1.1 ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 โรงเรียนดาราวิทยาลัย เชียงใหม่ http://gg.gg/adisakec
Embedded Files
ทฤษฎีบทปิทาโกรัส Pythagorus’s Theorem
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (Right Triangle) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งกาง 90°
จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก
- AB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม C แทนด้วยความยาว c
- AC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม B แทนด้วยความยาว b
- BC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม A แทนด้วยความยาว a
ทฤษฎีบทของปิทาโกรัส กล่าวไว้ว่า
แบบที่ 1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ความยาวกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลบวกของความยาวกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน หรือพิจารณาจากพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตามแบบที่ 2 คือ
แบบที่ 2 ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากสองด้าน ดังรูปประกอบ
จากรูป จะสังเกตว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีแดง(ด้านตรงข้ามมุมฉาก) จะเท่ากับ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีน้ำเงิน(ด้านประกอบมุมฉาก)
ภาพแสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทั้งสามรูป คือ
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน c เท่ากับ 25 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน a และ b เท่ากับ 16 และ 9 ตารางหน่วยตามลำดับ
ซึ่งจะเห็นว่า 9 + 16 = 25
32 + 42 = 52
นั่นคือ a2 + b2 = c2
จากทฤษฎีบท ทั้ง 2 แบบ จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้
c2 = a2+b2
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก
หรือ a2 = c2 - b2 และ b2 = c2 - a2
ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉากแล้ว ทฤษฎีบทปีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการปีทาโกรัสได้ดังนี้
ถ้าทราบความยาวของทั้ง a และ b ค่า c จะสามารถคำนวณได้ดังนี้
ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประกอบมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้
หรือ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ
จากรูป a=4 , b=3 หาค่าของ c
จะได้ว่า c2 = 42 + 32
c2 = (4 x 4) + (3 x 3)
c2 = 16 + 9
c2 = 25
c2 = 52
ดังนั้น c = 5
ตอบ c ยาว 5 หน่วย
ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ
จะได้ว่า d2 = 72+242
d2 = (7 x 7) + (24 x 24)
d2 = 49+576
d2 = 625
d2 = 252
ดังนั้น d = 25
ตอบ d ยาว 25 หน่วย
ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ
จะได้ว่า m2 = 132- 52
m2 = (13 X 13) – (5 X 5)
m2 = 169 – 25
m2 = 144
m2 = 122
ดังนั้น m = 12
ตอบ m ยาว 12 หน่วย
ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาว AB ของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ
จะได้ว่า AB2 = AC2+BC2
AB2 = 82+152
AB2 = 64+225
AB2 = 289
AB2 = 172
ดังนั้น AB = 17
ตอบ ด้าน AB ยาว 17 หน่วย
ตัวอย่างที่ 5 จงหาความยาวของด้าน PQ ของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ
จะได้ว่า PR2 = PQ2 + QR2
PQ2 = PR2 - QR2
PQ2 = 152 - 122
PQ2 = (15 x 15) – (12 x 12)
PQ2 = 225 – 144
PQ2 = 81
PQ2 = 92
ดังนั้น PQ = 9
ตอบ ความยาวของด้าน PQ คือ 9 หน่วย
ตัวอย่างที่ 6 จากรูปจงหาค่าของ a
วิธีทำ
จะได้ว่า 6.52 = a2 + 2.52
a2 = 6.52 - 2.52
a2 = (6.5 x 6.5) - (2.5 x 2.5)
a2 = 42.25 – 6.25
a2 = 36
a2 = 62
ดังนั้น a = 6
ตอบ a ยาว 6 หน่วย
Page updated
Report abuse