por H.A. Karam
topmodel original é um modelo hidrológico semidistribuído muito conhecido, original de Beven e Kirkby (1979), cujas equações podem ser deduzidas da lei de Darcy para o fluxo hidráulico na vertical, assumindo a hipótese da relação linear entre a pressão hidráulica e o módulo do gradiente da declividade topográfica e da continuidade de massa. Uma interpretação original das equações do topmodel foi dada por Kirkby (1979) mostrando que o distribuidor de água topmodel pode ser deduzido da equação de conservação do volume de água líquida no solo integrada ao longo da declividade de uma faixa de drenagem alongada, desde a cabeceira até a margem do rio, considerando as condições de similaridade do problema, ou seja, a análise dimensional do problema, formalmente pela teorema Pi de Buckhram da teoria de similaridade.
topmodel dinâmico desconsidera a hipótese de similaridade e a otimização associada, tomando a equação da continuidade e resolvendo-a por elementos finitos na grade 2D. Isto é feito, para permitir a inclusão de heterogeneidades, chamadas stratus, layers, camadas. A ideia é obter resultados via automatização em R, como um SIG, com vários estratos (dados iniciais e de contorno) adicionais. Portanto, o topmodel dinâmico corresponde a versão distribuída do topmodel originalmente considerado semidistribuído (i.e., distribuído para o umedecimento do solo e unificado para os parâmetros que controlam o modelo de distribuição, como a recarga da zona saturada e precipitação atmosféricas). A forma distribuída de semidistribuição original é obtida pela consideração da teoria de similaridade. O topmodel dinâmico produz mesma resposta do topmodel original, sob mesmas condições iniciais e de contorno como a forçante atmosférica horizontalmente homogênea. Entretanto o custo computacional pode ser relativamente maior, sob mesmas condições homogêneas da forçante. Uma versão (2017) está disponível como pacote biblioteca do R (R-topmodel-dynamic). Entretanto, não é evidente na documentação da biblioteca computacional (library do R) , a forma de incluir outros estratos heterogêneos, além da precipitação.
topmodel variacional é considerada como uma forma "natural" de assimilar variacionalmente um ou mais estratos de heterogeneidade, pela aplicação de princípios variacionais. Mostra-se que se trata de um problema sob restrições fracas, que se refere a forma das equações integral e diferencial. A solução pode ser obtida minimizando-se o funcional variacional dada a analiticidade de 2a-ordem da solução. Em geral, isto implica obter-se a solução de uma EDP de 2a-ordem de Helmoltz, conhecida como equação de Euler-Lagrange. A assimilação variacional pode ser obtida para restrições conjuntas ou processadas de forma sequencial. A solução implica na existência de unicidade para as trajetórias do escoamento, em associação à conservação de massa e energia mecânica.
Destacam-se algumas diferenças dos três métodos distribuidores:
topmodel original estabelece o modelo distribuidor de água na camada superficial do solo na forma de uma estrutura espacial invariável (i.e, o índice topográfico), considerada limite assintótico para escala de tempo suficientemente grande na condição hídrico invariante (condição de equilíbrio hídrico, fluxo de entrada igual fluxo de saída).
topmodel dinâmico estabelece um modelo distribuidor com estrutura espacial variável no tempo, resolvendo efeitos locais pela solução distribuída da EDP para a fração volumétrica de água na camada superficial do solo. Na versão implementa a solução da EDP permite o prognóstico da fração volumétrica de água na camada superficial no solo usando a equação do distribuidor hidrológico obtido da teoria de similaridade topográfica de Kirkby, expressa por: -m = d_{D} / d_{\lambda}, onde m é a constante de similaridade hidrológica, D o deficit de saturação da camada superficial do solo e {\lambda}, o índice topográfico, usada para obter a estrutura do índice topográfico ajustado a cada passo de tempo. Alternativamente, uma segunda EDP pode ser considerada no topmodel dinâmico para obter a solução dos efeitos não-locais associados ao transporte de água. Do ponto de vista numérico, requer solução de EDPs hiperbólicas.
topmodel variacional mostra ambos os efeitos local e não-local da perturbação atmosférica variável no tempo e espaço, aplicando o princípio variacional na assimilação de forçantes heterogêneas. Do ponto de vista numérico, requer solução de EDP elíptica. Como principais vantagens têm-se: 1) analiticidade de segunda ordem da solução, i.e., solução contínua e suavizada, 2) uma metodologia geral (i.e., framework) para assimilação variacional de diferentes forçantes e condições de contorno e 3) equivalência formal entre a solução integral variacional, associada ao problema de contorno de caráter não local e a solução diferencial do problema de valor inicial de caráter local, estabelecida a unicidade geométrica das trajetórias de encaminhamento da água.
Fortran 90
As variantes do modelo foram codificadas em linguagem Fortran-90 para obter maior velocidade na solução e capacidade de manipular grande quantidade de dados.
Diferenças finitas
A discretização das equações foi realizada com diferenças finitas, usando esquema avançado no tempo e centrado no espaço. Particularmente, a solução da equação diferencial parcial de segunda ordem do topmodel dinâmico foi obtida pelo método numérico de relaxação sequencial. Um filtro de Shapiro bidimensional de 5 pontos foi utilizado pra suavizar as forçantes.
Rota da água superficial e vazão
Para determinar a vazão na secção transversal de um ponto de medição em um rio da bacia hidrográfica, é necessário considerar o encaminhamento da água superficial, ou seja, primeiro determinar o curso tomado pela água desde um ponto de inicial (cabeceiras) até o ponto de destino (exutório). Em geral, o tempo de transporte é representado por isolinhas chamadas isócronas traçadas sobre o mapa da bacia.
O método construtor lagrangiano foi utilizado no mapeamento do tempo de transporte. A base deste método é a integração da equação de Langevin. A implementação considerou a dispersão de milhares de partículas para resolver o problema "destino - fonte", no qual as partículas lançadas do ponto de destino destino retrocedem até posições nas áreas fonte (i.e., cabeceiras), assim permitindo o acompanhamento do tempo de transporte a cada passo de tempo de integração. Neste caso, um passo de tempo negativo de poucos segundos é utilizado. O vetor aceleração das partículas apresenta dois termos, sendo o primeiro determinístico devido ao gradiente topográfico e a aceleração da gravidade e o segundo estocástico, dada a natureza do processo.
by H.A. Karam
The original topmodel is a well-known semi-distributed hydrological model, original by Beven and Kirkby (1979), whose equations can be deduced from Darcy's law for vertical hydraulic flow, assuming the hypothesis of the linear relationship between hydraulic pressure and the gradient module topographic slope and mass continuity. An original interpretation of the topmodel equations was given by Kirkby (1979) showing that the topmodel water dispenser can be deduced from the conservation equation of the liquid water volume in the soil integrated along the slope of an elongated drainage strip, from the headland to the river bank, considering the conditions of similarity of the problem (i.e., the dimensional analysis of the problem, formally by Buckhram's theorem Pi of the similarity theory).
The dynamic topmodel disregards the hypothesis of similarity and the associated optimization, taking the continuity equation and solving it for finite elements in the 2D grid. This is done to allow the inclusion of heterogeneities, called stratus, layers. The idea is to obtain results via automation in R, as a GIS, with several additional strata (initial and contour data). Therefore, the dynamic topmodel corresponds to the distributed version of the topmodel originally considered semi-distributed (i.e., distributed for soil moistening and unified for the parameters that control the distribution model, such as saturation zone recharge and atmospheric precipitation). The original distributed form of semi-distribution is obtained by considering the similarity theory. The dynamic topmodel produces the same response as the original topmodel, under the same initial and boundary conditions as the horizontally homogeneous atmospheric forcing. However, the computational cost can be relatively higher, under the same homogeneous conditions as the forcing. A version (2017) is available as a library package for R (R-topmodel-dynamic). However, it is not evident in the documentation of the computational library (library of R), how to include other heterogeneous strata, in addition to precipitation.
The variational topmodel is considered as a "natural" way to heterogeneous assimilation, of one or more strata of heterogeneities, by applying variational analysis principles. It is shown that this is a vaiational problem under weak restrictions, which refers to the form of the integral and differential equations. The solution can be obtained by minimizing the functional variational given the 2nd-order analyticity of the solution. In general, this implies obtaining the solution of a Helmoltz 2nd-order EDP, known as the Euler-Lagrange equation. Variational assimilation can be obtained for joint restrictions or processed sequentially. The solution implies the existence of uniqueness for the flow trajectories, in association with the conservation of mass and mechanical energy.
Some differences of the three distribution methods are highlighted:
The original topmodel establishes the water distributor model in the topsoil in the form of an invariable spatial structure (ie, the topographic index), considered asymptotic limit for a sufficiently large time scale in the invariant water condition (water balance condition, inlet flow equal outflow).
The dynamic topmodel establishes a distribution model with a spatial structure that varies over time, solving local effects by the distributed EDP solution for the volumetric fraction of water in the topsoil. In the version implements the EDP solution it allows the prognosis of the volumetric fraction of water in the superficial layer in the soil using the equation of the hydrological distributor obtained from Kirkby's topographic similarity theory, expressed by: -m = d_ {D} / d _ {\ lambda }, where m is the hydrological similarity constant, D the deficit of saturation of the topsoil and {\ lambda}, the topographic index, used to obtain the structure of the topographic index adjusted at each time step. Alternatively, a second EDP can be considered in the dynamic topmodel to obtain a solution to the non-local effects associated with water transport. From a numerical point of view, it requires a solution of hyperbolic PDEs.
The variational topmodel shows both local and non-local effects of variable atmospheric disturbance in time and space, applying the variational principle in the assimilation of heterogeneous forcing. Numerically, it requires an elliptical EDP solution. The main advantages are: 1) second order analyticity of the solution, ie, continuous and smoothed solution, 2) a general methodology (i.e., framework) for variational assimilation of different forces and boundary conditions and 3) formal equivalence between the integral variational solution, associated with the non-local boundary problem and the differential solution of the initial value problem.
The model variants were encoded in the Fortran-90 language to obtain greater speed in the solution and the ability to manipulate large amounts of data.
Finite differences
The discretization of the equations was performed with finite differences, using an advanced scheme in time and centered in space. In particular, the solution of the second order partial differential equation of the dynamic topmodel was obtained by the numerical method of sequential relaxation. A five-point two-dimensional Shapiro filter was used to soften the forces.
To determine the flow in the cross section of a measurement point in a river in the hydrographic basin, it is necessary to consider the routing of the surface water, that is, first determine the course taken by the water from an initial point (headwaters) to the point of destination (exutory). In general, transport time is represented by isolines called isochrones drawn over the basin map.
The Lagrangian Constructor Method was used to map the transport time. The basis of this method is the integration of the Langevin equation. The implementation considered the dispersion of thousands of particles to solve the "target-source" problem, in which the particles launched from the "target" points go back to positions on the source areas (i.e., headlands), thus allowing the monitoring of the transport time at each step of integration time. In this case, a negative time step of a few seconds is used. The particle acceleration vector has two terms, the first being deterministic due to the topographic gradient and the acceleration of gravity and the second stochastic, given the nature of the process.
K. J. BEVEN & M. J. KIRKBY (1979): A physically based, variable contributing area model of basin hydrology / Un modèle à base physique de zone d'appel variable de l'hydrologie du bassin versant. Hydrological Sciences Bulletin. Volume 24, 1979 - Issue 1. Pages 43-69. Access: http://www.tandfonline.com/doi/ref/10.1080/02626667909491834?scroll=top, http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/02626667909491834?needAccess=true, https://doi.org/10.1080/02626667909491834
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Peter Metcalfe, Keith Beven and Jim Freer (2015): Dynamic TOPMODEL: A new implementation in R and its sensitivity to time and space steps. Environmental Modelling & Software, 72, 155-172. 2015.
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H. A. KARAM, A. J. PEREIRA FILHO, J. L. FLORES R. (2017): On the precipitation homogeneity hypothesis in the TOPMODEL applications. In Geo-Technologies and Natural Disasters (Special Edition), Brazilian Journal of Cartography, v. 69/1,13-22 , Jan/Feb. 2017. http://www.lsie.unb.br/rbc/index.php/rbc/article/download/1473/1073
H. A. KARAM (2016): Wind Power Budget. Chapter in: Alternative Energy and Shale Gas Encyclopedia. Jay H. Lehr & Jack Keeley (Editors). Wiley. ISBN: 978-0-470-89441-5. 880 p., 2016. http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470894415.html
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