วันที่โพสต์: Jun 16, 2014 8:57:8 AM
การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Proof)
ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Proof) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์(conjecture) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นต้น
การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ (natural language) ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้ให้เกิดความกำกวม
1 วิธีการพิสูจน์
1.1 การพิสูจน์ตรง
1.2 การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
วิธีการพิสูจน์
การพิสูจน์ตรง
การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่
พิจารณาจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ
สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b)
ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ
ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใดๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ
การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง
การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์"ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์"กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก"ขั้นฐาน"ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่นๆ เป็นอนันต์กรณี เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่นๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ infinite descent Infinite descent สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ√2
การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำหนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน: ให้ N = {1,2,3,4,...} เป็นเซตของจำนวนนับ และ P (n) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ n เป็นสมาชิกของ N ที่
(1) P(1) เป็นจริง กล่าวคือ P(n) เป็นจริงสำหรับ n = 1
(2) P(n+1) เป็นจริงเมื่อ P(n) เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ P(n) เป็นจริง แปลว่า P(n+1) ก็เป็นจริง แล้ว P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
เช่น
เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป 2n + 1 เป็นจำนวนคี่ :
(1) สำหรับ n = 1 ; 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นP(1)เป็นจริง
(2) 2n + 1 สำหรับ n ; 2(n+1) + 1 = (2n+1)+ 2 ถ้า 2n + 1เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n+1) + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก2กับจำนวนคี่ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นP(n+1)เป็นจริงถ้าP(n)เป็นจริง
ดังนั้น 2n + 1เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n
ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า "proof by induction" หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า "proof by mathematical induction"