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Post date: Nov 16, 2013 2:31:29 PM
我的教育思考（十二）数学教育研究100问
（2013年微博汇集）
游家騋（徐瑰莲的高中老师）
什么是数学的精髓？
1.道生一，一生二，二生三，三生万物。这是道法，也是数学，这也是数学教育的精髓。在数学归纳法中，最能得到体现。已知一两个初始值和一个递推公式，就可以得到一个无穷数列。一个数学老师能把学生教得可以举一反三、触类旁通，那一定是精通教育学的好老师。（2013.03.02）
数学教育研究有哪些问题要面对？
2.数学教育研究首先要面对三个问题，那就是“是什么?”，“为什么？”和“怎么办？”。“什么是数学?”，“什么是数学教育?”，“为什么要开展数学教育研究?”“如何实施数学教育?”三个问题可以衍生出成十上百个问题。“三生万物嘛!”我将在今后的微博和日志中用我五十年的教学实践及思考述说回答这些问题。敬请关注。（2013.03.03）
什么是数学？
3.什么是数学?只有弄清楚了这个问题，教学中才能自觉地去揭示数学的本质，才会充分地发挥数学的教育功能。以下几种解答从不同角度展现了数学的特色：一、数学就是解题；二、数学是通行宇宙的语言；三、数学是思维训练的体操；四、哲学；五、文化遗产；六、艺术展现；七、开启科学大门的钥匙。微博字数有限，以后听我慢慢道来。（2013.03.04）
为什么数学文化体现了数学的真谛？
4.虽然这些对数学的说法都有片面性，但是，将它们一一展开后我们就可以窥到数学的真谛。数学绝不只是教科书中的内容，数学中充满了哲学，数学是人类优秀文化遗产的一部分，数学的简洁美、对称美、和谐美、统一美、奇异美，是艺术的全面展示，是美育的绝好教材，只可惜许多老师视而不见，忽视了它的教育功能。（2013.03.04）
数学是怎样一门学科？
5.综上所述，数学是一门科学，它的研究对象是超越于物质存在的客观世界的空间形式和数量关系。它高度的抽象性和概括性决定了对它的认知过程是具有一定难度的，对人类智慧有一定挑战性的。它的学习规律是重视基础，循序渐进，世界各国都把数学和母语作为中小学的基本学科和基础课程，证实了它在教育的地位。（2013.03.05）
什么是数学的特点？
6.数学的特点是它所探求的不是某种转瞬即逝的东西，也不是服务于某种具体物质所需要的问题，而是宇宙中永恒不变的规律；它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本；它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自已。在任何文明时代，数学素质都是人的素质的重要组成部分，人不可不学数学。（2013.03.05）
初谈什么是数学教育？（再谈见第57问）
7.什么是数学教育?就是通过数学的教学达到传授数学知识，培养高尚情趣，养成良好习惯，塑造健全人格的育人目的。数学不是枯燥的，也不是艰深的，对文史学科的学习研究也是有邦助的。教育离不开数学，数学的教育功能需要我们去探索、去发掘、去实践、去总结、去提升、去正名。教研七字诀：学思辩践积写升。（2013.03.06）
解题怎样才能举一反三？
8.数学家科利亚说，数学就是解题。数学老师的解题能力很重要，这不光是能解出正确答案，还要能阐述出解题的思路让学生和他人觉得有章可循，自然、合理。要提高解题能力，不仅是多做多看，还要写心得、制卡片，对有新意的题，要在解答后反思六“点”：入手、转换、突破、书写、警戒、发散点。以提高解题效率举一反三。（2013.03.08）
对解题书写有哪些要求？
9.数学教育无处不在，对解题的书写要求：1.语言通顺层次分明；数学不只有符号语言， 也能体现文学修养。2.计算准确逻辑严谨；精准习惯的培养和慎密思维的训练是数学教育的职责。3.详略得当步骤完整；过详影响速度，过略易遭扣分。4.图形规范字迹工正；三种数学语言要能熟练使用和转换。5.留意单位明确结论；提示温馨。（2013.03.10）
数学有哪三种语言？
10.数学语言既是数学思维的载体，也是数学教育的工具。与自然语言相比，具有更简洁，更精确和形式化的特点，它适应了数学思维的抽象性，严密性和形式化的需要。数学语言可分为文字语言、符号语言与图形[即视觉语言]三种。受过数学教育浸淫的人，语言应简明扼要，符合逻辑。优秀的数学教师尤其应该如此。（2013.03.11）
为什么数学教学就是思维训练？
11.一个人的智商可以测定，一个人的思维能力，思维方式和习惯是靠学习、培养而成的。数学就是训练思维的课程和体操。苏联数学教育家斯托利亚尔认为：数学这个术语本身就表示一种思维活动，数学教学就是指导学生学习数学家的思维活动成果並将自身的思维结构向数学家的思维结构转化的过程。（2013.03.12）
数学怎样育人？
12.思维是大脑对客观事物的反映，思维是认识活动，又是认识结果。思维这种认识功能，无限地增強了人的感觉器官认识世界的能力。数学教育不只是教人如何去思维，还要通过数学文化教人如何做人。其理念是通过数学教学，把德育、智育、美育，有机地结合起来，达到育人的目的，这是中学数学教师应该追求的境界。（2013.03.13）
数学和哲学为什么关系密切？
13.数学也是哲学。许多数学家也是哲学家，如毕达哥拉斯。可以说，许多哲学观点在数学中找到了实证、得到了体现，许多哲学家也研究数学，如恩格斯，他写的《自然辩证法》就是一部杰出的数学论著。能讲出数学知识中蕴含的哲理，揭示一些辩证观点和直觉思维中的心灵感应，正是学生养成自由思想和独立人格的需要。（2013.03.14）
为什么数学文化是数学教育的重要内容？
14.数学是人类先进文化的重要组成部分。而数学文化是指数学发展史；数学问题和结论；数学家殚精竭虑；自然界的数学奇观；影响和改变世界的数学大事；等等，背后的精彩故事。数学文化是数学教育的生动教材，每个故事都充满了哲理。数学文化让数学鲜活起来，彰显了数学的威力和魅力，在潜移默化中树德育才。（2013.03.16）
数学为什么是绝好的美育教材？
15.数学中存在着美，数百年来流传的“只有美的艺术，没有美的科学”的观念，使许多人认为数学不过是一种工具，是“自然科学大门的钥匙”，仅此而已，数学中的数字美、图形美、公式美、符号美、语言美，方法技巧美、逻辑推理美，对于有鉴赏能力的人来说，对数学美的感悟可以震撼他的灵魂。一旦领悟了数学美，数学再也不是枯燥无味的了，它也能象艺术一样，愉悦人的身心，陶冶人的情操，数学是绝好的美育教育。（2013.03.16）
怎样才能成为一位好的数学老师？
16.怎样才能作一位让学生学得兴致盎然,又在学习中得到做人启迪的数学老师呢?那就要做一个数学教育的有心人.首先就是要有爱心.爱学生,爱教育,爱数学,有了爱心,才会有耐心,才会有热情,不断地去完善自己,在教学实践中细心地发现教材中,课堂中的点滴教育契机,持之以恒地积累教育经验,就会进步。（2013.03.19）
实施数学教育的关键是什么？
17.实施数学教育关键在教师。教师的职责是传道、授业、解惑。解惑不忘授业，授业不忘传道。答疑应讲明分析综合的思维过程和涉及的数学知识，不只限于解题，而要发现新问题，触类旁通，在授课和答疑时要浸润品德教育，鼓励、关心、关怀学生。但教无定法，以下介绍的教学心得仅供同仁参考，欢迎批评指正。（2013.03.20）
为什么“第一节课”很重要？
18.俗话说“亲其师则信其道”，要让学生亲近老师、敬佩老师方会学好老师所授的功课，新接手的班级的第一节课不要忙着赶进度、上新课，而应宣讲数学的威力和数学的魅力，把学生领进数学神圣的殿堂和美丽的数学大花园，既能激发学生的学习兴趣，也能展示老师的风采。同时揭示学好数学的学习方法“十字诀”：勤思、善问、多练、注重积累。以提升学生学好数学的信心，第一节课的重要性非同小可。（2013.03.23）
为什么教学中的“心理学”很有效？
19.仿成都武侯祠“攻心联”，喻当前中小学教育：能攻心无涯学海则苦烦尽消自古知书非应试，不审势减负拚优即宽严皆误而今治学要深思。攻心就是让学生在学知中愉悦，在学习中满足求知欲和取得成功感，所谓“境由心造”就是这个道理，数学教育首先就要让学生热爱数学，钦佩他的数学老师。（2013.03.24）
课堂中的美好时光是怎样创造的？
20.课堂教学是数学教育的主渠道。课堂中的美好时光是由教师的品格，教师的引导，教学设计和教学机智创造的。在思维活跃、民主平等、秩序井然、紧张愉快的课堂氛围中，学生敢想、敢说、敢问，教师教得兴致盎然，学生学得轻松愉快。这样以教师为主导，学生为主体的课堂不但效益高，而且可以教学相长。（2013.03.25）
教师为什么要尊重学生？
21.教师尊重学生就是尊重自己，不讥讽学生，公平对待全体学生，一人有错不要迁怒大家，学生有错不能让家长难堪，“请”字常挂嘴边，不要随意损坏学生的书本文具，坐着上课不利于肢体语言的发挥，喊学生擦黑板不利于板书规划。细节传递爱心和尊重，身教是德育典范。贏得学生尊重的教师才能收获“爱屋及乌”之效。（2013.03.26）
数学课堂教学有哪些环节？
22.数学的课堂教学大致按五个环节进行：1.组织教学。对40分钟一节课，这一环节更为重要，值得研究和重视，并贯彻课时始终；2.复习旧课，引入新课。方法多样常变常新；3.展示新课。让不同层次的学生都有收获；4.巩固新知。可练习，可小结，让学生感悟并融入各自的认知系统；5.布置作业。精心挑选，分层次多种要求。（2013.03.27）
如何备课？
23.备课是上好课的必要条件，也是每一位教师的职业道德的一种体现。备课可分为粗识、略写、细思、精设四个步骤。一堂精彩的演示课后，有人问及“备这堂课花了多少时间？”,授课教师回答：“用了一生！”，这有夸张，也是实情。但演示课通过多次借班试讲“只能欣赏，不可摹仿”的做法不是正常备课所要借鉴的。（2013.03.29）
什么是备课的粗识阶段？
24.单元备课四步：通读教材、教参，分清重难点，了解本单元在全书中的地位和作用（粗识）；划分课时，留有余地，写出每课主要内容：概念、公式、例题，有无补充和删节？即是写课时提纲（略写）；多留空白以便批注更改，课前阅读提纲，考虑如何引入？怎样小结（细思）；课前再精心设计衔接和作业。（2013.03.30）
为什么“承上启下”是备课的重点？
25.备课，常常是写得详尽的老师上课并不出彩。备课不是把要说的都写下来，而是熟悉教材内容精要和层次，突出重点突破难点。离开了教案就不会上课的老师并没备好课。应设计好引入，各层次间如何自然衔结?补充难易适当的精典例习题，布置精心设计的选作题、思考题，在巩固新课的同吋，为下一节课作好铺垫。（2013.03.31）
板书有何重要性？
26.板书设计应是备课内容之一，板书的速度及优美程度折射出教师的素质和文化。一个好教师可以边写边讲两不误，一节课完后留在黑板上的内容完整扼要，“板书一幅画”既是教学的需要，也是艺术的要求。有了多种媒体后，不少教师弃粉笔黑板不用，减少了教师的魅力和展示知识发生发展的过程。“电灌”更胜“人灌”。（2013.04.01）
为什么教师的语言能力是重要的基本功？
27.教师的语言表达能力是教师的重要素质，清晰、无语病、声音宏亮更好。数学老师的语言还要科学、准确、简洁、逻辑性条理性強，富有亲和力和幽默感最好。这体现了教师的文化底蕴和教学机智。语言是思维的载体，也是师生交流的工具，要在实践中学习、积累，加以改善。关于语言的教育性及语速等问题，下次再聊。（2013.04.02）
对教师的语言表达有哪些要求？
28.教师也是语言工作者。口齿清楚是最基本要求，上课语速太慢易使人昏昏，且影响进度减少信息输出量，语速太快有时学生思维跟不上。教课语速以中偏快为宜，应依内容和情感语调抑扬顿挫，但不要刻意做作。数学教师应减少欠准确的口头语，多用数学语言，讲话要有教育性，文学性和幽默感，善于与学生情感交流。（2013.04.03）
老师语言有哪些妙招？
29.例一：课堂内演算一道较为繁复的计算题时，总有学生不敢或不屑于动手，在有同学说出结果时，先表扬他积极参与，不急于评判对错，而要启发更多的人做出答案，当出现两个不同结果时说：“这两个答案至少有一个是错的”。鼓励更多的人去亲作亲为，当学生体会到“至少”的含义时，会更加踴跃去尝试。（2013.04.04）
教师语言有哪些“四性”？
30.教师一句意味深长的话，比批评懒惰更有效。“至少”，可能是一个，也可能是全部。让学生理解这个数学用语的同时，调动了全班学习的积极性，最终达到“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的教育目的，这就是语言的数学性、幽默性、教育性、艺术性。下面再举一例看教师语言的文学性和机智性，例二“汪国真的诗句”。（2013.04.04）
为什么教师语言的机智性和文学性得到学生的欣赏？
31.例二：一次听课，师生遇到了一道有新意的题，老师启发：“谁来分析一下解题思路，如何入手?”没想到有一个同学站起来，把解答过程包括答案全部说出来了，她没有责怪学生，而是微笑着说：“我只需要一片绿叶，你却给了我整个春天。”引用的是汪国真的诗句，这种赏识性的批评贏得了全班同学热烈的掌声。（2013.04.05）
教师的角色定位是什么？
32.这掌声出自对老师才智的钦佩，也是给答问同学的鼓励，这和谐的课堂情景给听课的我留下了美好的回忆。教师不同于节目主持人和演员，不要向学生要掌声，学生自发的鼓掌才是真诚的。不必要的掌声会打断学生的思维，显得有些庸俗起不到鼓励的作用。教师的语言应该生动，少一些枯燥的说教。（2013.04.05）
为什么听得懂老师讲的却解不出题？
33.例三：“三国故事”：不少学生对数学题听老师讲就明白，但自己单独面对时就不会做，有种事后方知的苦恼，对学好数学缺乏信心。老师问：“三国演义中谁最聪明？”学生：“诸葛亮！周瑜！”，老师：“不对！是曹操！诸葛亮的确聪明，未卜先知；周瑜，一见便知；曹操，事后方知，但曹操完成了统一大业” 。（2013.04.06）
“事后方知”为什么不是笨？
34.“凡事都能事后方知是最聪明的”，只要善于反思和总结，就能逐步由“事后方知”变成“一见便知”，甚至成为“未卜先知”。生动的事例提高了学生学习的自信心，对养成改错，反思的好习惯，收到了很好的教育效果。这三个例子说明，教师的这种循循善诱是对心理学和教育学的合理应用，也是老师素质的展现，是教师与学生进行思想和情感的有效交流，是一种课堂艺术。 （2013.04.06）
为什么善于与学生交流很重要？
35.能与病人进行交流，“是对一个医生的好评。尤其是对每天定额看几十个病人的大医院的医生，有时连听病人述说病情都没听完，处方就已开好，那还有什么交流?”善于与学生进行情感交流是对而今的老师的一种难得的好评。交流能使对方感到尊重、感到温暖，治病、教学效果更佳。下面专说如何交流。（2013.04.07）
数学课成功的标志是什么？
36.让学生获得知识，是教学的一项任务。让学生在获取知识的同时，感悟数学思想和数学方法是教学更重要的目的。学生记住了数学课上度过的美好时光和数学老师的言传身教，才是数学教育成功的标志。这是一个离校三十多年的学生的话对我的启示，他说：我至今记得母校当时的电话号码是3879，你用不爱红装爱武装给我们说：“三八节背上七九步枪去游行”永生难忘。（2013.04.08）
为什么说“联想记忆法“好？
37.用联想记忆法记无理数“ｅ”的近似值2.71828182846也有趣，“过年小孩放烟花”。儿点起，爆炸声絲溜声，记下了十二个有效数字。活跃了课堂，记牢了知识，学习了记忆枯燥数码的方法。学生据此创造了记忆长江、黄河长6300、5464米和珠峰高度8844.43米的方法。（2013.04.08）
怎样让学生“训练有素“？
38.要形成良好的课堂氛围，师生要相互尊重。教师既要严格，也要宽容，要求学生大胆、大声、大方、大度；大胆就是敢想、敢说、敢问，敢于坚持真理、敢于修正错误; 回答问题不是只给老师听的,要让全班同学都能听清; 最好起立大声说; 要大方; 对不同意见要大度; 做到了这“四大”、“五敢”，你的学生就会“训练有素”。（2013.04.09）
“自由思想”、“独立人格”怎样在数学教学中潜移默化？
39.凡第一个指出教师、教参、教辅、练习册或教材中的错误，并被证实纠错正确的人，要给予适当奖励。除了口头表扬外，还要注明“某年某月某日某年级某班某某某第一个纠错”作为备注在全班及以后各年级同学中宣布。这一措施激励了同学的学习热情，许多同学积极参予，不但纠正了不少谬误，还有以下多点意义。（2013.04.10）
如何培养“不唯书，不唯上，只唯真”的人格？
40.（1）认真读数学书的人多了，一些人将正确的也当错误纠正，引发争议、活跃学术民主空气，提高了辩错能力，巩固了基础。（2）显示了教师的大度，不掩盖自己的错误，培养了学生“不唯书,不唯上,只唯真”的求知精神。（3）使学生认识了数学。当掌握了基础知识后真理越辩越明，人人信服。不是那种各说各有理的社会科学。（2013.04.10）
数学不做作业行吗？
41.对于数学，作业和练习必不可少，这不仅是熟悉、消化、巩固新知的必需，也是发现知识缺陷、暴露思维和表达过程中存在问题的重要途径；是夯实基础、培养能力的有效手段。过少，达不到目的，过多，不仅加重学生负担，引起反感，也给教师批阅带来心理和时间上的压力。以下分三点谈谈作业和练习的处理方法。（2013.04.12）
如何面对繁多的数学题？
42.（1）精心设计。紧凑安排口头练习；巧妙实施课内练习，可分组，黑板前板演，实物投影仪展示，小黑板前选择填空，使简单基础的题尽量多的在课内完成。作业分必作、选作、思考和提高四类，分成要求完成。教材中的题基本做完，以不伤害学生学习积极性为原则，允许在理解前提下“对答案”，及时纠错。（2013.04.13）
批阅作业是教师的责任吗？
43.（2）督查批阅。完成作业是学生责任心的体现，批阅作业亦是教师的责任。根据完成质量评定等级，重在褒奖，阅后留言是与学生交流的一个平台，适时有感而发不可废弃。检查情况应登记，优秀作业要向同学和家长展示。这是对学生劳动成果的尊重。抽查、互改、对答案只可间或进行。布置多、不督查、不评说，久之必惰! （2013.04.14）
处理作业有哪些方法？
44.（3）悉心善后。有时课前可安排作业讲评，以弥补批阅缺陷，表扬优秀，或以此引入新课；典型题可安排练习课，习题课由师生讲解处理，以适应单元进度；要求学生纠错，记录心得，标上“已解决”“精典”“易错”“重温”等不同符号，便于今后复习；凡做过的题，应让学生知道每题的正确答案，不要模棱两可。（2013.04.15）
作业“多与少”的辩证关系如何？
45.数学学习不可不作一定数量的练习和作业，这往往成为学生负担过重的因素，教师也抱怨：“木匠戴枷，自做自受。”老师应在作业的布置、检查上多花心思，既保证练习的强度，又减轻师生的压力，处理好作业这柄双刃剑，关键是“攻心”。让兴趣和成功的喜悦常伴。盲目减少作业量和过多机械重复练习，则“宽严皆误”。（2013.04.16）
哪些作业不可忽视？
46.不少教师不重视教材中的实习、实践作业，认为与应试无关，比如，制作多面体、设计方案对牛顿冷却函数模型进行验证等，殊不知，正是这些作业培养了学生的动手能力和对数学的热爱。亲自参与“做数学”、“用数学”的活动，撰写数学作文和实习报告，增强了学生的公民意识和团队合作精神，展示了综合素质及才能。（2013.04.18）
什么叫“做数学”、“用数学”？
47.学生对制作棱柱、棱锥表现了高度的积极性。除了长方体、三棱锥外，还制作了正四面体、正十二面体、正二十面体等；在电脑上画出了几何体的平面展开图，用刀片刻，由一张纸板折叠粘贴而成模型，展现了动手能力；创造性地做出了碳60分子模型足球烯和扭面体，四维标准体等；有的还自学了三视图和分形几何。（2013.04.18）
数学的研究性学习有哪些做法？
48.在做数学中学数学，在用数学中学数学实际上是一种研究性学习。研究性学习分为选题；探索、研讨；取得初步成果；深入发展研究四个阶段。选题要具有适应性[适应教学的需要，最好与教学同步]；趣味性[有新意，未知结论]；研究性[不是一目了然，也不是高不可攀]。以下试举一题为例：“四刀可把一个西瓜切成几块? ”（2013.04.21）
研究性课题选题要注意什么？
49.这个选题是在讲立体几何时我提出来的，许多[不是全部]学生都知道三个平面最多可把空间分成八部分，但是四个平面最多可将空间分为几部分却鲜为人知。这个问题满足了适应性和趣味性，学生有说9块、10块、12块、16块的，引发了争议，也引出了新的问题：“四个平面最多可把空间分成几部分?”这个问题有研究性。 （2013.04.21）
四刀可以把西瓜切成几块？
50.有了“最多”两个字很快否定了9块、10块的答案，经过讨论，16块的答案遭到了质疑，第四刀不可能把前三刀分成的八部分每部分都一分为二。教材上有一道习题：“三个平面两两相交，三条交线平行或交于一点。”讨论引向深入，13、14、15成了大家研究的重点。结果有同学研究的结果是十五部分。要讲出道理可不简单! （2013.04.21）
什么是数学的存在性和唯一性？
51.四个平面为什么可以把空间最多分成十五部分?要圆满回答这个问题又成了新的热点课题，同学们在研讨过程中增强了空间想象力，复习巩固了书本知识，激发出对数学的学习研究热情。先解决存在性，证明四个平面可以把空间分成十五部分，再解决唯一性，证明最多只能分成十五部分。哪知证明存在性也不容易!（2013.04.21）
为什么困难是挑战也是动力？
52.不少同学用画图的方法想解决存在性的问题，图很复杂，阐述更复杂。有一个同学用三棱锥为模型，圆满解决了存在性问题，叙述也非常精妙：三棱锥四个面代表四个平面，两两相交于六条棱，有四个顶点。四个面以广阔的胸怀向外面对4部分空间，六条棱从六条门缝中分别看到外面的6部分空间，这就有了十块空间。（2013.04.21）
为什么解决数学问题的表达能力最为精彩？
53.四个顶点从不同的视角，以一孔之见看到外部四块空间，四个平面在三棱锥之外划分出了14部分不同的空间，在锥内还围出了一块空间，这是一颗向往外面无垠的知识世界的好奇之心。不但把十五块空间有条不紊地描述出来了，而且语言美丽，贏得了全班同学的掌声。精彩的回答让作老师的我也受益匪浅终生难忘。
为什么数学思想和数学方法的体现是数学教育的重点？
54.四个平面可以将空间分成十五部分，但“最多”的问题还待解决，能分成十六部分吗?不能，为什么?那么，五个、六个平面最多又可将空间分成多少部分呢?让我们换一个思路：“ｍ个平面最多可将空间分成多少部分?”这正是数学研究经常采用的，直指问题心脏的，看似很难，却是最有效的方法!终于有学生解决了难题!（2013.04.22）
为什么“青出于蓝而胜于蓝”？
55.我的学生，成都树德中学高2002级1班刘毅用实验、观察、分析、归纳的方法得出“ｍ个平面最多可将空间分成Ｐ[ｍ]部分”并用数学归纳法加以了证明。他的论文《“平面分空间”问题的研究》发表在北京《数理天地》杂志2000年第七期上。彻底解决了不移动西瓜，四刀最多可将西瓜切成十五块，五刀最多可切成26块的问题。（2013.04.22）
如何引导学生终身从事数学研究？
56.通过这个课题研究解决了平面分空间的问题。但研究还在深入，另一个同学杨功荣在此基础上研究了ｎ维标准形对ｎ＋1维空间的分割，并写出了论文《对ｎ维欧几里得空间的分割》这两位同学都进入了全国数学冬令营，毕业于北大数学系。我的有关论文发表于湖北大学《中学数学》杂志2001年第1期。欢迎查阅。（2013.04.22）
再谈“什么是数学教育”？（初谈见第7问）
57.融思想教育和能力培养于数学知识的传授之中。这就是数学教育，它包括：1.思维训练，学习数学思想和数学方法；2.品德教育，爱国、爱家、爱科学等爱的教育；3,世界观、人生观教育，哲学观点，树立信仰；4.认知能力，学习方法的培养，行为习惯、意志品质的养成；5.美学教育、逻辑学教育、语言文学教育等尽在其中。（2013.04.23）
中小学阶段什么课程最重要？
58.中小学阶段，什么课程最重要?“学校开设的每一门课都重要。”但是数学中函数的最值只有一个，最重要的课程只有一个，那就是语文。语文是训练表达能力的，数学是训练思维能力的。语言是思维的载体，所以语文最重要，其次就是数学。有了清晰的思维，才会有流畅的、合乎逻辑的语言；有了分析、归纳，才有说服力。 （2013.04.24）
为什么数学学习要循序渐进？
59.思维发展具有年龄特征，婴幼儿处于直觉形象思维阶段，小学高段是具体形象思维逐步向经验型抽象思维的过渡期，初中是从经验型抽象思维向理论型抽象思维发展的重要阶段，高中阶段是理论型抽象思维形成并开始向辩证思维过渡，逐步走向思维成熟的时期。好的数学教师既不要拔苗助长，也不要降低要求水准。（2013.04.25）
数学教学有关键时段吗？
60.思维发展和一切事物发展的过程一样，有一个由量变到质变的过程。其中存在几个关键点，值得注意。一是初中二年级，是经验型思维向理论型发展的开始。最容易产生分化，年龄的差异减少，体的差异更加显著化。教师应加强对学习感困难的学生的关心和指导；二是高中起始时多数学生会不适应，值得特别关注。（2013.04.26）
为什么说不要轻易沦为“唯一”？
61.上世纪七十年代，我国骄傲地宣称：“中国是世界上唯一的既没有外债又没有内债的国家。”这是“无产阶级文化大革命”带来的夜郎自大的表现，也是缺少数学思想方法的一种愚昧行为。数学中在“配方”、“添项”、“拆项”时经常使用先贷后还，达到目的方法，可见数学思维直接影响一个国家的经济发展数学教育很重要。（2013.04.27）
数学思想、数学方法有用吗？
62.我高84级学生陈泳涛，云南大学数学系毕业后到成都沙河堡派出所工作。据成都晚报连载报导，在破获成都首例出租车被劫案中荣立二等功，他说，是数学教会了我正确分析推理案情发展；我另一个学生陈鱼，象棋高手，曾有成都小棋王美誉。他说，下棋就是用数学的分类讨论方法和逆向思维去分析。思维训练用途广。（2013.04.28）
数学老师如何对学生“人生指导”？
63.我高八七级学生徐瑰莲在美国搞科学实验研究，在发表的论文前言中说，感谢我中学的数学老师教给了我辩证思维和挑错纠错的方法。数学思想和数学方法的训练比传授知识更为重要。而在数学教育中，对学生人生的指导是重中之重，这包括道德、信仰、认知能力、美学、哲学、语言文学、品格素养等终身教育在内……（2013.04.29）
数学能体现“真、善、美”吗？
64.道德就是真和善。法国大数学家费马曾宣称发现了表示质数的公式，而瑞士数学家欧拉不迷信权威，通过努力，推翻了费马的结论。当人们赞扬欧拉的求真精神时，他却平静地说，我能成功地把一个十位整数分解为两个质数之积，用的正是费马最先证明了的关于余数的定理。这种数学家真、善的品质值得我们学习!（2013.04.29）
数学与哲学、宗教有关吗？
65.数学中充满了哲学：矛盾的对立与统一、量变引发质变、有限转化为无限，有些甚至影响人的世界观。比如，零表示“没有”，一个数加减零后不变；但零又不是“没有”，空集不能用零表示。这与“色不异空，色即是空”相似。又比如，兀是圆周长除以直径的商，“布丰投针”，“任意两整数互质”实验概率却与兀有关，真奇怪! （2013.04.30）
数学教育有哪三个层次？
66.风马牛不相及的事却出现联系，这不是巧合，随实验次数增多数据越接近。这种“缘起性空”中的缘还有待揭示。数学教育的三个层次靠师生去体验和感悟：学习数学知识；形成数学能力；发展精神品质；最终达到育人目的。让数学不再枯燥无味、不再高深莫测、不再只是理工科学生的专利。这是我们数学教师努力的方向。（2013.04.30）
数学阅读在数学教育中有什么作用？
67.数学阅读。学会认知、学会生存、学会生活、学会与人相处，这是终身教育的四大支柱。认知的途径很多，阅读是最常用也是最重要的。导引学生阅读、理解概念中关键字、词、句，以认识概念的内涵和外延；阅读公式的特征便记忆，用文字、符号、图形语言表述；阅读例题的思维方式和逻辑联系等；阅读能力是可以迁移的。（2013.05.02）
人格培养与数学有关吗？
68.教学要重视学生的人格培养。通过数学学习循序渐进规律培养良好的学习习惯；通过难题钻研，磨练学生的意志品质，培养勇于克服困难的作风；通过对作业的严格要求，使学生养成认真负责、规范整诘的作风；通过争辩、改错，培养求真精神；通过数学建模培养探索实验、观察归纳、动手动脑、与人合作的意识和能力。（2013.05.03）
数学学习如何促成能力迁移？
69.我教的初93级，学生对数学学习热情很高，平时用在生物、化学等其他学科的时间较少，但重大考试这些科的成绩仍然是年级第一，除了这些学生聪明，班级管理得当外，他们学习方法好、能分清重点、考核点，通过分类、对比类比，让知识系统化、深刻化，良好学习方法的迁移使他们在中学、大学优势明显，终身受益。（2013.05.03）
为什么美和数学都需要去发现和感悟？
70.数学是很好的美学教材，数学美需要我们去发现和感悟，宋朝诗人邵雍的五言绝句《山村咏怀》一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。意境之外的数学美、有序、连续、无限，使这首诗成了千古流传佳句。唐朝诗人王维的《使至塞上》大漠孤烟直，长河落日圆。这里数学的图形美显露无余。（2013.05.04）
什么是数学的数字美和图形美？
71.前两句诗，将直线与平面垂直，直线与圆相切，简洁、和谐，构成了塞外景色的奇异美。杜甫名诗：两只黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。音色俱佳，四季齐全，还有数字更叠，点、线、面、体为其增色不少。学生能从数学的角度赏析名诗佳句，让语文老师也始料未及。（2013.05.04）
数学与语文有联系吗？
72.索性让学生写数学作文，学了《直线与圆》这章后，学生写道：“（数学情结）所有直线表眷恋，前后延伸情无限；所有交叉是歧路，生活处处有考验；所有曲线像爱情，曲折饱含苦与甜；所有故事绘人生，周而复始总是圆（缘）。”说的是数学，用的是文学，写的是生活，悟的是哲学。 （2013.05.04）
你听说过“让数学滚出高考”的言论吗？
73.我认识的文科专家不少人对数学不感兴趣。一位北京的语文专家在做报告时说：“中学学的两数和的平方公式，我这一生都没用过。”这是对中学的数学教育的批评。两数和的平方公式承载了数学公式的简洁美、统一美、和谐美，公式的图形展示是一种无言的证明，应用公式可以巧算两位数的平方。 （2013.05.05）
是数学无用还是老师乏力？
74.由此引入的杨辉三角是中国古代文明的骄傲，不是数学无用，而是老师没能揭示其真谛。这是由于教师的教学不当，让学生感到奥妙无穷、应用广泛的数学知识是枯燥无用的，这是数学教育的失败，也是一个数学老师的失败。（2013.05.05）
如何评价教师？
75.我心目中的教育工作者标准：1.基本素质与能力；2.敬业精神与人品；3.良好的课堂教学口碑[经验和经历]；4.教学或教育管理成绩[不只是分数]；5.教学教育理论；评价标准单一、重分数、重升学率、重点率、通过率。把挤占学生时间认为是干劲大、工作积极、牺牲师生健康取得的成绩受到表扬，轻人品、轻口碑是通病。（2013.05.06）
选择教师的标准是什么？
76.教师的身材面貌应有一定要求，我认识因身体缺陷而影响教学最终离开了讲台的几个同行。报考师范应设面试、口齿清楚是必须的，音量大更好，表达能力最重要，组织教学能力、教案设计能力、操作计算机、制作课件能力、解题能力、普通话、粉笔字硬笔字能力也应具备素质与生俱来，能力靠自身努力，这是老师的基础。（2013.05.06）
对教师的基本要求是什么？
77.敬业精神是指有爱心、爱教育、爱学生、有责任心、敢担当，不是“加班加点不喊累，苦干实干早起晚睡”。人品是指说真话、有见地、正直善良。辱骂学生、恶意讥讽学生、体罚学生，是爱心和人品的缺失。把对学生高压得到的分数转换成老师的“政绩”不可取。鼓励告密得到的班级纪律本身就是失德的表现和错误的导向。（2013.05.07）
良好的教学口碑重要吗？
78.在学生、家长、同行中有良好的课堂教学口碑，是每一个教育工作者，特别是有课堂教学任务的一线教师，首先应达到的目标。在教育系统，无论你的职位有多高，你的职称有多牛，你的荣誉称号有多响亮，你也是空有其名。腹中没有教学经历和经验的教科人员有如山中竹笋，没有良好教学口碑的管理者有如墙上芦苇。（2013.05.07）
学生对教师的评价可信度有多高？
79.教师的成绩不是业务考评的分数，也不是所教学生考试的分数，而是学生的成长、学生的评价。由于地位差异[对老师尊敬或怕报复]、认识的局限[年级高低,年龄大小]学生当下的评价欠客观，学生离校后的反映才更真实可信，十多年后还能被学生记住，觉得是他人生导师的老师一定是一位好老师这才是老师的成绩。（2013.05.08）
教师的教育理论和教育研究重要吗？
80.思想支配行为，理论指导实践。教育理论探索为许多教师所忽视，原因之一是负担重工作忙，教学常规才是硬任务。二是看不惯一些人写论文搞课题造假作秀。不少人教书几十年，只是一个“教书匠”。要“能说会做”必须重视课后反思积累，学习教育心理学，总结经验上升为理论，并指导实践由自由王国向必然王国过渡。（2013.05.10）
数学考试如何命题？
81.出题。通过性考试与选拔性考试的试卷难度有差别，易、中、难题的比例分别为4:5:1和4:4:2前者以考核知识点为入主，后者以考核能力为主。一套试卷，应两者兼顾。先选定综合解答题，以限制高分，再选中档解答题，以考核基本技能，最后补充选择填空题以完善和增多知识点考核。前几题应浅显，以便学生入手。（2013.05.11）
如何做好阅卷工作？
82.阅卷。数学教学应该讲必练、练必阅、阅必评。阅卷要做好统计、登记工作，以发现学生掌握应用知识的情况好亡羊补牢。登记每题多少人全对，题号前划正字统计，算出每题平均分，记录普遍存在的问题以便讲评，记录有突出表现和书写优秀的学生姓名，记录有创意的解法。批阅要认真，反馈要及时。作好讲评准备。（2013.05.12）
不同课型有不同的特点吗？
83.试卷讲评。先要公布考试的主要信息，如班平均分、每题得失分情况，便于学生自我评估，然后褒奖有突出表现的学生，不要忽视对进步显著的学生的鼓励，为提高效率选择普遍存在的问题进行点评。让有创意解法的向同学演示，对典型题进行变式训练，既是巩固，也是发散，达到举一反三。最后要布置改错订正作业。（2013.05.13）
感悟数学关键靠老师引导吗？
84.中学数学老师目前处于“改不完的作业、做不完的题”的处境中，在升学和分数的指挥棒下，学校、家长给数学老师的压力日增，要享受教学生活只是奢望。调动学生眼耳手口心脑感官，去感悟数学的真谛和快乐，是每位老师面临的挑战。要实现数学的教育功能，需要有热情、有见地、有能力的老师去实践。教师是关键。（2013.05.15）
要求学生记数学笔记有用吗？
85.数学课应要求学生记笔记。初二以上学生要有数学笔记本，课堂扼要记录，也可写小结心得，教师要指导学生如何记好笔记，如何处理好听讲和记录的矛盾，这是终身教育的需要。教师板书要利于学生记笔记，对笔记本要有检查，可展示优秀笔记。学业结束时，征得学生同意，留下优秀笔记，作示范，也可作教案补充。（2013.05.15）
学数学要“五官”齐用吗？
86.感悟数学要动脑思考、用心体会、认真听讲，动眼用耳也是必须的。记笔记、写练习、做作业都要动手，这还不够，还要动口。一是数学三种语言的使用和转换需要多读常说，二是要养成课堂积极发言的习惯，参与讨论和发问。有时，提出一个问题比解决一个问题更能体现一个人的数学素养，数学就是在触决问题中前进的。（2013.05.17）
学数学如何做学问？
87.爱问是认知的好习惯。首先应问自已，是否真懂了?不要不懂装懂，不要自欺欺人，不要浅尝辄止；然后先问书本，开卷有益，既可养成认真读书习惯，又可让问题深化；看书解决不了的可问同学，集思广益，不耻下问；还可问老师，教学相长，老师也欣赏这类学生；也可上网搜索；会得到更多，总之。学问要问，才得真知。（2013.05.17）
师生关系影响教学效果吗？
88.“亲其师则信其道”，师生关系直接影响教学的效益和教育的成败，尊师爱生良好关系的建成。教师是关键，学高为师，身正为范，知识渊博，教艺精湛，以身作则，言行一致的老师会赢得尊重。对学生的爱心方会作为正能量得到传递，过度的亲密和严厉都不是正常的师生关系。尊师是重道，爱生是爱未来。（2013.05.18）
如何诠释数学的“教与学”？
89.教育家陶行知先生这样铨释“教学”：“千教万教教人求真，千学万学学做真人。”求真，就是求真知、求真实、求真理。真人，就是说话真诚、办事认真、待人真心的人。而数学教育就是典型的“不唯书、不唯上，只唯实，只唯真”的求真教育。是培养“自由思想、独立人格”学做真人的不可或缺，其他学科不能替代的教育途径。（2013.05.19）
数学教育脱离政治吗？
90.“教育为无产阶级政治服务”的方针被理解为“阶级路线”。二十世纪中后期的中国，不少出身不好的青少年因此失去了入学深造的机会。学校里，政治说教充斥道德教育，“斗争哲学”置换了“仁爱真善”。教育是行善的公益事业，应造福全人类，远离政治。数学教育好在不易受“文革”带来的牵强附会无限上纲的影响。（2013.05.19）
数学中的题型教学对吗？
91.问题是数学的心脏。盲目地反对“题型教学”缺少辩证观点，“应试教育”和“题海战术”也是反对者强加的。学习必须应试,学数学要多做题,世人皆知,凡事不可过量,过量适得其反，也不能因噎废食。精讲精练，未必符合认知规律?由于双休日，中学星1至星5每天排九节课，每课40分钟实属无奈之举，并不科学。盼改进!（2013.05.19）
为什么“学起于思，思源于疑”？
92.问题也是数学前进的动力。在1900年世界数学家大会上，希尔伯特提出了23个问题，数学家们经过艰苦努力，解诀了其中大部分问题，都是20世纪科学界的伟大成就。联合国特地把新世纪开始的2000年定为国际数学年，以彰显数学学科为人类作出的巨大贡献。许多古老的和新生的数学问题和猜想，使数学永葆青春。（2013.05.21）
数学科学与其他理科有何异同？
93.数学与物理、化学等学科不同。这些学科由假设开始，然后再在自然界或实验室进行进一步验证，而数学则一开始就要求唯真。或许，这也正是数学的迷人之处。数学除了形象思维、抽象思维、辩证思维外，还有直觉思维：就是灵感和顿悟。这来自天资、美感和经验积累后的飞跃。不少数学分支就是这样诞生和发展起来的。（2013.05.21）
数学能救人吗？
94.1970年4月美国发射了“阿波罗13号”载人登月飞船，在太空飞船突发故障，船上三名宇航员命悬一线，指挥中心通过精确计算和模拟，用仅存燃料使飞船进入了可利用惯性返回地球的轨道，三名宇航员得以生还。4月17日成了休斯顿登月舱平安返回地球的纪念日，这不但显示了数学的威力，也为数学文化重笔流芳。（2013.05.22）
你了解数学的威力和魅力吗？
95.数学魅力也可救人。1908年，数学爱好者德国人沃尔夫斯基凯尔因失恋决定自杀。自杀前他在图书馆看到了还是猜想的费马大定理并为之着迷，研究使他活了下来，后来他立下遗嘱，以2007年为限，奖励第一个证明费马大定理的人10万马克全世界都曾为此疯狂。数学魅力也可成就一个人，陈景润的成名之路即是典范。（2013.05.23）
“奥数”是“负担过重”的“替罪羊”吗？
96.数学造福人类，魅力无穷。不是“禁奥”所能阻挡的。中国从1956年举办高中数学竞赛至今已有57年历史了，文革浩劫后，1978年全国数学竞赛最先复苏，1986年我国正式派队参加了国际数学奥林匹克，成绩直线上升，并于1989年夺团体总分第一，1990年获主办权再次夺冠，引发世界瞩目。“奥数”已成数学教育的一部分。（2013.05.24）
什么是“竞赛数学”？
97.奥林匹克数学通过千姿百态机智巧妙的问题和解法与传统的、现代的中学数学保持着密切的联系。他的每个命题虽有难度，但基础确是中等数学。也就是说这种竞赛数学保持了中学数学的精华和基本的数学思想方法。在当前分数第一的标准下师生超负荷，时逢中国奥数热的兴起，奥数便成了学生负担过重的替罪羊。（2013.05.25）
“奥数尖子”不能成为数学家吗？
98.中国奥数曾称雄世界。1989—1993年在第30,31,33,34届均获世界第一.近年来,由于功利性太强和错误的"禁奥",我国奥数后备人才断层,成绩下滑,甚至不如越南.一些世界著名数学家,除了天赋外,早期得到伯乐指引的例子很多,如阿贝尔,伽罗华都分别得益于各自的中学老师洪堡,里查德的辅导和帮助。（2013.05.26）
奥数题与中等数学的常规题能区分开吗？
99.奥数教育的价值是激发学生对数学的兴趣，发现和培养数学人才。奥数题及解答具有基础性、趣味性、创造性、发展性、高难性特征，因此多数无法与常规数学中的难题相区分，选拔性质的数学测试必不可少，那些“不考奥数”“没有奥数题”的承诺、规定和新闻报导不是外行就是故作公平公正姿态，全是自欺欺人!（2013.05.27）
教师的最后一课讲些什么好？
100.高考、中考临近，最后一课不要只讲考场注意事项，应该回顾师生情谊，珍视师生缘。教育学生如何入世不落俗，不染尘。认真做事、清白做人、不卑不亢、堂堂正正。用一生书写出一个真正的“人”！二十年后再相会时仍保青春阳光。这最后一课，是教师的人生告白，也是师生间的真情告别！影响深远，千万不要放弃这个机会。（2013.05.27）
跋
从3月2日以来，写数学教育微博100条，因身体和时间原因将暂停一段时期，以后结集在我QQ日志上发表（后增补为《数学教育研究100问》），以补微博字数限制之遗憾。我是中国数学会首批奥数高级教练、成都市首批教育专家之一，曾出席在韩召开的首届东亚数学教育大会。写这100条微博以尽推动中国中小学数学教育工作的一点心意。望听众理解。
以上100条分属七方面内容：
1. 数学文化；
2. 数学教育；
3. 数学教学；
4. 数学教师；
5. 数学学习；
6. 数学教研；
7. 数学奥林匹克。
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