1.2 บทกลับ
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 โรงเรียนดาราวิทยาลัย เชียงใหม่ http://gg.gg/adisakec
บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
" ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นย่อมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านยาวที่สุดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก "
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ c2 = a2 + b2 เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
ถ้า a2+ b2 = c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้า a2+ b2 > c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
ถ้า a2+ b2 < c2 สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
การหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อทราบความยาวเพียงด้านเดียว
เมื่อกำหนดให้ความยาวใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 แล้ว เราสามารถหาความยาว ของอีก 2 ด้านที่เหลือได้ โดยใช้สูตรของปีทาโกรัส(Pythagoras) และสูตรของพลสโต (Plato) ซึ่งมีโครงสร้างสูตรที่คล้ายกัน ดังนั้น เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำ จึงจะนำเสนอสูตรของพลาโต ดังนี้
สูตรของพลาโต คือ กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 (นั่นคือ จำนวนตั้งแต่ 2 ขึ้นไป) จะได้ว่า 2n, n2 – 1 และn2 + 1 เป็นจำนวนเต็ม ที่สอดคล้องกับสูตรบทของปีทาโกรัส ดังนี้
ข้อสังเกต : ความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ควรจำ เขียนในรูปอัตราส่วนอย่างต่ำ ได้ดังนี้
3 , 4 , 5 5 , 12 , 13 7 , 24 , 25 8 , 15 , 17 9 , 40 , 41
11 , 60 , 61 12 , 35 , 37 13 , 84 , 85 20 , 21 , 29
ข้อสังเกตง่ายๆ เกี่ยวกับตัวเลขที่พบบ่อยในการคิดคำนวณ ซึ่งจากการสังเกตพบว่ามีความเกี่ยวโยงสัมพันธ์กันซึ่งน่าจะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียน
นักเรียนสังเกตดูชุดตัวเลขเหล่านี้ก็จะเห็นความสัมพันธ์ว่าชุดตัวเลขที่ยกมาให้ดูนี้เกิดจากการนำจำนวนเต็มมาคูณ เช่น
(3,4,5) x 2 = (6,8,10)
(3,4,5) x 3 = (9,12,15)
(3,4,5) x 4 = (12,16,20)
(3,4,5) x 5 = (15,20,25)
(3,4,5) x 6 = (18,24,30)
ตัวเลขทั้งหมดต่างเป็นความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อตัดเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำก็จะได้ 3 , 4 , 5 ส่วนชุดตัวเลขอื่นๆก็ล้วนมีความสัมพันธ์แบบนี้เช่นกัน
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จงตรวจดูว่าข้อใดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
(1) 18, 24, 30
302 = 30 x 30 = 900 (พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด )
182 + 242 = (18 x 18) + (24 x 24) = 324 + 576 = 900 (ผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน)
จะได้ 302 = 182 + 242
ดังนั้น 18, 24, 30 เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 30 หน่วย ตอบ.
(2) 8, 15, 17
172 = 17 x 17 = 289 (พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด )
82 + 152 = (8 x 8) + (25 x 25) = 64 + 225 = 289 (ผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน)
จะได้ 172 = 82 + 152
ดังนั้น 8, 15, 17 เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 17 หน่วย ตอบ.
(3) 12, 15, 19
192 = 19 x 19 = 361 (พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด )
122 + 152 = (12 x 12) + (15 x 15) = 144 + 225 = 369 (ผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน)
จะได้ 192 ไม่เท่ากับ 122 + 152
ดังนั้น 12, 15, 19 ไม่เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตอบ.
(4) 16, 28, 32
322 = 32 x 32 = 1,024 (พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด )
162 + 282 = (16 x 16) + (28 x 28) = 256 + 784 = 1,040 (ผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้าน)
จะได้ 322 ไม่เท่ากับ 162 + 282
ดังนั้น 16, 28, 32 ไม่เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตอบ.
ตัวอย่างที่ 2.1 จงแสดงว่า รูปสามเหลี่ยม ABC ในแต่ละข้อเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
1. หาความยาวของด้าน AB และ AC
AB2 = 92 + 122
AB2 = 81 + 144
AB2 = 225
และ
AC2 = 122 + 162
AC2 = 144 + 256
AC2 = 400
2. ตรวจสอบว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
BC2 = ( 9 + 16 )2 = ( 25 )2 = 625
AB2 + AC2 = 225 + 400 = 625
ดังนั้น BC2 = AB2 + AC2
นั่นคือ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตอบ.
ตัวอย่างที่ 2.2 จงแสดงว่า รูปสามเหลี่ยม ABC ในแต่ละข้อเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
1. หาความยาวของด้าน AB และ AC
AB2 = 202 + 332
AB2 = 400 + 1,089
AB2 = 1,489
และ
AC2 = 332 + 562
AC2 = 1,089 + 3,136
AC2 = 4,225
2. ตรวจสอบว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
BC2 = ( 20 + 56 )2 = ( 76 )2 = 5,776
AB2 + AC2 = 1,489 + 4,225 = 5,714
ดังนั้น BC2 ไม่เท่ากับ AB2 + AC2
นั่นคือ รูปสามเหลี่ยม ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตอบ.