Esta unidade apresenta os princípios dos sistemas de numeração, tipos de sistemas de numeração e conversão de bases.

Confira a seguir os objetivos de aprendizagem desta:

• Compreender os princípios dos Sistemas de Numeração;

• Exemplificar e praticar Sistemas de numeração;

• Compreender os princípios de Conversão de bases;

• Exemplificar e praticar a Conversão de bases;

O sistema decimal é o sistema numeral mais utilizado na sociedade e é comumente referido como sendo de 'base 10', dado que a base das unidades aumenta em potências de dez. 

Acredita-se que este sistema de contagem se desenvolveu devido à presença de 10 dígitos em nossas mãos. No entanto, várias culturas antigas usavam diferentes sistemas numéricos que possuem uma ampla gama de aplicações no mundo de hoje. Por exemplo, o sistema de numeração babilônico, que usava 60 como a sua base, ainda é usado para medir ângulos, tempo e até coordenadas geográficas. 

Da mesma forma, o sistema maia usava a base 20. Os sistemas básicos também são importantes na indústria de tecnologia da informação. Por exemplo, o sistema binário (base 2) serve como base do software do computador, dado que só depende de dois números ou estados: 0 e 1. No entanto, muitos programadores também fizeram uso do sistema octal (base 8) e do sistema hexadecimal (base 16) para melhorar a memória e o armazenamento de dados.

Ao longo da leitura desse material, será possível compreender as informações mais relevantes a respeito dos sistemas de numeração, dentro dos três aspectos apontados. 

Tópico 1 - SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

2 TERMINOLOGIA E NOTAÇÃO

De acordo com Burton (2016), a teoria dos números é uma das áreas mais antigas da matemática. Embora seja provável que os gregos tenham recebido uma série de informações sobre as propriedades dos números naturais dos babilônios e dos antigos egípcios, os primeiros rudimentos de uma teoria real são geralmente creditados a Pitágoras e seus discípulos. A Figura 1 contém uma representação da escrita sumeriana (babilônica).

A Teoria dos Números preocupa-se, pelo menos em seus aspectos elementares, com as propriedades dos inteiros e, mais particularmente, dos inteiros positivos 1, 2, 3,... (também conhecidos como números naturais). Esta ênfase remonta aos gregos antigos para quem a palavra número significava inteiro positivo, e nada mais. Conhecemos os números naturais há tanto tempo que o matemático Leopold Kronecker uma vez observou, “Deus criou os números naturais, e todo o resto é trabalho do homem”. Longe de ser um presente do céu, a Teoria dos Números tem tido uma longa e algumas vezes dolorosa evolução, uma história que é contada nas próximas páginas (BURTON, 2016, p. 1).

A partir desse contexto, Delgado e Ribeiro (2017), afirmam que os humanos são seres vivos que funcionam por processos químicos e bioelétricos, com valores contínuos. Os efeitos são proporcionais às variações dos valores das concentrações de certos elementos químicos e das pequenas correntes elétricas, de uma forma gradual e contínua.

Por sua vez, os computadores são sistemas eletrônicos, com base em tensões elétricas, mas com valores discretos. Usam apenas dois valores básicos, numa base binária – normalmente, a ausência de tensão elétrica é designada como 0 e a presença dessa tensão é designada como 1 (DELGADO; RIBEIRO, 2017). Na Figura 2, podemos ver uma representação dos sistemas eletrônicos.

De forma geral, as pessoas utilizam a base decimal para as operações aritméticas – com 10 valores diferentes, conhecidos por dígitos, uma vez que normalmente elas têm 10 dedos nas mãos – e um alfabeto composto por 26 símbolos, conhecidos por letras, para as operações com texto (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

Um computador é um sistema eletrônico com muitos fios elétricos, cada um podendo ter apenas os valores 0 ou 1. Cada um destes fios permite representar um bit (termo que vem da contração das palavras anglo-saxônicas binary digit, ou dígito binário). Assim, um computador tem de se contentar com apenas 2 símbolos (0 e 1), seja para operações aritméticas, seja para operações com texto, enquanto as pessoas têm pelo menos 36 símbolos diferentes à disposição (DELGADO; RIBEIRO, 2017, p. 6).

A forma de resolver este problema é simples: codificar os números em base decimal e as letras do alfabeto como sequências diferentes de vários bits. Quanto mais bits uma sequência tiver, maior será o número possível de variantes. Com 4 bits, por exemplo, é possível representar 16 sequências diferentes, simplesmente variando as combinações dos valores dos vários bits (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

A partir desse contexto, podemos refletir sobre a importância do conhecimento do sistema numérico. Um número refere-se a uma palavra ou símbolo que representa uma determinada quantidade. É apenas com a ajuda de números que várias operações aritméticas são realizadas e conseguimos muito desenvolvimento nos campos da física e da matemática. Não conseguiríamos realizar as operações básicas de nosso cotidiano sem a utilização dos números, muito menos manipular e controlar os dispositivos eletrônicos. Portanto, é fundamental e extremamente relevante saber mais sobre os números e os sistemas numéricos.

Os números naturais N = {0,1,2,3,4,...} são os mais básicos, pois tanto os números racionais quanto os reais podem ser construídos a partir deles. 

Qualquer número natural positivo n tem um número oposto −n, e denotamos por Z o conjunto dos números naturais aumentados com todos esses números negativos, conforme a seguir:

Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.

Vamos nos referir a Z como o conjunto de números inteiros ou apenas os números inteiros. Intuitivamente, é conveniente pensar em um número real x como um número decimal com (possivelmente) infinitos dígitos à direita do ponto decimal. Nós então podemos consultar o número obtido definindo todos os dígitos à direita do decimal apontando para 0 como a parte inteira de x. Se substituirmos a parte inteira por 0 obtemos a parte fracionária de x. Por exemplo, em x = 3,14, sua parte inteira é 3 e sua fração é 0,14. 

De acordo com Mørken (2007), para os números racionais existem operações padrão que podemos realizar para encontrar as partes inteiras e fracionárias. Quando dois números naturais positivos a e b são divididos, o resultado geralmente não será um número inteiro, ou equivalentemente, haverá um valor restante. 

A notação a / b denota o resultado da divisão quando o resto é ignorado e é muitas vezes referida como divisão inteira. Por exemplo 3/2 = 1, 9/4 = 2 e 24/6 = 4. 

Além disso, necessitamos da notação para representar (ou manipular) o resto da divisão, para isso escrevemos o símbolo MOD (%). Ou seja, 3 % 2 = 1 (3 MOD 2 terá um resto de 1), enquanto 23%5= 3 (23 MOD 5 terá um resto de 3).

Usaremos a notação padrão para intervalos de números reais. Dois números reais a e b com a < b definem quatro intervalos, que diferem apenas se os pontos finais de a e b estão incluídos ou não. O intervalo fechado [a,b] contém todos os números entre a e b, incluindo os pontos finais. 

Formalmente podemos expressar isso por [a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, e os outros intervalos podem ser definidos de forma semelhante:

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b} (aberto);

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (fechado);

(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} semi-aberto;

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} meio aberto.

Com esta notação podemos dizer que um número fracionário é um número real no intervalo (0,1).

3 SISTEMA NUMÉRICO

O sistema numérico é uma representação matemática de números de um determinado conjunto. Muito provavelmente, o sistema inicial do símbolo inscrito na antiga Mesopotâmia era um sistema de símbolos para números. 

Os sistemas atuais formam os números pela fórmula a seguir, em que a representa o número propriamente dito, B, a base do sistema de numeração (B≥2), xi, os algarismos (0≤xi<B), e o intervalo de –m a n–1, o número de posições utilizadas. Com B=10 tem-se o sistema decimal (WEBER, 2012, p. 3).

Os sistemas antigos, como na civilização egípcia, e os sistemas numéricos romano, hebraico e grego, não tinham uma característica posicional, e era um cálculo aritmético muito complicado. Outros sistemas, porém, incluindo o babilônico, uma versão do chinês e indiano, bem como o sistema maia, usavam o princípio do valor posicional (RAWAT et al., 2012). A Figura 3 contém uma representação da utilização do algarismo romano. 

O desenvolvimento dos números cresceu em diferentes direções e versões. Algumas versões de sistemas numéricos foram desenvolvidas no Egito, na Babilônia, e em Roma, e outras são chamadas de hindu-árabes, maias e os modernos sistemas numéricos americanos. Acredita-se que a evolução matemática tenha começado antes do início dos sistemas de contagem de números (RAWAT et al., 2012).

Estamos familiarizados com o sistema de numeração decimal usado em nosso dia a dia. Para representar esses dígitos decimais, empregamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, conforme exposto na Figura 4.

O sistema decimal é a base mais utilizada pela civilização moderna. A notação decimal é um sistema de notação posicional de base 10, inclui um zero e utiliza símbolos (chamados dígitos) para os dez valores, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, para representar qualquer número, não importa quão grande ou pequeno (RAWAT et al., 2012).

Um computador digital, por sua vez, armazena, entende e manipula informações compostas por quaisquer zeros e uns. Assim, cada dígito decimal, letras, símbolos etc. escritos pelo programador (o usuário) são convertidos em códigos binários na forma de 0 e 1 dentro do computador, conforme apresentado na Figura 5.

Se um sistema numérico de base r é um sistema, então o sistema tem r símbolos distintos para r dígitos. O conhecimento do sistema numérico é essencial para entender o funcionamento de um computador.

Pode haver diferentes valores de base, como: binário (base-2), octal (base-8), decimal (base 10) e hexadecimal (base 16), e aqui o número base representa o número de dígitos usados nesse sistema de numeração. Como vimos, no sistema de numeração decimal os dígitos utilizados são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Portanto, os dígitos para binário são: 0 e 1, os dígitos para octal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Já o sistema de numeração hexadecimal, base 16, os dígitos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

De acordo com RAWAT et al. (2012), um sistema de numeração é um sistema de escrita para expressar números, que é uma notação matemática para representar números de um determinado conjunto, usando dígitos ou outros símbolos de forma consistente. O sistema de numeração é um conjunto de regras e símbolos usados para representar um número binário (0, 1) e outros sistemas de numeração famosos, octal (0-7), hexadecimais (0-F), são baseados no mesmo conceito de sistema de numeração decimal (0-9). O sistema Hexadecimal possui os dígitos (ou símbolos) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

O conhecimento de sistemas numéricos, sua representação, limites, aritmética e a interconversão de números entre os sistemas numéricos prescritos é essencial para a compreensão dos computadores e uma programação bem sucedida para dispositivos digitais.

A partir desse contexto, podemos definir que os sistemas numéricos são sistemas matemáticos utilizados para expressar números de várias formas e devem ser compreendidos por computadores. Um número é um valor matemático usado para contar e medir objetos e realizar cálculos aritméticos. Os números têm várias categorias, como números naturais, números inteiros, números racionais e irracionais, e assim por diante (RAWAT et al., 2012). 

Da mesma forma, existem vários tipos de sistemas de numeração que têm propriedades diferentes, como o sistema de numeração binário, o sistema de numeração octal, o sistema de numeração decimal e o sistema de numeração hexadecimal (RAWAT et al., 2012). 

Um sistema numérico é definido como a representação de números usando dígitos ou outros símbolos de maneira consistente. O valor de qualquer dígito em um número pode ser determinado por um dígito, sua posição no número e a base do sistema numérico. Os números são representados de maneira única e nos permitem realizar operações aritméticas como adição, subtração e divisão.

3.1 SISTEMA NUMÉRICO UNÁRIO

O sistema de numeração mais simples é o sistema de numeração unário, no qual todo e qualquer número natural é representado por um número equivalente de símbolos (RAWAT et al., 2012). 

De acordo com RAWAT et al. (2012), eles são denotados por /, por exemplo, o número sete seria representado por /////// de tal forma que devemos escrever sete vezes o símbolo /. A Figura 6 apresenta a utilização de uma contagem de carvão a partir do sistema numeral unário. 

As marcas de contagem representam um desses sistemas que ainda está em uso regular. Mas, o sistema unário só pode ser usado para números de tamanho menor com um valor pequeno, embora isso desempenhe um papel na ciência da computação teórica. 

3.2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO

De acordo com Delgado e Ribeiro (2017), os circuitos eletrônicos começaram a sua história em 1906, quando Lee de Forest inventou a válvula eletrônica com controle de corrente, com um eletrodo (o cátodo) aquecido que emite elétrons para outro eletrodo (anodo), passando por um terceiro eletrodo colocado entre os dois (grade), que permite controlar a corrente de elétrons de forma a amplificar o sinal aplicado à grade. Em 1947 apareceu o primeiro transistor com iguais capacidades, porém mais confiável, com menores tensões e consumo muito menor. Tanto a válvula como o transistor permitiram amplificar sinais analógicos (com uma faixa contínua de valores de tensão e corrente), como, por exemplo, áudio e vídeo.

Os computadores são implementados com circuitos eletrônicos digitais, chamados assim por oposição aos circuitos analógicos, indicando que são usados apenas alguns valores possíveis e não uma faixa contínua (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

Para ser mais simples de implementar, são usados apenas dois valores, o mínimo (0) e o máximo permitido pelo circuito (1), o que possibilita tratar os circuitos como binários perfeitos e aplicar as regras da Álgebra de Boole, cujos princípios foram estabelecidos pelo matemático inglês George Boole, em 1854 (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

Nesta álgebra existem variáveis, que podem assumir um de dois valores, 0 e 1, e três operações básicas: conjunção (AND), disjunção (OR) e negação (NOT). Com base nisso, é possível especificar funções binárias arbitrariamente complexas. Introduzindo a noção de estado que pode evoluir ao longo do tempo, é possível ainda construir sistemas binários complexos, desde simples contadores até os microprocessadores mais recentes (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

Um número binário é usado no sistema de matemática e no mundo da ciência. Neste sistema, os números são expressos na forma de um sistema de base 2 ou sistema numérico binário, que usa apenas dois números que são 0 (zeros) e 1 (uns). A representação posicional é feita por meio do sistema base 2 (RAWAT et al., 2012). Na Figura 7, a seguir, vemos a representação do sistema binário. 

Por fim, segundo Weber (2012), podemos definir que os números são representados no sistema decimal, mas os computadores utilizam o sistema binário. Embora empreguem símbolos distintos, os dois sistemas formam números a partir das mesmas regras e podem ser facilmente convertidos entre si. De fato, os números podem ser representados em qualquer base maior ou igual a dois, e essas representações podem ser facilmente convertidas de uma frase para outra.

3.3 NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais são números infinitos. O conjunto dos números naturais {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}, é denotado por N na forma abreviada, conforme indicado na Figura 8.

Observe que os números inteiros começam em 0 e incluem os números naturais. A adição de quaisquer 2 números naturais também é um número natural (por exemplo, 4 + 5 = 9), e o produto de quaisquer dois números naturais também é um número natural (4 × 3 = 12). 

3.4 NÚMEROS INTEIROS

Os inteiros são números naturais que consistem no conjunto dos números reais, seus inversos aditivos e zero, conforme expresso a seguir:

{..., -9, -8, -7, -6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

O conjunto de inteiros é denotado por J ou Z na forma abreviada. Esses valores inteiros podem ser representados na linha numérica. Vemos na Figura 9 uma imagem que representa os números inteiros.

Esses números podem ser um inteiro ou decimais. A adição, produto e diferença entre quaisquer dois números inteiros também é um número inteiro.

Assim, de acordo com Perepelitsa (2012), os inteiros são os números naturais (podendo ser definidos como N), incluindo 0, bem como todos os seus 'negativos'. Um exemplo de números inteiros pode ser visto em uma conta bancária. Você pode estar com o saldo positivo ou negativo; ter ou dever dinheiro. Eles são indicados como Z ou às vezes apenas como um Z em negrito.

Esses números podem ser um inteiro ou decimais. A adição, produto e diferença entre quaisquer dois números inteiros também é um número inteiro.

Assim, de acordo com Perepelitsa (2012), os inteiros são os números naturais (podendo ser definidos como N), incluindo 0, bem como todos os seus 'negativos'. Um exemplo de números inteiros pode ser visto em uma conta bancária. Você pode estar com o saldo positivo ou negativo; ter ou dever dinheiro. Eles são indicados como Z ou às vezes apenas como um Z em negrito.

3.5 NÚMEROS RACIONAIS

Os números racionais são aqueles que podem ser escritos como a razão de dois inteiros. Os números racionais, quando escritos em sua forma decimal equivalente, terão terminação ou repetição decimais (PEREPELITSA, 2012).

De acordo com Weber (2012), os números racionais são todos os números que podem ser expressos como o quociente de dois inteiros Z. 

Ou seja, os números racionais são figuras que podem ser formuladas como uma razão entre dois números inteiros. Os números racionais incluem todos os inteiros, pois qualquer inteiro é denotado por z. Além disso, podemos dizer que qualquer fração se enquadra na categoria de números racionais, onde o denominador e o numerador são inteiros e o denominador não é igual a zero. Quando o número racional (ou seja, fração) é dividido, o resultado estará na forma decimal, que pode ser a dízima final ou a dízima periódica.

Todos os decimais que terminam são números racionais, tendo em vista que 5,30 pode ser escrito como 530/100, por exemplo. Decimais são um padrão recorrente na natureza e, depois de certo ponto, também são chamados de números racionais.

A partir desse contexto, de acordo com PEREPELITSA (2012), podemos afirmar os seguintes pontos: 

• todos os inteiros e frações são números racionais;

• se o numerador e o denominador de um número racional forem multiplicados ou divididos por um inteiro diferente de zero, obtemos um número racional equivalente ao número racional dado;

• os números racionais são classificados como racionais positivos, zero ou negativos; 

• quando o numerador ou o denominador é um número inteiro negativo, o número racional será negativo;

• o número 0 não é um número racional positivo nem negativo (definido como elemento neutro);

• há um número ilimitado de números racionais entre dois números racionais;

• diz-se que um número racional está na forma padrão, se seu denominador é um inteiro positivo e o numerador e o denominador não tem um fator comum além de 1;

• dois números racionais com o mesmo denominador podem ser adicionados a partir da soma de seus numeradores, mantendo o mesmo denominador.

3.6 NÚMEROS IRRACIONAIS

Um número irracional é aquele que não pode ser escrito como uma proporção (ou fração). O número irracional não termina nem se repete na forma decimal. 

De acordo com PEREPELITSA (2012), os números irracionais são quaisquer números reais que não podem ser representados como a razão de dois números inteiros. Os números geralmente são raízes imperfeitas. Por exemplo, o π(pi) é um número irracional. A seguir, na Figura 10, temos uma representação do número π(pi) e dos números inteiros.

Os números racionais são aqueles que podem ser escritos como a razão de dois inteiros. Os números racionais, quando escritos em sua forma decimal equivalente, terão terminação ou repetição decimais (PEREPELITSA, 2012).

De acordo com Weber (2012), os números racionais são todos os números que podem ser expressos como o quociente de dois inteiros Z. 

Ou seja, os números racionais são figuras que podem ser formuladas como uma razão entre dois números inteiros. Os números racionais incluem todos os inteiros, pois qualquer inteiro é denotado por z. Além disso, podemos dizer que qualquer fração se enquadra na categoria de números racionais, onde o denominador e o numerador são inteiros e o denominador não é igual a zero. Quando o número racional (ou seja, fração) é dividido, o resultado estará na forma decimal, que pode ser a dízima final ou a dízima periódica.

Todos os decimais que terminam são números racionais, tendo em vista que 5,30 pode ser escrito como 530/100, por exemplo. Decimais são um padrão recorrente na natureza e, depois de certo ponto, também são chamados de números racionais.

A partir desse contexto, de acordo com PEREPELITSA (2012), podemos afirmar os seguintes pontos: 

• todos os inteiros e frações são números racionais;

• se o numerador e o denominador de um número racional forem multiplicados ou divididos por um inteiro diferente de zero, obtemos um número racional equivalente ao número racional dado;

• os números racionais são classificados como racionais positivos, zero ou negativos; 

• quando o numerador ou o denominador é um número inteiro negativo, o número racional será negativo;

• o número 0 não é um número racional positivo nem negativo (definido como elemento neutro);

• há um número ilimitado de números racionais entre dois números racionais;

• diz-se que um número racional está na forma padrão, se seu denominador é um inteiro positivo e o numerador e o denominador não tem um fator comum além de 1;

• dois números racionais com o mesmo denominador podem ser adicionados a partir da soma de seus numeradores, mantendo o mesmo denominador.

3.6 NÚMEROS IRRACIONAIS

Um número irracional é aquele que não pode ser escrito como uma proporção (ou fração). O número irracional não termina nem se repete na forma decimal. 

De acordo com PEREPELITSA (2012), os números irracionais são quaisquer números reais que não podem ser representados como a razão de dois números inteiros. Os números geralmente são raízes imperfeitas. Por exemplo, o π(pi) é um número irracional. A seguir, na Figura 10, temos uma representação do número π(pi) e dos números inteiros.

O π(pi) é a proporção do perímetro de um círculo para o seu diâmetro:

π = 3,14159265358979…

De acordo com Perepelitsa (2012), os números irracionais, quando escritos em sua forma decimal equivalente, possuem decimais não terminantes e não repetitivos. Por exemplo: a raiz quadrada de um número primo é irracional. 

Portanto, os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como uma razão de dois números inteiros. Eles não têm equivalentes decimais exatos. A raiz quadrada de 2 é cerca de 1,414. Você nunca obterá o número exato elevando a fração ao quadrado (ou terminando os números decimais). A raiz quadrada de 2 é um número irracional, o que significa que seu equivalente decimal continua para sempre, sem padrão repetitivo. 

3.7 NÚMEROS REAIS

Os números reais são o conjunto de números que contém todos os números irracionais e todos os números racionais. 

Eles consistem em “todos os números” na escala numérica. Os números reais são infinitos, assim como existem infinitos números em cada um dos outros conjuntos de números. Porém, o infinito dos números reais é um infinito maior.

3.8 NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos incluem o conjunto dos números reais, que inclui o conjunto dos números racionais e irracionais. Os números reais, no sistema complexo, são denotados na forma a + 0i = a. 

Este conjunto é sempre denotado por C na forma abreviada. O conjunto dos números complexos é significativo porque para qualquer polinômio p(x) com coeficientes de números reais, todas as soluções de p(x) = 0 estarão em C.

Tópico 2 - TIPOS DE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

2 SISTEMA NUMÉRICO POSICIONAL 

Neste sistema, o valor de cada dígito é definido não apenas pelo símbolo, mas também pela sua posição. O sistema de numeração posicional é usado para realizar os cálculos aritméticos. Além do sistema de numeração decimal, existem diversos outros sistemas, como o sistema de numeração binário, o sistema de numeração octal e o sistema de numeração hexadecimal (RAWAT et al., 2012). 

De acordo com sua posição de ocorrência no número, cada dígito é ponderado. Para a esquerda, os pesos aumentam por um fator constante equivalente à base ou raiz. Com a ajuda do ponto de base ('.'), as posições correspondentes aos pesos integrais (1) são diferenciadas das posições correspondentes aos pesos fracionários (<1).

Qualquer valor inteiro maior ou igual a dois pode ser usado como base ou raiz. A posição do dígito 'n' tem peso r ^ n. O maior valor da posição do dígito é sempre um a menos que o valor base. O valor de um número é a soma ponderada de seus dígitos.

Alguns exemplos de sistema de numeração posicional são o sistema de numeração decimal, o sistema de numeração binário, o sistema de numeração octal, o sistema de numeração hexadecimal, BCD, entre outros.

2.1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 

O sistema decimal é formado por dez algarismos, ou seja, dez símbolos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, e é utilizado universalmente. Na Figura 12 temos uma representação desse sistema.

Conforme Paixão (2014), quando se inicia uma contagem e ela chega ao último símbolo, neste caso, o símbolo “9”, inicia-se a repetição de símbolos de tal forma que sejam combinados e, dessa maneira, um novo valor possa ser representado. Por exemplo, o número 10 é simplesmente a combinação dos símbolos 0 e 1 (PAIXÃO, 2014).

Qualquer número pode ser representado por esse ou qualquer outro sistema numérico, desde que a lei de formação numérica seja respeitada. Por exemplo, para representar o número 1.909 em base 10, deve-se multiplicar cada algarismo pela potência integral de 10 (100, 101, 102, 103, ...), referente à ordem hierárquica em que ele está (PAIXÃO, 2014, p. 14).

2.2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO

Os computadores usam o sistema de numeração de base 2, também chamado de Binário ou Booleano, representado a seguir na Figura 13.

De acordo com Paixão (2014), como o próprio nome sugere, o sistema binário é constituído por dois símbolos, 0 e 1. Esse sistema numérico é muito importante, porque é utilizado para expressar todas as operações realizadas em um sistema digital. A arquitetura de um PC está fundamentada em um sistema digital complexo, uma vez que é composta por processadores, memórias de semicondutores, circuitos de entrada e saída, popularmente conhecidos como circuitos I/O (in-out), entre outros, que processam sinais puramente digitais.

É importante salientar que sinais analógicos (entrada externa de dados, como o som capturado por um microfone) sempre são transformados em sinais digitais por meio de conversores A/D (Ana- lógico/Digital); caso contrário, eles não podem ser processados internamente no PC (PAIXÃO, 2014, p. 15).

Como em um computador existem apenas dois dígitos válidos na Base 2 – zero e um, ou desligado e ligado, respectivamente –, cada dígito nesse sistema, quando referenciado por um computador, é chamado de bit.

Quando quatro bits são agrupados eles formam o que é conhecido como um nibble. Oito bits, ou dois nibbles, seria um byte. 

A partir desse contexto, conforme Delgado e Ribeiro (2017), podemos visualizar no Quadro 1 os nomes usuais para o tamanho (em bits) das representações de números e respectiva faixa de valores representáveis. 

O número de bits usado, como vimos, é tipicamente uma potência de 2. O Quadro 1 ilustra os casos mais comuns e os nomes correspondentes mais frequentemente usados, embora nem todos os sistemas atribuam os mesmos nomes aos números representados com mais de 8 bits. Esta representação, que com N bits permite representar números entre 0 e 2N–1, é denominada representação sem sinal (unsigned), porque só contempla números positivos (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

Apenas dois dígitos 0 e 1 são empregados para representar um sistema numérico binário. Então a base ou a raiz do sistema binário é dois (2). Os dígitos 0 e 1 são chamados de bits (Dígitos Binários). Dentro desse sistema numérico o valor do dígito será duas vezes maior do que o seu antecessor. 

Temos, portanto, que esta regra para um número binário é a mesma que para um número do sistema decimal. A regra supracitada vale para qualquer outro sistema numérico posicionado. O peso de um dígito em qualquer sistema numérico posicionado depende de sua posição relativa dentro do número e da base do sistema numérico (DELGADO; RIBEIRO, 2017).

Por fim, conforme Weber (2012), o código de máquina (ou números binários) consiste numa sequência de instruções básicas que o computador executa diretamente e refletem diretamente nos recursos internos de que o processador dispõe. Há casos em que um programador especializado tem interesse em verificar em detalhes essas instruções. 

Para que isso seja possível, cada computador tem uma representação dessas instruções em texto, com nomes (e não simples números binários), denominada linguagem Assembly. Existe uma correspondência de um para um entre cada instrução em linguagem Assembly e em código de máquina. Na Figura 14 vemos a representação da linguagem Assembly.

2.3 SISTEMA DE NUMERAÇÃO HEXADECIMAL

O sistema de numeração binário pode ser difícil e complicado de interpretar para alguns usuários. Portanto, o sistema de numeração hexadecimal foi desenvolvido como um recurso para facilitar a compreensão dos usuários, uma vez que o computador só entende o sistema binário.

De acordo com Paixão (2014), esse sistema é muito utilizado por programadores de software de baixo nível (tal como a linguagem Assembly), em vez de utilizar o sistema binário, nativo dos sistemas digitais, que é eficiente, mas possui o inconveniente de usar uma grande quantidade de zeros e uns para representar um número, dado ou instrução.

O sistema hexadecimal é útil porque pode representar cada byte (8 bits) como dois dígitos hexadecimais consecutivos. É mais fácil para os usuários (programadores, analistas) conseguirem ler os números hexadecimais do que os números binários. Uma representação do sistema hexadecimal pode ser vista na Figura 15, a seguir.

O sistema de numeração hexadecimal utiliza 16 caracteres (base 16) para representar os valores. 

Os primeiros dez caracteres são iguais ao sistema decimal (0 a 9), seguido das primeiras seis letras do alfabeto, A a F. 

Os códigos ASCII (American Standard for Coded Information Interchange), também conhecidos como Tabela ASCII, normalmente estão representados em hexadecimal para facilitar a vida de programadores e desenvolvedores de software (PAIXÃO, 2014, p. 15).

Por exemplo, considere o número hexadecimal “D8AF“. 

Em hexadecimal, cada dígito representa um múltiplo de uma potência de dezesseis (base 16). Portanto, o número hexadecimal D8AF traduzido para decimal significa 13x163 + 8x162 + 10x161 + 15x160 = 55471.

Observe que podemos utilizar um método de marcação para indicar que a expressão se trata de um número hexadecimal. Ao acrescentar um “h” minúsculo no final, podemos indicar essa marcação. Outro método de rotulagem é preceder o número com 0x. Assim, o número hexadecimal “D8AF” também pode ser escrito como “D8AFh“, onde o “h” minúsculo no final é apenas um rótulo para garantir que a identificação visual fique clara (se trata de um número hexadecimal). Além disso, D8AF pode ser escrito com um prefixo de rotulagem como “0xD8AF” (PAIXÃO, 2014).

Por fim, de acordo com Paixão (2014), podemos afirmar que o sistema de numeração hexadecimal é amplamente utilizado na indústria de computadores atualmente. Sua base (ou raiz), como vimos, é 16, ou seja. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. 

2.4 SISTEMA DE NUMERAÇÃO OCTAL

Muitos dos primeiros computadores utilizavam o sistema de numeração octal para compilar as impressões. Hoje, o Controlador Lógico Programável (Programmable logic controller, ou PLC) é praticamente o único dispositivo que utiliza a numeração do sistema Octal (PAIXÃO, 2014). 

Octal significa 8, então o sistema numérico de base 8 é conhecido como o sistema de numeração octal. Este sistema usa oito símbolos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 para representar o número. Portanto, qualquer número octal não pode ter nenhum dígito maior que 7 (RAWAT et al., 2012). Os valores aumentam da esquerda para a direita como 1, 8, 64, 512, 4096 etc.

O valor decimal 8 é representado em octal como 10, o 9 como 11, o 10 como 12 e assim por diante. Como 8 = 23, um número octal é representado por um grupo de três bits binários. Por exemplo, 3 é representado como 011, e 4 como 100. Esse sistema é muito parecido com o sistema decimal, sem os dígitos 8 e 9. O formato geral para quatro dígitos do número octal é:

(d x 80) + (d x 81) + (d x 82) + (d x 83)

onde “d” significa dígito. 

Este é o mesmo formato usado no binário, decimal ou hexadecimal, exceto pelo número base, que para octal é 8.

2.5 SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL CODIFICADO EM BINÁRIO (BCD) 

O BCD (Binary Coded Decimal) é um sistema de numeração em que quatro bits são usados para representar cada dígito decimal. Em computação e sistemas eletrônicos, o BCD é uma codificação para números decimais em que cada dígito é representado por sua própria sequência binária. Sua principal virtude é que permite a fácil conversão em dígitos decimais para impressão ou exibição e cálculos decimais mais rápidos. Suas desvantagens são o aumento da complexidade de circuitos necessários para implementar operações matemáticas e uma codificação relativamente ineficiente – ocupa mais espaço do que a representação binária. Embora a importância do BCD tenha diminuído, ainda é amplamente utilizado em aplicações financeiras, comerciais e industriais (RUBIN, 2013).

Por exemplo, um byte pode representar no máximo 256 números diferentes (ou seja, 0--255) usando binário normal, enquanto apenas 100 números distintos (ou seja, 0--99) podem ser codificados usando BCD. 

Além disso, observe que BCD é um subconjunto de hexadecimal e nenhum deles agrupa os números negativos.

3 SISTEMA NÃO POSICIONAL

Na antiguidade, as pessoas usavam os dedos para fazer cálculos e contagens, e quando os dedos eram insuficientes, pedras, seixos ou paus eram utilizados para indicar os valores. Dessa forma, era muito difícil fazer cálculos aritméticos com esse sistema numérico, pois não havia símbolo para zero (RAWAT et al., 2012).

Na Figura 16, vemos uma representação do processo de contagem a partir das mãos, utilizando os dedos.

O sistema de numeração não posicional também é conhecido como sistema de numeração não ponderado. Antigamente, as pessoas usavam esse tipo de sistema numérico para cálculos simples, como adições e subtrações. Nele, o valor do dígito independe de sua posição. Um sistema numérico não posicional também é usado para codificações de posição de deslocamento e para fins de detecção de erros (DOBHAL, 2021).

De acordo com Dobhal (2021), o sistema de numeração não posicional consiste em diferentes símbolos para representar números. Um sistema de numeração romano é um exemplo do sistema de numeração não posicional, ou seja, I=1, V=5, X=10, L=50.

3.1 NÚMEROS ROMANOS

De acordo com Dobhal (2021), o sistema de algarismos romanos foi criado na civilização romana com a finalidade de contar e realizar transações do dia a dia. Várias letras do alfabeto latino são usadas para a representação dos algarismos. Eles são normalmente utilizados como sufixos gerais para pessoas ao longo de gerações, marcas de horas em um relógio, para denotar os nomes de Papas e Monarcas, etc. 

A seguir, vemos na Figura 17 uma das utilizações do sistema de algarismos romanos.

Os algarismos romanos modernos usam sete letras para representar números diferentes. Estes são I, V, X, L, C, D e M, que contêm os valores inteiros de 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, respectivamente.

3.2 CÓDIGO CÍCLICO

O Código cíclico é uma subclasse de códigos de bloco linear no qual um deslocamento cíclico nos bits da palavra de código resulta em outra palavra de código. Trata-se de um código bastante importante, pois oferece fácil implementação e, portanto, encontra aplicações em vários sistemas (DOBHAL, 2021).

Estes são códigos de correção de erros onde a informação real é enviada pelo canal combinando com os bits de paridade.

Desse modo, segundo Macleod (2014), os códigos cíclicos são conhecidos por serem uma subcategoria crucial da técnica de codificação linear porque oferecem esquemas eficientes de codificação e decodificação usando um registrador de deslocamento. Eles são utilizados na correção de erros, pois podem verificar erros duplos. 

3.3 CÓDIGO GRAY

O Código Gray (Gray Code) é uma sequência de sistemas numéricos binários, também conhecido como Código Binário Refletido. A razão para chamar esta nomenclatura é que os primeiros valores N/2 comparados com os últimos valores N/2 estão na ordem inversa. Neste código, dois valores consecutivos são diferenciados por um bit de dígitos binários (DOBHAL, 2021).

Um código gray representa números usando um esquema de codificação binária que agrupa uma sequência de bits para que apenas um bit no grupo mude do número anterior e posterior. Um código gray não é ponderado, e as colunas de bits não refletem um peso base implícito como o sistema de números binários (CHRISTIANO, 2016).

Assim, conforme Christiano (2016), embora originalmente tenham sido desenvolvidos para uma aplicação específica, o código gray apresenta um esquema de codificação em que os bits que representam um número diferem apenas um bit entre o número anterior e posterior, e encontraram usos em codificadores rotativos e ópticos, detecção de erros. Com apenas um bit mudando de estado à medida que os números progridem, os problemas mecânicos e de tempo que podem causar erros de leitura são minimizados.

Tópico 3 - CONVERSÃO DE BASES

Neste tópico, veremos métodos para converter os números nos diferentes sistemas de numeração. 

2 CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS BINÁRIO E OCTAL

Os números octais, possuem um intervalo de 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), tornando-os um sistema de numeração Base-8. No início da computação, os números octais e o sistema de numeração octal eram muito populares para contar entradas e saídas porque, como funcionavam em contagens de oito, as entradas e saídas eram contadas em um byte de cada vez (WEBER, 2012).

Existem vários métodos diretos ou indiretos para converter um número octal em número binário. Em um método indireto, você precisa converter um número octal em outro sistema numérico (por exemplo, decimal ou hexadecimal), então você pode transformar em número binário convertendo cada dígito em um número binário do sistema hexadecimal e usando o sistema de conversão de decimal para número binário.

No entanto, existe um método direto e simples para converter um número octal em número binário. Como existem apenas 8 símbolos no sistema de representação octal, podemos representar cada dígito do octal no grupo de 3 bits em número binário.

A partir desse contexto, de acordo com WEBER (2012), podemos converter os números binários em números octais realizando as seguintes etapas: 

1. Separar o número binário;

2. Multiplicar cada dígito por 2n-1, onde n é a posição do dígito do decimal;

3. Observar que a resultante é o número decimal equivalente para o número binário dado;

4. Dividir o número decimal por 8;

5. Observar o resto:

a) Continuar as duas etapas acima até que o quociente seja zero;

b) Escrever o resto na ordem inversa;

c) A resultante é o número octal necessário para o número binário dado.

No Quadro 3 temos um exemplo da conversão do número binário para octal.

3 CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS BINÁRIO E DECIMAL

A conversão de binário para decimal é feita para transformar um número dado no sistema de numeração binário para seu valor equivalente no sistema de numeração decimal. 

Vimos que o sistema numérico decimal é o sistema numérico mais usado em todo o mundo, facilmente compreensível para as pessoas. Consiste em dígitos de 0 a 9, e a conversão de binário para decimal pode ser feita de maneira simples, adicionando os produtos de cada dígito binário com seu peso (que é da forma - dígito binário × 2 elevado a uma potência da posição do dígito), começando pelo dígito mais à direita que tem um peso de 20.

A conversão de binário para decimal é feita para representar um número fornecido no Sistema de Numeração Binário para seu equivalente no Sistema de Numeração Decimal. Um sistema numérico é muito essencial para representar os números. 

Todo sistema de numeração possui uma base e a base de um sistema de numeração é determinada pelo número total de dígitos usados no sistema de numeração. 

Por exemplo, o sistema de numeração binário tem uma base 2 porque tem apenas dois dígitos para representar qualquer número. Da mesma forma, o sistema de numeração decimal tem base 10, pois possui 10 dígitos para representar um número.

De acordo com Weber (2012), a conversão de binário para decimal é feita para ajudar a leitura de grandes números binários, de uma forma que os humanos possam entender. Existem dois métodos para converter um número no sistema numérico binário para decimal:

• Método de Notação Posicional;

• Método de Duplicação.

Vamos entender esses métodos de conversão de binário para decimal em detalhes.

Isso é obtido multiplicando cada dígito pela base (2) elevada à respectiva potência, dependendo da posição desse dígito no número. A soma de todos esses valores obtidos para cada dígito dá o valor equivalente ao número binário dado no sistema decimal.

Observe as etapas a seguir para entender a conversão de binário para decimal. Consideremos o número binário (101101)2. 

Em qualquer número binário, o dígito mais à direita é chamado de Least Significant Bit (LSB) e o dígito mais à esquerda é chamado de Most Significant Bit (MSB). Para um número binário com 'n' dígitos, o bit menos significativo tem um peso de 20 e o bit mais significativo tem um peso de 2n-1.

Passo 1: Liste as potências de 2 para todos os dígitos começando da posição mais à direita. A primeira potência seria 20 e à medida que avançamos será 21, 22, 23, 24, 25,... 

No exemplo dado, existem 6 dígitos - (101101)2 - portanto, começando pelo dígito mais à direita, o peso de cada posição da direita é 20 ,21 ,22 ,23 ,24 ,25. 

Passo 2: Agora multiplique cada dígito do número binário a partir da direita com seu respectivo peso baseado em sua posição e calcule o produto. Observe a tabela a seguir para se relacionar com a etapa. Finalmente, some todos os produtos obtidos para todos os dígitos do número binário.

Passo 3: Agora, expresse o número binário como um número decimal:

(101101)2 = (45)10

Vamos discutir agora sobre o método de duplicação. Como o nome sugere, o processo de dobrar ou multiplicar por 2 é feito para converter binário em decimal. Usaremos o mesmo exemplo para converter o número binário (101101)2 para decimal. 

Observe as etapas a seguir para entender a conversão de binário para decimal usando o método de duplicação.

Passo 1: Escreva o número binário e comece a partir do dígito mais à esquerda. Dobre o número anterior e adicione o dígito atual. 

Como estamos começando do dígito mais à esquerda e não há dígito anterior ao dígito mais à esquerda, consideramos o dobro do dígito anterior como 0. Por exemplo, em (101101)2, o dígito mais à esquerda é '1'. O dobro do número anterior é 0. Portanto, obtemos ((0 × 2) + 1) que é 1.

Passo 2: Continue o mesmo processo para o próximo dígito. O segundo dígito da esquerda é 0. Agora, dobre o dígito anterior e adicione-o com o dígito atual. Portanto, obtemos [(1 × 2) + 0], que é 2.

Passo 3: Continue o mesmo passo em sequência para todos os dígitos. A soma obtida na última etapa é o valor decimal real. Portanto, o resultado da conversão do número binário (101101)2 para um decimal usando o método de duplicação é 4510.

4 CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS BINÁRIO E HEXADECIMAL

De acordo com Delgado e Ribeiro (2017), o maior número binário na Figura 18 tem um zero à esquerda, para que o número total de bits (32, neste caso) seja múltiplo de 4 e possibilite a conversão para hexadecimal. Um zero à esquerda não afeta o valor de um número.

Começando no ponto binário e trabalhando para a esquerda, separe os bits em grupos de quatro e substitua cada grupo com o dígito hexadecimal correspondente. Temos a seguir a representação da conversão do número binário 100010112.

100010112 = 1000 1011 = 8B16

5 CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS DECIMAL E BINÁRIO

A conversão de decimal para binário é feita através de vários métodos. Um dos métodos para converter decimal em binário é dividindo o número decimal dado recursivamente por 2. 

Então, os restos são anotados até obtermos 0 como o quociente final. Após esta etapa, esses restos são escritos em ordem inversa para obter o valor binário do número decimal fornecido. 

Estes são identificados com a ajuda da base que possuem. Os números podem ser facilmente convertidos de uma base para outra usando algumas regras definidas.

O sistema de numeração decimal é um sistema numérico que representa um número com base 10 e usa 10 símbolos - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 

De acordo com PAIXÃO (2014), para converter um número da base 10 na base 2, utiliza-se o método da divisão sucessiva, que também pode ser utilizado para a conversão da base 10 em qualquer outra base. 

O método da divisão sucessiva consiste na divisão do número da base 10 pelo número que representa a base a ser convertida (por exemplo, 2 para a base binária), até que o quociente seja igual a zero. Então, tomamos os restos de cada divisão, obedecendo ao sentido da última para a primeira divisão, e obteremos o número correspondente na base desejada (PAIXÃO, 2014, p. 18).

A partir desse contexto, podemos sintetizar que para converter números de decimal para binário, o número decimal fornecido é dividido repetidamente por 2 e os restos são anotados até obtermos 0 como o quociente final. 

As etapas a seguir são consideradas como a fórmula decimal para binária que mostra o procedimento de conversão.

Passo 1: Divida o número decimal dado por 2 e anote o resto.

Passo 2: Agora, divida o quociente obtido por 2 e anote o resto novamente.

Passo 3: Repita os passos acima até obter 0 como o quociente.

Passo 4: Agora, escreva os restos de tal forma que o último resto seja escrito primeiro, seguido pelo resto na ordem inversa.

Passo 5: Isso também pode ser entendido de outra forma que afirma que o bit menos significativo (LSB – Least Significant Bit) do número binário está na parte superior e o bit mais significativo (MSB – Most Significant Bit) está na parte inferior. Este número é o valor binário do número decimal fornecido.

LEITURA COMPLEMENTAR

SISTEMAS NUMÉRICOS

Alexandre Moraes Tannus 

O sistema de numeração mais comumente usado é o sistema de numeração hindu-arábico. Dois matemáticos indianos são creditados por desenvolvê-lo. Aryabhata desenvolveu a notação de valor de lugar no século 5 e Brahmagupta introduziu o símbolo de zero um século depois. 

O sistema numérico desenvolvido pelos índios se espalhou lentamente para outros países vizinhos devido às suas atividades comerciais e militares. Ainda hoje, os árabes chamam seu sistema de numeração “Raqam Al-Hind”. 

Os árabes traduziram o sistema numérico indiano e o espalharam pelo mundo devido às suas ligações comerciais. Portanto, o atual sistema de numeração ocidental é a modificação do sistema de numeração hindu que foi desenvolvido na Índia, que exibe uma grande semelhança com a notação sânscrita. 

Computadores entendem a linguagem de máquina. Cada letra, símbolo etc. que escrevemos nas instruções dadas ao computador, ele é convertido em linguagem de máquina. Esta linguagem de máquina é composta por números. Para entender a linguagem usada por computadores e outros sistemas digitais é crucial ter uma melhor compreensão do sistema numérico.

Os sistemas numéricos podem ser classificados em seus subtipos com base na base desse sistema. A base de um sistema numérico desempenha um papel crucial na compreensão do sistema numérico e na conversão de um subtipo para outro subtipo. Base também é às vezes referida como radix; ambos os termos têm o mesmo significado.

Todos os sistemas de numeração foram criados tomando certos números como base. A base de um sistema de numeração é o número mais alto que pode ser contado sem a repetição de qualquer número contado anteriormente. No sistema decimal usado na maior parte do mundo moderno, a base é 10. 

A base foi escolhida para um sistema de numeração que muitas vezes reflete métodos reais de contagem usados por humanos. 

Um número é uma contagem ou medida que é realmente uma ideia em nossas mentes. Um dígito é um único símbolo usado para fazer números. O conceito de número é o mais básico e fundamental no mundo da ciência e da matemática. O primeiro dígito em qualquer sistema de numeração é sempre um zero. Por exemplo, um número de base 2 (binário) contém 2 dígitos: 0 e 1, números de base 3 (ternários) contém 3 dígitos: 0, 1 e 2, uma base 4 (quaternário) número contém 4 dígitos: 0 a 3 e assim por diante.

Lembre-se, um número de base 10 (decimal) não contém o dígito 10, da mesma forma o número de base 16 não contém um dígito 16.

FONTE: TANNUS, A. M. Sistemas Numéricos. 2019. Disponível em: <http://45.4.96.19/handle/aee/1854>. Acesso em: 23 Jun. 2022.