios vectoriales y que el núcleo de la transformación es el vector nulo.

Definición de matriz diagonalizable

Sea A una matriz de K n x n, donde K es un cuerpo (como lo son los reales o los complejos) decimos que es diagonalizable en K si existen dos matrices cuadradas, P y D, de la misma dimensión que A y sobre K tales que

P es regular,
D es diagonal y
A = PDP-1
(o, equivalentemente, P-1AP = D).

Epimorfismo

Un epimorfismo es una transformación lineal que es sobreyectiva, es decir, que lleva todo el espacio de llegada a su imagen. Esto significa que para cualquier vector del espacio de llegada, existe al menos un vector del espacio de partida que se transforma en él. Un ejemplo de epimorfismo es la proyección ortogonal sobre un subespacio, que asigna cada vector a su componente en el subespacio.

Isomorfismo

El isomorfismo en una transformación lineal es una propiedad que indica que dos espacios vectoriales son equivalentes, es decir, que tienen la misma estructura algebraica. Una transformación lineal es isomórfica si es biyectiva, lo que significa que cada elemento del espacio de salida tiene un único elemento correspondiente en el espacio de entrada, y viceversa. Una forma de comprobar si una transformación lineal es isomórfica es calcular su matriz asociada y verificar si tiene determinante distinto de cero.

Transformacion Identidad

Se dice que una figura sufre una transformación idéntica o de identidad cuando, al moverla de alguna manera, se obtiene la misma figura inicial, y todos sus puntos tienen un doble. Los métodos más comunes para realizar una identidad son por triangulación, por radiación, por copia de ángulos y por coordenadas. La función I: V !V que cumple que I(x) = x para todo x en V es lineal y se conoce como la transformación identidad.

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