04. การใช้ ICT ในการเสริมสร้างความรู้ ความสามารถทางคณิตศาสตร์

วันที่โพสต์: Jun 05, 2014 6:45:46 AM

การใช้ ICT ในการเสริมสร้างความรู้ ความสามารถทางคณิตศาสตร์

โดย ดร. ไพจิตร สดวกการ มิถุนายน 2553

การสร้างความรู้ทางคณิตศาสตร์

คนทั่วไปเรียนรู้คณิตศาสตร์จากธรรมชาติแล้วสรุปเป็นทฤษฎีและกฎด้วยสหัชญาณ (intuition) มากกว่าด้วยการพิสูจน์ (proof) แต่ทฤษฎีและกฎที่ได้มาด้วยสหัชญาณมักจะเป็นข้อความที่สับสนไม่เป็นระเบียบ ยากแก่การจาและนาไปใช้ ผู้ค้นพบจึงพยายามจัดและทาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยหวนกลับไปสร้างสัจพจน์ที่จาเป็น แล้วสร้างทฤษฎีขึ้นมาจากสัจพจน์เหล่านั้นโดยการนิรนัยเชิงตรรกวิทยา และมีคณิตศาสตร์ใหม่หลายแขนงที่นักคณิตศาสตร์พัฒนาขึ้นมาจากระบบของสัจพจน์อย่างสมเหตุสมผลตามหลักตรรกวิทยา โดยไม่ได้เป็นการบรรยายสิ่งใด ๆ ในธรรมชาติเลย คณิตศาสตร์จึงพัฒนามาในวิถีทางดังที่แสดงไว้ในแผนภาพข้างล่างนี้

โครงสร้างแสดงการได้มาซึ่งความรู้ทางคณิตศาสตร์

(Allendoerfer, and Oakley, 1969)

การสร้างความรู้ทางคณิตศาสตร์ในลักษณะดังกล่าวนี้เป็นกระบวนการอุปนัยและนิรนัยตัวอย่างการจัดการเรียนการสอนที่สอดคล้องกับธรรมชาติการสร้างความรู้ทางคณิตศาสตร์ เช่น

- การจัดกิจกรรมไตร่ตรอง (reflective activities)

- การใช้วิธีการแบบเปิด (open-approach)

- การแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่ยืดหยุ่น (flexible problem solving)

การจัดกิจกรรมไตร่ตรอง (Reflective Activities)

การไตร่ตรอง (reflection) หมายถึง การตรวจสอบและปรับเปลี่ยนสมมติฐานต่าง ๆ ที่บุคคลเสนอเพื่อคลี่คลายสถานการณ์ที่เป็นปัญหาอย่างพินิจพิเคราะห์ด้วยเหตุผลหรือเหตุการณ์ที่ทดสอบได้ โดยอาศัยประสบการณ์เดิม โครงสร้างทางปัญญาที่มีอยู่ แรงจูงใจภายใน และการแลกเปลี่ยนทางสังคมเป็นเครื่องมือ จนได้สมมติฐานที่สามารถขจัดความขัดแย้งทางปัญญาระหว่างบุคคล ภายในตนเองระหว่างสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกัน และระหว่างความเชื่อกับผลจากการทดสอบในเชิงประจักษ์ สมมติฐานดังกล่าวคือโครงสร้างทางปัญญาที่รายบุคคลและกลุ่มได้ร่วมกันสร้างขึ้นเป็นความรู้ใหม่อย่างต่อเนื่อง (Dewey, 1933; Hullfish and Smith, 1961;Piaget, 1965; Bigge, 1982; Konold, 1991; ไพจิตร สดวกการ, 2539) โคโนลด์ (Konold, 1991) เสนอแนะให้ครูจัดกิจกรรมการเรียนการสอนที่ให้นักเรียนได้ดาเนินกระบวนการไตร่ตรองโดยการอภิปรายถึงความเชื่อของตนเกี่ยวกับสถานการณ์เฉพาะอย่างหนึ่ง เพื่อกระตุ้นให้นักเรียนประเมินหรือตรวจสอบความเชื่อของตนตามเกณฑ์ต่อไปนี้

เกณฑ์ที่ 1 ความสอดคล้องระหว่างความเชื่อของตนเองกับความเชื่อของผู้อื่นในเรื่องเดียวกัน

เกณฑ์ที่ 2 ความสอดคล้องภายในความเชื่อของตนเอง ระหว่างสถานการณ์เฉพาะ ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกัน หรือมีเงื่อนไขทานองเดียวกัน

เกณฑ์ที่ 3 ความสอดคล้องระหว่างความเชื่อกับผลจากการสังเกตในเชิงประจักษ์

ในกระบวนการของการพยายามแสดงความน่าเชื่อของความเชื่อหรือความคิดของตนต่อกันและกันนั้น นักเรียนจะสารวจลึกลงไปในความเชื่อของตนเองถึงสถานการณ์อื่นที่เกี่ยวข้องหรือที่มีเงื่อนไขทานองเดียวกันกับสถานการณ์ที่กาลังอภิปราย และทาการสังเกตให้ประจักษ์ การสารวจนี้สามารถนานักเรียนไปสู่การค้นพบความไม่สอดคล้องภายในความเชื่อของตนเองหรือพบความขัดแย้งระหว่างความเชื่อกับการสังเกตในเชิงประจักษ์ได้

การเรียนรู้ในลักษณะนี้อยู่บนพื้นฐานของวิธีการทางวิทยาศาสตร์ (scientific approach) และในกระบวนการของการไตร่ตรองนั้น จะมีการทดลองและตรวจสอบความคิดหรือทางเลือกหลายทาง แล้วเลือกเก็บความคิดที่ดีที่สุดไว้ กระบวนการดังกล่าวนี้ ทาให้ความคิดและความเข้าใจของบุคคลเจริญงอกงามขึ้น (Bigge, 1982)

ไพจิตร สดวกการ (2538) ได้พัฒนากระบวนการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ โดยใช้การไตร่ตรองเป็นกิจกรรมหลักตามแนวคิดทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์ (constructivist theory) ซึ่งภายหลังมีการตั้งชื่อทฤษฎีนี้เป็นภาษาไทยว่า “สรรคนิยม”

ทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์ หรือ สรรคนิยม มีสาระสาคัญดังนี้

1. การเรียนรู้คือการสร้างโครงสร้างทางปัญญา ที่สามารถคลี่คลายสถานการณ์ที่เป็นปัญหาและใช้เป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหาหรืออธิบายสถานการณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องได้

2. นักเรียนเป็นผู้สร้างความรู้ด้วยวิธีที่ต่าง ๆ กัน โดยอาศัยประสบการณ์เดิม โครงสร้างทางปัญญาที่มีอยู่ ความสนใจ และแรงจูงใจภายในตนเองเป็นจุดเริ่มต้น

3. ครูมีหน้าที่จัดการให้นักเรียนได้ปรับขยายโครงสร้างทางปัญญาของนักเรียนเองภายใต้สมมติฐาน (assumption) ต่อไปนี้

3.1 สถานการณ์ที่เป็นปัญหา และปฏิสัมพันธ์ทางสังคมก่อให้เกิดความขัดแย้งทางปัญญา

3.2 ความขัดแย้งทางปัญญาเป็นแรงจูงใจให้เกิดกิจกรรมไตร่ตรอง เพื่อขจัดความขัดแย้งนั้น

3.3 การไตร่ตรองบนฐานแห่งประสบการณ์และโครงสร้างทางปัญญาที่มีอยู่ และการมีปฏิสัมพันธ์ทางสังคม กระตุ้นให้มีการสร้างโครงสร้างใหม่ทางปัญญา

วงจรการสร้างความรู้ตามแนวคิดทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์

กระบวนการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ที่ ไพจิตร สดวกการ พัฒนาขึ้นบนพื้นฐานวงจรการสร้างความรู้ตามแนวคิดทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์ ประกอบด้วยขั้นตอนใหญ่ ๆ 3 ขั้นตอน และรายละเอียดในแต่ละขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 สร้างความขัดแย้งทางปัญญา

1.1 ครูเสนอปัญหา A ให้นักเรียนคิดแก้ปัญหาเป็นรายบุคคล โดยที่ปัญหา A เป็นปัญหาที่มีความยากในระดับที่นักเรียนต้องปรับโครงสร้างทางปัญญาที่มีอยู่เดิม หรือต้องสร้างโครงสร้างทางปัญญาขึ้นใหม่ จึงจะสามารถแก้ปัญหาได้

1.2 จัดนักเรียนเข้ากลุ่มย่อย กลุ่มละ 4-6 คน นักเรียนแต่ละคนเสนอคาตอบและวิธีหาคาตอบของปัญหา A ต่อกลุ่มของตน

ขั้นตอนที่ 2 ดำเนินกิจกรรมไตร่ตรอง

2.1 นักเรียนในกลุ่มย่อยตรวจสอบคาตอบและวิธีหาคาตอบของสมาชิกในกลุ่ม โดยดาเนินการดังนี้

2.1.1 กลุ่มตรวจสอบคาตอบปัญหา A ของสมาชิกแต่ละคนตามเงื่อนไขที่โจทย์กาหนด อภิปราย ซักถามเหตุผลและที่มาของวิธีหาคาตอบ

2.1.2 สมาชิกกลุ่มช่วยกันสร้างสถานการณ์ตัวอย่าง B ที่ง่ายต่อการหาคาตอบในเชิงประจักษ์ แต่มีโครงสร้างความสัมพันธ์เหมือนกับปัญหา A ตามกฎการสร้างการอุปมาอุปไมย ดังนี้

ก. ไม่ต้องพิจารณาลักษณะ (attribute) ของสิ่งเฉพาะแต่ละสิ่งในสถานการณ์ปัญหา A

ข. หาความสัมพันธ์ระดับต่า (lower order relations) ระหว่างสิ่งเฉพาะแต่ละสิ่งในสถานการณ์ปัญหา A

ค. หาความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ระดับต่าและความสัมพันธ์ระดับสูง (higher order relations) ซึ่งเป็นระบบความสัมพันธ์ (systematicity) หรือโครงสร้างความสัมพันธ์ (relational structure) แล้วถ่ายโยงโครงสร้างความสัมพันธ์นี้ไปสร้างสถานการณ์ตัวอย่าง B ที่มีสิ่งเฉพาะแตกต่างกับสถานการณ์ปัญหา A

2.1.3 หาคาตอบของสถานการณ์ตัวอย่าง B ในเชิงประจักษ์

2.1.4 นาวิธีหาคาตอบของปัญหา A มาใช้กับปัญหา B ว่าจะได้คาตอบตรงกับคาตอบของปัญหา B ที่หาได้ในเชิงประจักษ์หรือไม่ ถ้าคาตอบที่ได้ไม่ตรงกัน ต้องทาการปรับเปลี่ยนวิธีหาคาตอบใหม่ จนกว่าจะได้วิธีหาคาตอบที่ใช้กับปัญหา B แล้วได้คาตอบสอดคล้องกับคาตอบที่หาได้ในเชิงประจักษ์ ซึ่งอาจมีมากกว่า 1 วิธี

2.1.5 นาวิธีหาคาตอบที่ใช้กับปัญหา B แล้วได้คาตอบสอดคล้องกับคาตอบที่หาได้ในเชิงประจักษ์ ไปใช้กับปัญหา A กลุ่มช่วยกันทาให้สมาชิกทุกคนในกลุ่มเข้าใจการหาคาตอบของปัญหา A ด้วยวิธีดังกล่าว ซึ่งอาจมีมากกว่า 1 วิธี

2.1.6 กลุ่มทาการตกลงเลือกวิธีหาคาตอบที่ดีที่สุดตามความเห็นของกลุ่มและช่วยกันทาให้สมาชิกของกลุ่มทุกคนมีความพร้อมที่จะเป็นตัวแทนในการนาเสนอและตอบข้อซักถามเกี่ยวกับวิธีหาคาตอบดังกล่าวต่อกลุ่มใหญ่ได้

2.2 สุ่มตัวแทนกลุ่มย่อยแต่ละกลุ่มมาเสนอวิธีหาคาตอบของปัญหา A ต่อกลุ่มใหญ่ กลุ่มอื่น ๆ เสนอตัวอย่างค้าน (counter example) หรือหาเหตุผลมาค้านวิธีหาคาตอบที่ยังค้านได้ ถ้าไม่มีนักเรียนกลุ่มใดสามารถเสนอตัวอย่างค้านหรือเหตุผลมาค้านวิธีหาคาตอบที่ยังค้านได้ ครูจึงจะเป็นผู้เสนอเอง วิธีที่ถูกค้านจะตกไป ส่วนวิธีที่ไม่ถูกค้านจะเป็นที่ยอมรับของกลุ่มใหญ่ว่าสามารถใช้เป็นเครื่องมือในการหาคาตอบของปัญหาใด ๆ ที่อยู่ในกรอบของโครงสร้างความสัมพันธ์เดียวกันนั้นได้ ตลอดช่วงเวลาที่ยังไม่มีผู้ใดสามารถหาหลักฐานมาค้านได้ ซึ่งอาจมีมากกว่า 1 วิธี

2.3 ครูเสนอวิธีหาคาตอบของปัญหา A ที่ครูเตรียมไว้ต่อกลุ่มใหญ่ เมื่อพบว่าไม่มีกลุ่มใดเสนอในแบบที่ตรงกับวิธีที่ครูเตรียมไว้ ถ้ามีครูก็ไม่ต้องเสนอ

2.4 นักเรียนแต่ละคนสร้างปัญหา C ซึ่งมีโครงสร้างความสัมพันธ์เหมือนกับปัญหา A ตามกฎการสร้างการอุปมาอุปไมยดังกล่าวแล้ว และเลือกวิธีหาคาตอบจากวิธีซึ่งเป็นที่ยอมรับของกลุ่มใหญ่แล้ว มาหาคาตอบของปัญหา C

2.5 นักเรียนแต่ละคนเขียนโจทย์ของปัญหา C ที่ตนสร้างขึ้นลงในแผ่นกระดาษพร้อมชื่อผู้สร้างปัญหา ส่งครู ครูนาแผ่นโจทย์ปัญหาของนักเรียนมาคละกัน แล้วแจกให้นักเรียนทั้งห้องคนละ 1 แผ่น

2.6 นักเรียนทุกคนหาคาตอบของปัญหาที่ได้รับแจกด้วยวิธีหาคาตอบที่เลือกมาจากวิธีที่เป็นที่ยอมรับของกลุ่มใหญ่แล้ว ตรวจสอบคาตอบกับเจ้าของปัญหา ถ้าคาตอบขัดแย้งกัน ผู้แก้ปัญหาและเจ้าของปัญหาจะต้องช่วยกันค้นหาจุดที่เป็นต้นเหตุแห่งความขัดแย้ง และช่วยกันขจัดความขัดแย้งนั้น เช่น อาจจะแก้ไขโจทย์ให้รัดกุมขึ้น ให้สมเหตุสมผล หรือแก้ไขวิธีคานวณ และซักถามกันจนเกิดความเข้าใจทั้งสองฝ่ายแล้วจึงนาปัญหา C และวิธีหาคาตอบทั้งก่อนการแก้ไขและหลังการแก้ไขของทั้งผู้สร้างปัญหาและผู้แก้ปัญหาส่งครู ครูจะเข้าร่วมการตรวจสอบเฉพาะในผู้ที่ไม่สามารถขจัดความขัดแย้งได้เอง

ขั้นตอนที่ 3 สรุปผลการสร้างโครงสร้างใหม่ทางปัญญา

ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปมโนทัศน์ กระบวนการคิดคานวณ หรือกระบวนการแก้โจทย์ปัญหาที่นักเรียนได้ช่วยกันสร้างขึ้นจากกิจกรรมในขั้นตอนที่ 2 ให้นักเรียนบันทึกข้อสรุปไว้ผลที่นักเรียนได้รับจากการเรียนตามกระบวนการนี้ นักเรียนมีความเข้าใจมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่ตนและกลุ่มเพื่อนได้ร่วมกันคิด และได้พัฒนาทักษะกระบวนการที่สาคัญ ๆ ทางคณิตศาสตร์หลายประการ อาทิ กระบวนการคิดคานวณ กระบวนการแก้ปัญหา กระบวนการนิรนัย-อุปนัย เป็นต้น

การใช้วิธีการแบบเปิด (Open-Approach)

การใช้วิธีการแบบเปิด (Open-Approach) ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ของญี่ปุ่น มีจุดมุ่งหมายให้นักเรียนแต่ละคนได้เรียนรู้คณิตศาสตร์ในแบบที่ตอบสนองพลังความสามารถทางคณิตศาสตร์ของตนเอง และสามารถปรับคุณภาพของกระบวนการคิดและผลที่ได้จากการคิดสู่องค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ กล่าวอีกอย่างหนึ่งคือ ครูที่จัดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการแบบเปิดจาเป็นต้องพยายามทาความเข้าใจความคิดที่หลากหลายของนักเรียนให้มากเท่าที่จะทาได้ โดยการให้นักเรียนพูด อธิบายความคิดของตนกับเพื่อนหรือกับครู และกระตุ้นให้นักเรียนควบคุมตนเองให้พูดและทาอย่างเป็นคณิตศาสตร์ด้วย

การใช้วิธีการแบบเปิดมีสมมติฐานอยู่บนหลักการ 3 ข้อ ได้แก่

1. ความเป็นอิสระในการทากิจกรรม ครูที่ใช้วิธีการแบบเปิดมีความคาดหวังว่า นักเรียนสามารถเรียนรู้ได้จากการมีอิสระในการทากิจกรรมด้วยตนเอง

2. วิวัฒนาการและธรรมชาติของการบูรณาการความรู้ทางคณิตศาสตร์ เนื้อหาคณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นนามธรรมและเป็นระบบ เนื้อหาที่มีความเป็นนามธรรมสูงจะเป็นความรู้ที่อยู่ในรูปทั่วไปซึ่งนาไปใช้ในสถานการณ์ปัญหาต่าง ๆ ได้มากมาย การเรียนเนื้อหาคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นจึงต้องมีการย้อนไตร่ตรอง (reflection) ถึงความรู้เบื้องต้นที่เป็นพื้นฐานเสมอ

3. ความสามารถในการตัดสินใจของครู ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ครูมักเผชิญกับความคิดของนักเรียนที่ครูคาดไม่ถึงมาก่อน บทบาทสาคัญของครูคือต้องให้นักเรียนได้แสดงความคิดออกมาอย่างสมบูรณ์ และต้องช่วยให้นักเรียนคนอื่น ๆ เข้าใจความคิดนั้นด้วย

โดยทั่วไป การสอนคณิตศาสตร์ด้วยวิธีการแบบเปิดประกอบด้วยสถานการณ์ 3 สถานการณ์ ได้แก่ สถานการณ์ A ครูกาหนดสถานการณ์หรือปัญหาเริ่มต้น ให้นักเรียนพยายามทาให้อยู่ในรูปปัญหาเชิงคณิตศาสตร์ ตามประสบการณ์และความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน สถานการณ์ B นักเรียนหาคาตอบตามประสบการณ์พื้นฐานของตนเอง แล้วครูนานักเรียนอภิปรายหาความสัมพันธ์ระหว่างคาตอบหลากหลายที่นักเรียนเสนอมา และเชื่อมโยงคาตอบที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันให้นักเรียนเห็นความเหมือนในความต่าง หรือลักษณะร่วม สถานการณ์ C ให้นักเรียนพยายามตั้งปัญหาใหม่ซึ่งเป็นปัญหาที่มีความเป็นนัยทั่วไปยิ่งขึ้น โดยใช้กิจกรรมในสถานการณ์ B เป็นประสบการณ์พื้นฐานในการแก้ปัญหา และนาไปสู่คาตอบที่อยู่ในรูปทั่วไปยิ่งขึ้น (เช่น สรุปเป็นสูตร หรือทฤษฎี เป็นต้น) ซึ่งสอดคล้องกับกิจกรรมไตร่ตรองในกระบวนการเรียนการสอนที่ ไพจิตร สดวกการ พัฒนาขึ้นในปีการศึกษา 2534 – 2538

การแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่ยืดหยุ่น (Flexible Problem Solving)

ในชีวิตประจาวัน เราเผชิญกับปัญหาใหม่อยู่เสมอ เมื่อเผชิญกับปัญหาที่ซ้า ๆ กัน เรามักจะได้พัฒนาขั้นตอนสาหรับแก้ปัญหานั้นขึ้น จนเกิดวิธีการที่ยืดหยุ่นอย่างเป็นนามธรรมพอที่จะนาไปปรับใช้กับปัญหาอื่น ๆ ได้อีกหลายปัญหา การทาความเข้าใจว่า ผู้คนสร้างความรู้ที่ยืดหยุ่น เป็นนามธรรม (อยู่ในรูปทั่วไป) ขึ้นมาได้อย่างไร จึงเป็นสิ่งสาคัญยิ่งสาหรับการสร้างความเข้าใจในเรื่องการเรียนรู้ การพัฒนา และการออกแบบสภาพแวดล้อมทางการเรียนเพื่อส่งเสริมความสามารถที่ยืดหยุ่น (flexibility)

โดยทั่วไป เราเรียนรู้ขั้นตอน วิธีดาเนินการ จากการแก้ปัญหาด้วยตนเอง หรือรับจากการป้อนให้ของผู้อื่น การเรียนรู้จากการป้อนให้โดยตรงอาจจะทาให้ผู้เรียนไม่สามารถถ่ายโยงสิ่งที่เรียนรู้ไปใช้กับปัญหาใหม่ที่ไม่คุ้นเคย

กลไกสาคัญอันหนึ่งที่ส่งผลต่อการเรียนรู้ขั้นตอน วิธีการ และความยืดหยุ่นในการนาไปใช้ คือ การอธิบายของผู้เรียน (self – explaining) ผู้เรียนที่ประสบความสาเร็จมักจะพยายามสร้างคาอธิบายในขณะที่ศึกษาตัวอย่างที่มีผลต่อการแก้ปัญหา คาอธิบายเหล่านี้มีการระบุช่องว่างของความเข้าใจและความเชื่อมโยงกับตัวอย่างก่อน ๆ หรือกับบทเรียนก่อน ๆ ในตารา (Chi, Bassok, Lewis, Reimann, & Glaser, 1989) ผลจากงานวิจัย พบว่า ผู้เรียนตั้งแต่วัย 5 ขวบ ถึงวัยผู้ใหญ่สามารถเรียนรู้ได้มากขึ้นถ้าได้รับการกระตุ้นให้สร้างคาอธิบายของตนเอง (Aleven & Koedinger, 2002; Bielaczyc, Pirolli, & Brown, 1995; Chi, de Leeuw, Chiu, & LaVancher, 1994)

ผู้เรียนแต่ละคนต่างมีความรู้นอกระบบที่สร้างขึ้นเองในชีวิตประจาวันมากบ้างน้อยบ้าง ซึ่งอาจจะไม่ใช่ความรู้ที่ถูกต้องเสมอไป เช่นเดียวกับผลจากงานวิจัยจานวนมากที่พบว่า ความรู้ความเข้าใจเดิมของนักเรียนเป็นสิ่งที่เปลี่ยนแปลงยาก แม้ว่าจะได้รับการสอนแบบป้อนให้โดยตรงจากการเรียนในระบบแล้วก็ตาม ถ้าความรู้ใหม่ที่ป้อนให้นั้นไม่เข้ากับความรู้เดิมของผู้เรียน คือเกิดช่องว่างระหว่างความเข้าใจ การกระตุ้นให้ผู้เรียนอธิบายทั้งความรู้ ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนนอกระบบของตน และความรู้ ความเข้าใจที่ถูกต้องในระบบ เป็นกลไกสาคัญในการช่วยแก้ไขความรู้ ความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนของผู้เรียน และส่งเสริมความสามารถในการถ่ายโยง ทาให้มีความยืดหยุ่นในการแก้ปัญหา และการกระตุ้นให้ผู้เรียนอธิบายความคิดของตนเองยังอาจช่วยให้ผู้เรียนค้นพบและสรุปวิธีดาเนินการที่ถูกต้องได้เองในกรณีที่ยังไม่ได้รับการสอนแบบป้อนให้โดยตรงอีกด้วย (Siegler, 2002)

การแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่ยืดหยุ่น ประกอบด้วยการเลือกวิธีการอย่างไม่ยึดติด และการปรับวิธีการให้เข้ากับปัญหา ซึ่งขึ้นอยู่กับปัญหาและจุดมุ่งหมายของการแก้ปัญหานั้น ๆ Teije และ van Harmelen (1995) ได้วิจัยพบว่า สามารถนาเทคนิคการไตร่ตรอง (Reflection Techniques) มาใช้ในการวินิจฉัยวิธีการแก้ปัญหาอย่างยืดหยุ่นได้

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ได้กำหนดสาระหลักที่จำเป็นสาหรับผู้เรียนทุกคน ดังนี้

สาระที่ ๑ จานวนและการดาเนินการ

สาระที่ ๒ การวัด

สาระที่ ๓ เรขาคณิต

สาระที่ ๔ พีชคณิต

สาระที่ ๕ การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น

สาระที่ ๖ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ในสาระที่ ๖ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์นั้น ได้กาหนดมาตรฐานไว้ ดังนี้

มาตรฐาน ค ๖.๑ มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่ม สร้างสรรค์

จะเห็นได้ว่า สาระที่ ๖ เป็นทักษะและกระบวนการที่ต้องใช้ในการเรียนรู้สาระอื่น ๆ ทุกสาระ ดังนั้น ในการจัดการเรียนการสอน จึงต้องจัดให้ผู้เรียนเรียนรู้สาระที่ ๑ – ๕ ด้วยทักษะและกระบวนการในสาระที่ ๖

โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

จากการสารวจซอฟต์แวร์ที่ใช้ในการสร้างความรู้ ความเข้าใจคณิตศาสตร์ พบว่าปัจจุบัน มีผู้พัฒนาซอฟต์แวร์ที่มีลักษณะเป็นเครื่องมืออานวยความสะดวกต่อการสร้างรูปเรขาคณิตต่าง ๆ ซึ่งวัดค่าและแสดงผลการคานวณที่เกี่ยวข้องกับรูปได้และแปรค่าได้ตามรูปที่เปลี่ยนไป โดยผู้ใช้ไม่จาเป็นต้องมีความรู้ทางภาษาที่ใช้ในการเขียนโปรแกรม ซึ่งจะช่วยให้นักเรียนเกิดความรู้ความเข้าใจได้ง่ายและรวดเร็วขึ้น เช่น โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) ซึ่งเป็นซอฟต์แวร์ที่พัฒนาขึ้นเมื่อ ค.ศ. 1991 โดย นิโคลัส แจคคิว (Nicholas Jackiw) ในโครงการพัฒนาเรขาคณิตที่มองเห็นได้ (Visual Geometry Project) ของมูลนิธิวิทยาศาสตร์แห่งชาติ (National Science Foundation: NSF) และพัฒนามาโดยลาดับด้วยเงินทุนสนับสนุนของ NSF ในการพัฒนาซอฟต์แวร์ และบริษัท Key Curriculum Press ในการจัดพิมพ์สื่อสิ่งพิมพ์ที่สนับสนุนการใช้ซอฟต์แวร์นี้ ทาให้มีการใช้ซอฟต์แวร์นี้อย่างแพร่หลายในหลายประเทศ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) ได้ซื้อลิขสิทธิ์ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จากบริษัท Key-Curriculum Press และแปลเป็นภาษาไทย จากการศึกษาลักษณะการใช้งานของโปรแกรม พบว่า โปรแกรมนี้ช่วยสร้างรูปเรขาคณิตได้อย่างรวดเร็ว สวยงาม และช่วยผู้เรียนในการสร้างและสารวจเพื่อสร้างความรู้ ความเข้าใจได้หลากหลายวิธี ตั้งแต่อย่างง่ายไปจนถึงซับซ้อนในเวลาอันจากัด เนื่องจากโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เป็นซอฟต์แวร์ที่พัฒนาขึ้นเพื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์โดยเฉพาะรูปที่สร้างด้วยโปรแกรมนี้ สามารถทาให้เคลื่อนไหวและเปลี่ยนแปลงขนาดได้โดยยังคงรักษาสมบัติทางคณิตศาสตร์ไว้เสมอ ขณะที่ทาให้รูปมีการเปลี่ยนแปลง ความสัมพันธ์ที่กาหนดไว้ในขั้นตอนการสร้างจะยังคงมีอยู่เสมอ ส่วนสมบัติบางอย่างที่เปลี่ยนแปลงได้จะเป็นสมบัติที่ไม่ได้กาหนดไว้ในขั้นตอนการสร้างอย่างแท้จริง รูปที่เปลี่ยนแปลงไปจะทาให้สามารถสารวจผลที่เป็นไปได้หลาย ๆ กรณี ตามเงื่อนไขของการสร้าง

ขอบเขตการใช้งานของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ขึ้นอยู่กับจินตนาการของผู้ใช้ ที่สามารถนาไปใช้งานได้ (ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี และ Key Curriculum Press, 2001) เช่น

1) การสำรวจและการเรียนการสอนทฤษฎีบททางเรขาคณิต สามารถใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สร้างแบบจาลองทฤษฎีบทที่ยาก ๆ หรือการเรียนการสอนเรื่องยากในชั้นเรียน

2) การนาเสนอในห้องเรียน แบบร่างที่ออกแบบด้วยโปรแกรม TheGeometer’s Sketchpad เพื่อนาเสนอหรือเผยแพร่ไปยังกลุ่มบุคคลต่าง ๆ เช่น นักเรียน เพื่อนร่วมชั้น หรือครู จะมีภาพกราฟิกที่สวยงาม เคลื่อนไหวได้ มีปุ่มแสดงการทำงานต่าง ๆ และมีเนื้อหาได้หลายหน้า ครูสามารถใช้โปรแกรมนี้เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้การเรียนการสอนมีประสิทธิภาพ ถึงแม้ว่าจะไม่สามารถสอนในห้องปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ได้ทุกวัน แต่ก็สามารถนางานมาสาธิตในห้องเรียนที่มีคอมพิวเตอร์เพียงเครื่องเดียว พร้อมเครื่องฉาย LCDได้ นอกจากนี้ นักเรียนยังสามารถนางานที่สร้างในแบบร่างมาเสนอในชั้นเรียนหรือทำรายงานตลอดจนทาแฟ้มผลงานได้

3) การศึกษารูปต่าง ๆ จากหนังสือเรียน เมื่อใช้โปรแกรมจนชำนาญแล้วจะพบว่า ในการสร้างรูปต่าง ๆ บนจอคอมพิวเตอร์จะใช้เวลาน้อย นอกจากนั้นยังสามารถทำให้รูปเคลื่อนไหวได้ และสำรวจการเปลี่ยนแปลงได้ ดังนั้น จึงสามารถใช้โปรแกรมสร้างและศึกษารูปในหนังสือเรียนในการทาการบ้านของนักเรียน และในการเตรียมการสอนของครูได้

4) การนาโปรแกรมนี้ไปใช้ในสาระต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ เช่น ในสาระพีชคณิต สามารถใช้โปรแกรมนี้สารวจความชันและสมการของเส้นตรง สารวจสมบัติของพาราโบลาและสาระสาคัญอีกหลายสาระ เช่น นักเรียนและครูสามารถสารวจการเปลี่ยนแปลงของกราฟด้วยการใช้คาสั่งต่าง ๆ จากเมนูกราฟ สารวจความเกี่ยวข้องระหว่างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและฟังก์ชันตรีโกณมิติ สารวจอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้วยการสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้ง และใช้คาสั่งอนุพันธ์ หรือสารวจปริพันธ์โดยการสร้างพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

5) การสร้างแฟร็กทัล แฟร็กทัล เป็นรูปเรขาคณิตที่สวยงามสะดุดตา ซึ่งพบเห็นได้ในธรรมชาติ และเป็นรากฐานที่สาคัญของโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟิกหลาย ๆโปรแกรม แฟร็กทัลเป็นรูปเรขาคณิตที่คล้ายกับรูปเดิมของมันเอง จะดูเหมือนกันเสมอไม่ว่าจะขยายในมุมมองใด การสร้างแฟร็กทัลเริ่มจากการสร้างรูปง่าย ๆ แล้วทาซ้ารูปเดิมแต่ให้มีขนาดเล็กลง ๆ โดยใช้คาสั่งทาซ้าในโปรแกรมนี้

6) การวาดภาพที่ได้สัดส่วนเสมือนจริง และรูปศิลปะทางเรขาคณิตแบบต่าง ๆ สามารถใช้โปรแกรมนี้ออกแบบบัตรอวยพร หรือออกแบบพื้นหลังของงานที่นำเสนอให้ได้ภาพที่สวยงามไม่ซ้าแบบใคร โดยใช้คำสั่งในเมนูการแปลงของโปรแกรมนี้รวมกับคำสั่งจากเมนูแสดงผลและอื่น ๆ ก็จะช่วยให้สร้างภาพได้อย่างวิจิตร งดงาม น่าตื่นตาตื่นใจจากการพิจารณาสมบัติของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และขอบเขตการใช้งานดังกล่าวข้างต้น โปรแกรมนี้น่าจะเป็นซอฟต์แวร์ที่ครูคณิตศาสตร์เรียนรู้ได้ไม่ยากและน่าจะนาไปใช้ในการจัดการเรียนการสอนในห้องปฏิบัติการหรือห้องเรียนคณิตศาสตร์ได้เพื่อให้นักเรียนได้เรียนรู้สาระคณิตศาสตร์ตามมาตรฐานการเรียนรู้ของหลักสูตร และพัฒนานักเรียนให้มีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง ซึ่งจะช่วยให้นักเรียนบรรลุทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ตามหลักสูตรได้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น

คณิตศาสตร์หรรษา ปัญหาเดียวกันสนุกได้หลายระดับชั้น

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แสนกล ที่ทุกคนสามารถสนุกได้ด้วยวิธีการที่ต่าง ๆ กัน การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่สนุกและ “ท้าทายความสามารถ” คือการแก้ปัญหาที่ผู้แก้ปัญหายังไม่รู้วิธีแก้มาก่อน หรือการแก้ปัญหาเดิมด้วยมโนทัศน์และวิธีการใหม่ ส่วนการแก้ปัญหาโดยใช้ขั้นตอนวิธีการเดิมที่เคยใช้แล้วถือว่าเป็นการฝึกทักษะเพื่อให้สามารถนาไปใช้ได้อย่างฉับไว ลองมาสนุกกับปัญหาต่อไปนี้ตามระดับความรู้ความเข้าใจและความสามารถในการแก้ปัญหาของแต่ละคน

ตัวอย่างปัญหา

แม่คนหนึ่งต้องการแบ่งที่ดินซึ่งมีด้านหนึ่งติดคลองให้ลูกโดยให้ลูกใช้เชือกยาว 100 เมตรไปล้อมที่ดินให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยด้านที่ติดคลองไม่ต้องใช้เชือก ลูกจะต้องใช้เชือกล้อมที่ดินให้มีขนาดกว้าง ยาว เท่าไร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด

วิเคราะห์ปัญหา

กำหนดให้ นาเชือกยาว 100 เมตร ไปล้อมที่ดินริมคลอง ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่มากที่สุด โดยใช้ เชือกเพียง 3 ด้าน เว้นด้านที่ติดคลอง

ต้องการหาว่า ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากตามเงื่อนไขที่กำหนดมีขนาดกว้าง ยาวเท่าไร

วิธีที่ 1 ใช้ได้ตั้งแต่ระดับชั้นประถมศึกษาเป็นต้นไป

“การวัดความยาวและการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก”

วิธีหาคำตอบ

1. หาพื้นที่โดยใช้สูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความยาวของด้านกว้าง x ความยาวของด้านยาว ให้ด้านที่ติดคลองเป็นด้านยาว จะได้พื้นที่มากกว่า เช่น

30 + 40 + 30 = 100 = 35 + 30 + 35 เมตร

แต่ 30 x 40 = 1200 ตารางเมตร มากกว่า 30 x 35 = 1050 ตารางเมตร

2. ทดลองหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากหลาย ๆ รูป ที่มีความยาวของด้านกว้างและด้านยาวต่าง ๆ กันและผลบวกของความยาวด้านกว้าง 2 ด้านกับด้านยาว 1 ด้าน เท่ากับ 100 เมตร แล้วนาความกว้าง ความยาว และพื้นที่ที่หาได้ของแต่ละรูปมา กรอกลงในตารางเพื่อเปรียบเทียบหาความกว้างและความยาวที่ให้พื้นที่มากที่สุด ดังตัวอย่างต่อไปนี้

(อาจวาดรูปโดยใช้มาตราส่วน 1 ซม. ต่อ 10 เมตร)

จากตัวอย่างในตารางจะเห็นว่า

เมื่อด้านกว้างมีความยาว 25 เมตร จะมีพื้นที่มากที่สุดคือ 1250 ตารางเมตร เมื่อด้านกว้างมีความยาวมากกว่า 25 เมตร หรือน้อยกว่า 25 เมตร จะมีพื้นที่น้อยลง ดังนั้น ใช้เชือกยาว 100 เมตร ล้อมที่ดินติดคลอง โดยล้อมเพียง 3 ด้าน ให้ได้ที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและมีพื้นที่มากที่สุด ต้องล้อมที่ดินให้มีขนาดกว้าง 25 เมตร ยาว 50 เมตร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด คือ 1250 ตารางเมตร

ตรวจสอบคำตอบตามเงื่อนไขที่กำหนด

ใช้เชือกเพียง 3 ด้าน ได้แก่ ด้านกว้าง 2 ด้าน และ ด้านยาว 1 ด้าน โดย ใช้ความยาวเชือกไปทั้งหมด 25 + 25 + 50 = 100 เมตร ตามกำหนด

หมายเหตุ

นักเรียนระดับประถมได้ มีโอกาสฝึกหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากจนเกิด ทักษะ จึงได้คาตอบของปัญหา ในกรณีที่เป็นการร่วมมือกันแก้ปัญหา ก็สามารถแบ่งให้ นักเรียนแต่ละคนช่วยกันหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดกว้าง ยาว ต่าง ๆ กันได้ทุกขนาดตามเงื่อนไขที่กำหนด ซึ่งจะทาให้เห็นจริงยิ่งขึ้นว่าไม่มีรูปใดมีพื้นที่มากกว่ารูปที่ พิจารณาเลือกมาเป็นคำตอบ

วิธีที่ 2 ใช้ความรู้ตั้งแต่ระดับประถมเป็นต้นไปและใช้ซอฟต์แวร์ เช่น ใช้โปรแกรม TheGeometer’s Sketchpad (GSP) เป็นเครื่องมือประกอบการแก้ปัญหา

วิธีหาคำตอบ

สร้างรูปด้วยโปรแกรมให้เอื้อต่อการหาคำตอบ ดังนี้

1. สร้างส่วนของเส้นตรง AE ยาว 10 ซม. แทนความยาวของเชือก 100 ม. (ใช้มาตราส่วน 1 ซม. : 10 เมตร) โดยกาหนดจุด A แล้วใช้เครื่องมือลูกศรเลือกจุด A เลือกเมนู “การแปลง” “เลื่อนขนาน” เลื่อนจุด A ไปทางขวามือ ให้ทำมุม 0 องศากับจุดเดิมและห่างจากจุดเดิม 10 ซม. แล้วใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด A และ จุด E เลือกเมนู “สร้าง” “ส่วนของเส้นตรง” เลือกเมนู “แสดงผล” “เส้น”“เส้นประ”

(การตั้งชื่อจุด ใช้เครื่องมือสร้างข้อความคลิกที่จุด 1 ครั้ง ถ้าชื่อที่โปรแกรมตั้งให้ ไม่เป็นที่ถูกใจ เปลี่ยนชื่อใหม่ได้โดยใช้เครื่องมือสร้างข้อความคลิกที่ชื่อเดิม 2 ครั้งจะมีหน้าต่างและช่องพิมพ์ป้ายชื่อให้พิมพ์ชื่อใหม่ได้ตามต้องการ)

2. สร้างจุด B บนส่วนของเส้นตรง AE โดยใช้เครื่องมือลูกศรเลือกส่วนของเส้นตรงAE เลือกเมนู “สร้าง” “จุดบนส่วนของเส้นตรง” ลากเมาส์ที่จุด B ตรวจสอบดูให้เลื่อนไปมาบนส่วนของเส้นตรง AB ได้

3. สร้างส่วนของเส้นตรง AB โดยใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด A และ จุด B แล้วเลือกเมนู “สร้าง” “ส่วนของเส้นตรง” เลือกเมนู “แสดงผล” “เส้น” “เส้นบาง” (หรือ“เส้นหนา”) ให้ส่วนของเส้นตรง AB เป็นด้านยาว ต้องคลิกเมาส์เพื่อยกเลิกการเลือกสิ่งอื่น ๆ ก่อนที่จะคลิกเลือกเฉพาะสิ่งที่ต้องการ

4. สร้างส่วนของเส้นตรง BE โดยใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด B และจุด E เลือกเมนู“สร้าง” “ส่วนของเส้นตรง” เลือกเมนู “แสดงผล” “เส้น” “เส้นประ” แล้วแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง BE ที่จุด F โดยคลิกที่ส่วนของเส้นตรง BE (ถ้าคลิกแล้วโดนส่วนของเส้นตรง AE ให้คลิกซ้าลงในที่เดิม 1 ครั้ง จะได้ส่วนของเส้นตรง BE)แล้วเลือกเมนู “สร้าง” “จุดกึ่งกลาง”ความยาวเชือก AE จะถูกแบ่งเป็น 3 ส่วน สาหรับใช้กับด้าน 3 ด้าน (เว้นด้านที่ติด

คลองไม่ต้องใช้เชือก) ได้แก่ ความยาว AB ความยาว BF และ ความยาว FE โดยมีความยาว BF = ความยาว FE

5. สร้างส่วนของเส้นตรง BC ให้มีความยาวเท่ากับความยาว BF และตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง AB ที่จุด B โดยใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด B และส่วนของเส้นตรงAB เลือกเมนู “สร้าง” “เส้นตั้งฉาก” เลือกเมนู “แสดงผล” “เส้น” “เส้นประ” ใช้ B เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากับความยาว BF เขียนวงกลมตัดเส้นตั้งฉากที่จุดC โดยใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด B และจุด F ตามลาดับ เลือกเมนู “สร้าง” “วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและจุดอื่น” แล้วใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่เส้นรอบวงและเส้นตั้งฉาก เลือกเมนู “สร้าง” “จุดตัด” ใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด Bและ จุด C เลือกเมนู “สร้าง” “ส่วนของเส้นตรง”

6. สร้างส่วนของเส้นตรง AD โดยใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด C และส่วนของเส้นตรง AB เลือกเมนู “สร้าง” “เส้นขนาน” แล้วใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่จุด Aและส่วนของเส้นตรง BC สร้างเส้นขนานด้วยวิธีเดียวกัน ให้เส้นทั้งสองตัดกันที่จุด D โดยใช้เครื่องมือลูกศรคลิกที่เส้นทั้งสอง เลือกเมนู “สร้าง” “จุดตัด” และสร้างส่วนของเส้นตรง AD

มาตราส่วน 1 ซม. : 10 ม.

7. วัดความยาวของด้านกว้าง ด้านยาวและคำนวณหาพื้นที่ โดยคลิกที่ด้าน BC เลือกเมนู “วัด” “ความยาว” และวัดความยาวของด้าน AB ด้วยวิธีการเดียวกัน จะปรากฏความยาวที่วัดได้ เช่น

หาพื้นที่ โดยเลือกเมนู “วัด” “คานวณ” จะปรากฏเครื่องคำนวณ คลิกที่ความยาว BC บนหน้าจอ ต่อด้วยเครื่องหมาย * บนเครื่องคำนวณ และคลิกที่ความยาวAB กดปุ่ม “ตกลง” บนเครื่องคำนวณ จะได้ผลคูณดังตัวอย่างนี้

8. เคลื่อนที่จุด B บนส่วนของเส้นตรง AE เพื่อหาพื้นที่ที่มากที่สุด โดยกดเมาส์ค้างที่จุด B ลากไปมาบนส่วนของเส้นตรง AE (หรือคลิกที่จุด B แล้วกดแป้นลูกศรชี้ซ้ายหรือลูกศรชี้ขวาที่คีย์บอร์ด) รูปสี่เหลี่ยม ABCD จะเปลี่ยนขนาด สังเกตตัวเลขบอกความกว้าง ความยาว และพื้นที่ ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามรูป หยุดการเคลื่อนที่จุด B ณ จุดที่ให้ค่าพื้นที่มากที่สุด ได้ความยาวของด้านกว้างเป็น 2.50 ซม. ความยาวของด้านยาวเป็น 5.00 ซม. พื้นที่ 12.50 ตาราง ซม. บางครั้งสเกลหน้าจอหรือการเคลื่อนที่ของจุดอาจจะไม่ละเอียดพอที่จะลงตรงตาแหน่งที่ได้ค่าที่แท้จริงพอดี

เช่น อาจได้ค่าความกว้าง ความยาว และ พื้นที่ ดังนี้

แต่เมื่อเคลื่อนจุด B ไปทางขวาอีกนิดเดียวเพื่อจะให้ความยาว AB เป็น 5.00 ซม. มันอาจจะกระโดดข้ามไปเป็น 5.02 ซม. โดยที่ความยาว CB ลดลงเป็น 2.49 ซม. จึงประมาณได้ว่า ถ้าความยาว AB เป็น 5.00 ซม. ความยาว CB จะเป็น 2.50 ซม.จึงจะได้พื้นที่เป็น 12.50 ตาราง ซม. พอดี

9. แปลงค่าความยาวและพื้นที่จากรูปเป็นความยาวจริง เนื่องจากรูปที่สร้างขึ้นนั้นใช้ มาตราส่วน 1 ซม. : 10 เมตร ดังนั้น จึงเป็นความกว้าง ความยาวและพื้นที่จริง ดังนี้

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ล้อมด้วยเชือกยาว 100 เมตร เพียง 3 ด้าน จะมีพื้นที่มากที่สุด เมื่อมีขนาดกว้าง 2.50 x 10 = 25 เมตร

ยาว 5 x 10 = 50 เมตร

และมีพื้นที่ 25 x 50 = 1250 ตารางเมตร

ตรวจสอบคำตอบตามเงื่อนไขที่กำหนด

ตรวจสอบดูว่าผลบวกของความยาวด้านทั้งสาม (เว้นด้านที่ติดคลอง) เท่ากับความยาวเชือกที่กาหนดหรือไม่ โดยเลือกเมนู “วัด” “คานวณ” คลิกที่ความยาว BC บนหน้าจอ เครื่องหมายบวกบนเครื่องคานวณ และคลิกที่ความยาว BC บนหน้าจออีกครั้งหนึ่ง ต่อด้วยเครื่องหมายบวกบนเครื่องคานวณ และคลิกที่ความยาว AB แล้วกดปุ่ม “ตกลง” จะได้

คิดเป็นความยาวจริง 100 เมตรเคลื่อนจุด B ไปมาบนส่วนของเส้นตรง AE ผลบวกความยาวสามด้านก็ยังคงเดิม

เสริมวิธีที่ 2 ด้วยความรู้เรื่องกราฟในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

“เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวข้องของปริมาณสองชุดบนระนาบพิกัดฉากได้”

วิธีหาคำตอบ

1. สร้างรูป หาคำตอบ และตรวจสอบตามเงื่อนไขเช่นเดียวกับวิธีที่ 1

2. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวข้องของความกว้างกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากจากรูปในข้อ 1 ดังนี้

2.1 เลือกเมนู “กราฟ” “รูปแบบกริด” “กริดสี่เหลี่ยมมุมฉาก”

2.2 คลิกที่จุดบอกระยะ 1 หน่วยบนแกน y กดแป้นลูกศรชี้ลงที่คีย์บอร์ดเลื่อนจุดบอกระยะ 1 หน่วยบนแกน y ลง จนได้ค่าบนแกน y ที่ปรากฏบนจอมากกว่า 12.50

2.3 ให้ค่าบนแกน x แทนความกว้าง และค่าบนแกน y แทนพื้น โดยใช้เครื่องมือสร้างข้อความพิมพ์ “ความกว้าง” วางไว้ที่แกน x และพิมพ์ “พื้นที่” วางไว้ที่แกน y

2.4 ใช้เครื่องมือลูกศรคลิกค่าความยาว BC และค่าพื้นที่บนหน้าจอ แล้วเลือกเมนู “กราฟ” “ลงจุดแบบ (x, y)” ตั้งชื่อจุดเป็น P คลิกที่จุด P เลือกเมนู “วัด” “พิกัด” ของจุด แล้วสร้างทางเดินของจุด P โดยคลิกที่จุด P และจุด B ตามลาดับ เลือกเมนู “สร้าง” “โลคัส” จะได้เซ็ตของจุดที่แสดงความเกี่ยวข้องของความกว้างและพื้นที่เรียงกันเป็นเส้นโค้ง ดังรูป

เมื่อเคลื่อนจุด B ไปมาบนส่วนของเส้นตรง AE จุด P ก็จะเคลื่อนที่ไปมาบนกราฟ และพิกัดของจุด P จะเปลี่ยนไปตามความกว้างและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากด้วย

วิธีที่ 3 ใช้ความรู้ในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

“หาคาตอบจากสมการกาลังสองที่สร้างขึ้นจากโจทย์ปัญหา และเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรในสมการได้”

วิธีหาคำตอบ

ด้านกว้าง 2 ด้าน กับ ด้านยาว 1 ด้าน ใช้เชือกรวม 100 เมตร

ให้ความยาวของด้านกว้างเป็น x เมตร

ดังนั้น ความยาวของด้านยาวเท่ากับ 100 – 2x เมตร

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความยาวของด้านกว้าง x ความยาวของด้านยาว

y = x (100 – 2x)

y = 100x - 2 x²

y = - 2 x² + 100x

จากรูปทั่วไปของสมการกาลังสอง y = a x² + bx + c

สมการ y = - 2x² + 100x มี a = -2, b = 100, c = 0

ดังนั้นกราฟของสมการเป็นรูปพาราโบลาเปิดล่าง มีจุดสูงสุดอยู่บนแกนสมมาตร

สมการของแกนสมมาตร คือ

แทนค่า x = 25 ในสมการ y = - 2x² + 100x

y = -2(25)² + 100(25)

y = -2(625) + 2500

y = -1250 + 2500

y = 1250

ดังนั้นจุดสูงสุดคือ จุด (25, 1250)

นั่นคือ ใช้เชือกยาว 100 เมตร ล้อมที่ดิน 3 ด้าน (เว้นด้านที่ติดคลอง) ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ได้พื้นที่มากที่สุด 1250 ตารางเมตร

เมื่อที่ดินมีขนาด กว้าง 25 เมตร ยาว 100 – 2x = 100 – 2(25) = 50 เมตร

เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านกว้างกับพื้นที่ได้ดังนี้

วิธีที่ 4 ใช้ความรู้ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

“หาคาตอบจากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากโจทย์ปัญหา และเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่า x ณ จุดใด ๆ บนกราฟของฟังก์ชัน กับ ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดนั้น ๆ ได้”

วิธีหาคำตอบ

ด้านกว้าง 2 ด้าน กับ ด้านยาว 1 ด้าน ใช้เชือกรวม 100 เมตร

ให้ความยาวของด้านกว้างเป็น x เมตร

ดังนั้น ความยาวของด้านยาวเท่ากับ 100 – 2x เมตร

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความยาวของด้านกว้าง x ความยาวของด้านยาว

y = x (100 – 2x)

y = 100x - 2x²

y = - 2x² + 100x

จากรูปทั่วไปของสมการ y = ax² + bx + c สมการ y = - 2x² + 100x มี a <0

ดังนั้นกราฟของสมการเป็นรูปพาราโบลาเปิดล่าง มีจุดสูงสุด ซึ่งมีความชันของเส้นสัมผัส ณ จุดสูงสุดเป็น 0 ดังรูป

หาอนุพันธ์ของ y = - 2x² + 100x

y’ = -4x + 100

เขียนกราฟของ y’ = -4x + 100 หรือ f’(x) = -4x + 100 ดังรูป

เมื่อ x แทนค่าความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

y’ แทนค่าความชันของเส้นโค้ง y = - 2 2 x + 100x ณ จุดที่มีค่า x ตรงกัน

จะเห็นว่า กราฟของ y’ ตัดแกน x ที่จุด (25,0)

แสดงว่า จุดสูงสุดของกราฟ y = - 2 2 x + 100x มีค่า x = 25 เพราะจุดนั้นมีความชัน เป็น 0

ดังนั้น ในการหาจุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = - 2 2 x + 100x

จึงให้ y’ = 0 หรือ -4x + 100 = 0

-4x = - 100

x = -4 / -100

x = 25

จะได้ จุดสูงสุดของสมการ y = - 2x² + 100x มีค่า x = 25

แทนค่า x = 25 ในสมการ y = - 2x² + 100x

y = -2 (25) 2 + 100(25)

y = -2(625) + 2500

y = -1250 + 2500

y = 1250

ดังนั้นจุดสูงสุดคือ จุด (25, 1250)

นั่นคือ ใช้เชือกยาว 100 เมตร ล้อมที่ดิน 3 ด้าน (เว้นด้านที่ติดคลอง) ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากได้พื้นที่มากที่สุด 1250 ตารางเมตร เมื่อล้อมที่ดินให้มีขนาดกว้าง 25 เมตรยาว 100 – 2x = 100 – 2(25) = 100 – 50 = 50 เมตร

หมายเหตุ วิธีที่ 3 และวิธีที่ 4 ตรวจสอบคาตอบตามเงื่อนไขได้เช่นเดียวกับวิธีที่ 1

ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เราพบว่านักเรียนที่เรียนในระดับชั้นเดียวกันก็มีความรู้ความเข้าใจแตกต่างกันหลายระดับ บางคนก็ยังคุ้นชินกับการนาวิธีการเดิมมาใช้ในการแก้ปัญหาใหม่ หากนักเรียนได้มีโอกาสแก้ปัญหาของระดับชั้นที่สูงกว่าบ้างด้วยความรู้และวิธีการในระดับชั้นที่เรียนอยู่ เมื่อนักเรียนไปเรียนในระดับชั้นที่สูงขึ้น ซึ่งต้องใช้ความรู้และวิธีการใหม่ในการแก้ปัญหาเดียวกันนี้ จะทาให้นักเรียนสามารถเชื่อมโยงความรู้ใหม่เข้ากับความรู้เดิมโดยมีปัญหาเดิมเป็นตัวกลางในการเชื่อมโยงให้เกิดความรู้ความเข้าใจอย่างลึกซึ้งทะลุถึงกันได้ศึกษาตัวอย่างสื่อที่สร้างด้วยโปรแกรม GSP และรายละเอียดวิธีสร้างได้จาก เว็บไซต์http://www.curric.net/center/math_center.htm หลักสูตรอบรมครูคณิตศาสตร์โรงเรียนในฝันปี 2549 ถึงปัจจุบัน

รายการอ้างอิง:

ทิศนา แขมมณี. (2550). ศาสตร์การสอน: องค์ความรู้เพื่อการจัดกระบวนการเรียนรู้ที่มีประสิทธิภาพ. กรุงเทพมหานคร: สานักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.

ไพจิตร สดวกการ. (2538). ผลของการสอนคณิตศาสตร์ตามแนวคิดของทฤษฏีคอนสตรัคติวิสต์ที่มีต่อผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนคณิตศาสตร์และความสามารถในการถ่ายโยงการเรียนรู้ของนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนต้น. วิทยานิพนธ์ปริญญาครุศาสตร์ดุษฎีบัณฑิต สาขาวิชาหลักสูตรและการสอน บัณฑิตวิทยาลัย จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย.

ไพจิตร สดวกการ. (2551). การอบรมเชิงปฏิบัติการการใช้ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ประกอบการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ด้วยปัญหาที่ยืดหยุ่นตามระดับความสามารถ. ผลงานทางวิชาการ ศึกษานิเทศก์เชี่ยวชาญ. กรุงเทพมหานคร: สานักงานเขตพื้นที่การศึกษากรุงเทพมหานคร เขต 2.

ศึกษาธิการ, กระทรวง. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑.กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากัด.

ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน และ Key Curriculum Press. (2001). คู่มือแนะนาการใช้งาน THE GEOMETER’S SKETCHPAD ซอฟต์แวร์สารวจเชิงคณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต. กรุงเทพมหานคร: สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี.

Aleven, V. A. W. M. M., & Koedinger, K. R. (2002). An effective metacognitive strateg : Learning by doing and explaining with a computer-based Cognitive Tutor. Cognitive Science, 26(2), 147-179.

Allendoerfer, C.B., and Oakley, C.O. (1969). Principles of mathematics. 3rd ed. New York: McGraw-Hill.

Bielaczyc, K., Pirolli, P. L., & Brown, A. L. (1995). Training in self-explanation and self-regulation strategies: Investigating the effects of knowledge acquisition activities on problem solving. Cognition and Instruction, 13(2), 221-252.

Chi, M. T. H., Bassok, M., Lewis, M. W., Reimann, P., & Glaser, R. (1989). Self-explanations: How students study and use examples in learning to solve problems. Cognitive Science, 13(2), 145-182.

23

Chi, M. T. H., de Leeuw, N., Chiu, M. H., & LaVancher, C. (1994). Eliciting self-explanations improves understanding. Cognitive Science, 18(3), 439-477.

Nohda, Nobuhiko. (2000). Teaching by Open-Approach Method in Japanese Mathematics Classroom. [Online] Available http://eric.ed.gov/ [14 November 2008]

Polya, G. (1973). How To Solve It. Princeton: Princeton University Press.

Siegler, R. S. (2002). Microgenetic studies of selfexplanation. In N. Garnott & J. Parziale (Eds.), Microdevelopment: A process-oriented perspective for studying development and learning (pp. 31-58). Cambridge: Cambridge University Press.

Teije, Annette ten. and van Harmelen Frank. (1995). Using Reflection Techniques for Flexible Problem Solving (with Examples From Diagnosis). [Online] Available http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.55.4628 [14 July 2009]