Весенний триместр 2019/2020

Вполне возможна работа посредством Zoom или Skype. Сообщайте при необходимости, договоримся и обменяемся контактами.

Теоретическая механика

Движение в центральном поле

Видео по теме Замкнутые орбиты; Презентация.

Домашние задачи для второй контрольной точки (3 из 5 для максимума):

1. Ландау Л.Д., том 1 "Механика", параграф 15, задача 2: Проинтегрировать уравнения движения материальной точки в центральном поле U = -α/r^2.

2. Ольховский И.И., "Задачи по теоретической механике", 1977, 2.42: Тело брошено с начальной скоростью v_0 < sqrt(2 g R) (недостаточная для выхода на орбиту) под углом β к горизонту. Найти дальность полёта вдоль дуги большого круга.

3. Ольховский И.И., "Задачи по теоретической механике", 1977, 2.43: Для решения предыдущей задачи найти, при каком значении угла β будет достигнута максимальная дальность полёта.

4. Ольховский И.И., "Задачи по теоретической механике", 1977, 2.53: В момент выведения спутника на круговую орбиту (на высоте h = 300 км) величина скорости отклонилась от расчётной на величину Δv (направление сохранилось). Найти эксцентриситет, параметр орбиты, отклонение от круговой орбиты в точках перигея и апогея.

5. Ольховский И.И., "Задачи по теоретической механике", 1977, 2.54. Спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите. Расстояния от поверхности земли до перигея и апогея соответственно равны h_p = 170 км и h_a = 400 км. Определить изменение модуля скорости в апогее (перигее), необходимое для перехода спутника на орбиту приземления.

Движение твёрдого тела. Вычисление моментов инерции

Видео по теме Тензор инерции; презентация

Гамильтонов подход. Построение уравнений движения

Видео по теме Функция Гамильтона; презентация

Первая контрольная точка (пересдачи)

Домашние задания сохраняются неизменными и сохраняют вес - 10 баллов из 30 за 5 задач из 8. Скан со всеми задачами был разослан через ЕТИС.

Остальные 20 баллов набираются в процессе подробного решения двух задач, которые сформированы отдельно по вариантам. Обращайтесь за заданиями, не пропадайте.

Вторая контрольная точка

1. Теоретическая часть: подготовить конспект видеолекции за 24 марта.

2. Практическая часть - три задачи:

1. Найти радиус круговой геостационарной орбиты (период обращения спутника по ней - 24 часа). Mз =5.97·10^24 кг, Rз = 6371 км, G = 6.67·10^(-11) Н·м^2 / кг^2.

2. Радиус большой полуоси земной орбиты равен a, период обращения Земли вокруг Солнца - Tз. Комета обращается вокруг Солнца с периодом T, а расстояние от неё до Солнца в перигелии равно r_p. Найти расстояние r_a от кометы до Солнца в афелии.

3. Спутник выводится на высоту h над Землёй с некоторой скоростью v_0, перпендикулярной радиус-вектору. Определить: а) при каких условиях орбита будет эллиптической, параболической, гиперболической (указание: эксцентриситет параболической орбиты равен 1, из формулы для него находится соответствующая параболе полная энергия); б) при каком условии спутник не упадёт на Землю. Для обеих подзадач получить числовые оценки критической скорости спутника, при h = 300 км, Rз принять равным 6400 км.

3. Домашние задачи: см. выше, тема "Движение в центральном поле".

Результаты выставлены. По ошибкам и недоработкам, несколько общих комментариев:

  1. Частично сделали не тот конспект по теории. Кто-то привёл запись с моего видео и презентации по орбитальному движению вместо лекции, которую скидывали ранее (кстати, не скажу что плохие конспекты - подробные и нормально написанные), а кто-то умудрился забежать вперёд и сделать конспект по тензору инерции. С поправочными коэффициентами учтено всё. Кто сделал тензор инерции сейчас - в следующий раз пишет конспект по орбитальному движению :)
  2. Аналогично с задачами. Не совсем явно написал, какие задачи на вторую, какие - на третью контрольную точку. Поэтому вижу, что в некоторых работах делали домашнее задание по тензору инерции. Да, оно проще, на этот раз труды ваши учтены, но должок за орбитальное движение остаётся и будет учтён в третьей КТ. Иными словами, домашние задания должны быть по всем темам.
  3. Когда пишете решения задач, глядя в учебник, стоит попытаться хотя бы как-то понять, что там происходит и всё-таки выстроить хотя бы части последовательного решения.
  4. Результаты иногда прикольные пишете. Полученный некоторыми радиус орбиты, равный нулю, означает, что спутник втыкается в Землю, проходит через её центр и вылетает обратно как ни в чём не бывало. Аккуратно надо с этим.

Третья контрольная точка

Срок сдачи - 27 апреля. Прием долгов - до 30 апреля включительно.

Подраздел "Движение твёрдого тела. Тензор инерции"

1. Вычислить тензор инерции молекулы в виде равнобедренного треугольника с длиной связи d, углом между связями 2ϕ (например, молекула H2O, рис. 1).

2. Вычислить тензор инерции однородного шара радиусом R и плотностью ρ (рис. 2).

3. Плотность неоднородного шара распределена как ρ = ρ0 *( 2 + cosθ ) / 3, где - полярный угол сферической системы координат (на "северном" полюсе плотность равна ρ0, на экваторе - 2ρ0/3, на "южном" полюсе - ρ0/3). а) Вычислить тензор инерции в системе координат, привязанной к центру шара; б) найти положение центра масс; в) пересчитать тензор инерции в систему координат, привязанную к центру масс (как, наверное, несложно догадаться - сдвинутую по оси z) (рис. 3). Достаточно посчитать только главную диагональ! У такого шара в указанных системах координат остальные компоненты тензора инерции будут нулевыми.

4. Найти период малых колебаний в поле тяжести: а) диска; б) обруча, массой m, радиуса R, подвешенных за обод (рис. 4).

Подраздел "Функция Гамильтона"

5. Построить функцию Гамильтона и канонические уравнения для математического маятника, точка подвеса которого закреплена на горизонтальном пружинном маятнике (рис. 5).

6. Построить функцию Гамильтона и канонические уравнения для заряженной частицы, движущейся в параллельном электрическом и магнитном полях: E = {0, 0, E_0}; H = {0, 0, H_0}. Электрический потенциал: ϕ = -E_0 z; для векторного потенциала магнитного поля использовать симметричную калибровку: A = H × r / 2 (рис. 6).

7. Вывести уравнения Гамильтона для движения материальной точки в поле тяготения Ньютона U = -alpha / r. Показать, что они равнозначны ранее полученным уравнениям траектории в теме "Законы Кеплера" (рис. 7).

8. Найти величину поглощения энергии k-й моды излучения некоторой системой, взаимодействие с которой имеет дипольный характер (рис. 8).

Сканированные или сфотографированные работы можно прислать на электронную почту, Вконтакте или на Facebook.

Общая теория относительности

Возможные темы для подготовки сообщений (можно также предложить что-то своё по вопросам ОТО, астрофизики и космологии):

  1. Ускоренное расширение Вселенной.
  2. Теория горячей Вселенной. Реликтовое излучение.
  3. Неоднородности реликтового излучения.
  4. Открытие гравитационных волн.
  5. Тесные двойные системы. Излучение гравитационных волн.
  6. Излучение Хокинга. Эффект Унру.
  7. Эффект Саньяка.
  8. Крупномасштабная структура Вселенной.
  9. Тёмная материя.
  10. Тёмная энергия.
  11. Техника современной астрономии и астрофизики.
  12. Проблемы квантовой гравитации.
  13. Классификация, строение, эволюция звёзд.
  14. Нейтронные звёзды и пульсары.

Объём сообщений: 7-10 минут (но эти цифры очень условны и оставляю их на Ваше усмотрение).

Вебинар планируем на 27.04, 14:00 в Skype.

Возможная литература и источники:

  1. Портал https://elementy.ru/, в частности раздел «Задачи – Физика»: https://elementy.ru/problems/t/21093/Fizika
  2. журнал Успехи физических наук: http://ufn.ru/
  3. курс лекций «Астрофизика» С.Б. Попова: https://teach-in.ru/course/astrophysics/material
  4. Трашье Ж.-П., Даверсен Б. Звёздными тропами. Популярная астрономия. 2004
  5. Уокер Г. Астрономические наблюдения. 1990
  6. Бакулин П.И., Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. 1977
  7. Бисноватый-Коган Г.С. Релятивистская астрофизика и физическая космология. 2011
  8. Бисноватый-Коган Г.С. Физические вопросы теории звёздной эволюции. 1989
  9. Гинзбург В.Л. О физике и астрофизике. 1992
  10. Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика. 2006
  11. Иванов В.В. Астрофизика звёзд. 2002
  12. Мартынов Д.Я. Курс общей астрофизики. 1988
  13. Хокинг С., Млодинов Л. Кратчайшая история времени. 2006
  14. Хокинг С., Пенроуз Р. Природа пространства и времени. 2000
  15. Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырёх томах. 1965–1967.

Задачи (вторая контрольная точка):

1. Наблюдаемая на поверхности Земли (Mз =5.97·10^24 кг, Rз = 6371 км) длина волны света от различных источников равна 500 нм. Найти длину волны вблизи источника, если он располагается на поверхности:

а) Юпитера (Mю =317.8 Мз, Rю=69000 км);

б) Солнца (Mc =1.99·10^30 кг, Rc = 6.95·10^8 м);

в) звезды P Лебедя (M =76 Mс, R = 30 Rс).

2. Для центрально-симметричного поля (решение Шварцшильда) метрический тензор может быть записан в обобщённом виде, показанном на рисунке ниже (ν, λ - некоторые функции времени t и расстояния до центра r). Требуется вычислить перечисленные символы Кристоффеля (см. методичку, глава 4, параграф 1).

Метрический тензор в сферических координатах:

Вычислить:

Решение задач на ЭВМ

Пусть это будет третья контрольная точка

На минимум достаточно задачи 1 в простейшем плоском случае без k_y. На "хор" - задачи 1 в полном виде.

1. Рассчитать коэффициенты прохождения и отражения нерелятивистской частицы при её наклонном падении на прямоугольный потенциальный барьер высотой U_0 и шириной a (есть ненулевая поперечная компонента импульса k_y). Построить зависимость коэффициентов от энергии частицы и угла падения на барьер.

Указания: Требуется решение двумерного уравнения Шрёдингера. Волновую функцию строить в виде ψ(x) exp(i k_y y) (см. рисунок 1).

2. Рассчитать коэффициенты прохождения и отражения релятивистской частицы (без учёта спина) при её наклонном падении на прямоугольный потенциальный барьер высотой U_0 и шириной a (есть ненулевая поперечная компонента импульса k_y). Построить зависимость коэффициентов от энергии частицы и угла падения на барьер, при нулевой и ненулевой массе частицы.

Указания: Требуется построить решение двумерного уравнения Дирака с матричным гамильтонианом релятивистской частицы (матрица размерности 2×2). Волновую функцию строить также в виде ψ(x) exp(i k_y y) (см. рисунок 2), где ψ(x) - двухкомпонентый вектор (т.н. спинор). В данном случае уравнение имеет первый порядок (уравнение второго порядка получится для компонент спинора), и поэтому на границе областей с разным потенциалом нужно сшивать только функции, но уже не их производные.

Для справки: можно посмотреть описания явления, известного как парадокс Клейна - вычисление показывает, что при ортогональном падении на барьер частицы имеет место полное прохождение для любой её энергии и формы барьера, если высота его сопоставима или превышает mc^2. Аналогичный эффект получается для частицы безмассовой - для неё любой барьер становится прозрачным. Собственно, об этом и задача.

2 упрощённая. Сделать всё то же самое, что написано выше, но в рамках одномерной задачи при различной массе частицы, без компоненты k_y.

Рисунок 1.


Рисунок 2.

Итоговая контрольная точка. Решение краевых задач

Теоретический материал: Презентация; Презентация PDF.

В презентации коротко рассмотрены три метода решения задач на собственные значения: метод Галёркина, Ритца и метод стрельбы.

В качестве отчётных заданий предлагается проработать материал презентации, а также построить решения уравнения Шрёдингера методом Галёркина и методом стрельбы для нескольких потенциалов.

Срок сдачи: до окончания триместра, т.е. 30 апреля.