04 第四章微波諧振腔

第四章微波諧振腔

4.1 概述

       諧振腔是在微波頻率下工作的諧振元件，它是一個任意形狀的由導電壁（或導磁壁）包圍的，並能在其中形成電磁振蕩的介質區域，它具有儲存電磁能及選擇一定頻率信號的特性。和低頻LC振盪迴路相似，它在微波技術中有廣泛的應用。如在各種微波振盪器中用它作為能量交換和選頻元件，在微波倍頻和放大器中用作選頻元件，微波諧振腔還

可直接構成微波波長計，微波濾波器用於微波測量和微波通訊中。高Q諧振腔在雷達設備中用作回波箱，用以檢測雷達發射和接收系統的性能等。

一、諧振腔中振蕩的物理過程

       隨著工作頻率的升高，如同用分佈參數取代集中參數電路一樣，集中參數的LC諧振迴路，由於輻射損耗，導體及介質損耗隨頻率的升高而增加，而L，C的數值卻隨之減少，以致難於保證其選頻的特性。到了微波波段，它勢必為諧振腔取代。在LC諧振迴路中，電能

儲存在電容器中，磁能儲存在電感中，由於電容上電壓及電感中的電流隨時間變化有的相位差，因此，諧振的過程就是電磁能在L，C中互相轉換的過程。當

和為最大時，和為零，反之，當和最大時，和為零。

二、諧振腔的分類和分析方法

      隨著微波技術的發展和應用的廣泛，微波諧振腔的形式也多種多樣，結構各異，通常按其構成原理分二大類。一類是傳輸線型，諧振腔由一段規則傳輸線構成，如圓柱形腔、矩形腔、同軸線腔、介質腔及微帶腔等等。這一類腔的分析方法，或採用電磁場理論求解邊值問題的方法，或利用規則波導傳輸線中已經求得的相應波導的電磁場分佈（不同的波型），再加上其兩端的邊界條件，求出諧振腔的基本參數和場結構。另一類是非傳輸線型諧振腔，如反射速調管中的重入式腔（或稱環形腔），磁控管振盪器中的多瓣腔等。這類諧振腔通常是利用等效電路的方法，將腔體的各部分分別等效為集中參數元件或傳輸線段，然後再按低頻電路或微帶傳輸線計算等效電容的方法求出腔的基本參數。

      本章主要討論傳輸線型的具有簡單形狀的諧振腔，其它型式的腔只作簡單介紹。然後，將介紹一種微擾法應用於諧振腔，以呀研究腔體的微少變形對諧振頻率的影響，它不僅對加深諧振腔的理解有幫助，而且在諧振腔的設計和調試中也有實際的應用。最後，對腔的激勵和耦合作簡要的介紹。

4.2微波諧振腔的基本參數

LC諧振迴路的基本參數是電感L，電容C和電阻R（或電導G)。為便於測量和分析,通常採用諧振頻率(或諧振波長)、品質因數及等效電導作為它的基本參數。

下面分別從場及能量的觀點對它們進行討論。

一、諧振頻率(或諧振波長)     諧振頻率描述電磁能量在諧振腔中的運動規律。它是指在諧振腔中激起的電磁振蕩的工作頻率（或工作波長）。 求解諧振頻率的方法如下: （1）場的方法--它是普遍的方法，是從求解諧振腔的電磁場邊值問題入手，導出諧振頻率或波長。從電磁場理論可知 ，在自由空間中，電磁場滿足的波動方程及邊界條件為

      （4.2-1)

式中, ，為諧振腔中介質參數, 是由腔壁導體指向外的法向單位矢量,k是與諧振腔的幾何形狀、尺寸及波型有關的數值。在諧振腔內滿足式（4.2-1)的電磁場對應於一系列的確定的

值(稱為本徵值)。即

或

      (4.2-2)

求出了本徵值後,諧振腔的諧振頻率即可由式(4.2-2)求出。在微波諧振腔中也存在著具有相同諧振頻率而場結構不同的電磁振盪，一般稱為簡併振盪，這是不希望出現的。對於兩端由良導體封閉的空氣填充的規則波導傳輸線構成的諧振腔，產生振蕩的條件是腔內形成穩定的駐波，這時，腔兩端壁間的距離l應等於駐波波節間距

的整數倍，即

上式表明,在一定的腔體尺寸下,只有那些在腔中滿足一定駐波分佈的電磁振盪才能存在,而它們的波導波長l由腔的截面形狀和尺寸所決定,即

。對於非色散波(TEM波),因為,故有

      （4.2-3）

對於色散波(如TE,TM波),因為

故有

      (4.2-4)

相應的諧振頻率可由的關係求出。

(2)等效電路法

對於幾何形狀較複雜的諧振腔,常採用等效電路法求諧振頻率。等效電路法又可分為相位法和電納法兩種。

相位法---對於用一段傳輸線且其兩端分別接有等效負載, 構成的諧振腔,可用相為法求諧振頻率.其等效電路圖

如圖(4-1)所示. 

設諧振腔中某截面AA處的場為

,式中, 為初相位.該波在傳輸線內運行並經兩端反射後回到AA處的場為

當和的相位差為(同相位)時,兩波疊加.因此振盪條件為

對非色散波, 對色散波, 

, 為波導波長. 電納法--所謂電納法,是將諧振腔等效為集中參數LC迴路,由LC諧振迴路的特性,可知在諧振頻率條件下,其總電納為零。

由上式便可求出諧振頻率。

二、品質因數Q品質因數是描述諧振系統頻率選擇性的優劣及電磁能量損耗程度的一個物理量.它定義為

      (4.2-5)

其中為腔的平均損耗功率.腔內儲能是電能和磁能之和，當磁能最大時，電能為零，反之亦然。因此，儲能W可表示

為

      (4.2-6)

式中V為腔的體積, 和為腔所填介質的介質常數.當只考慮導體損耗時,腔的平均損耗功率為

      (4.2-7)

和趨膚深度,對非磁性材料, 這樣,式(4.2-5 )化為

      (4.2-8)

如果腔中充滿介質(如介質腔),則除導體損耗外還存在介質損耗,設介質的電導率為,則腔內的介質損耗功率為

      (4.2-9)

因此，若僅考慮介質損耗時，腔的品質因素為：

      (4.2-10)

式中, 為介質損耗角正切,是表徵介質材料損耗程度的一個參量,它等於傳導電流與位移電流的比值. 

當腔體中同時存在導體和介質損耗時,腔的

值:

      (4.2-11)

若腔內的能量不僅消耗在腔內,而且也有一部分能量耦合出來,消耗在負載上.這時

式中是諧振腔內部的損耗(如導體、介質損耗），是從腔內通過某種方式耦合到外界（負載）的功率。

有負載時的品質因素稱為有載品質因素

,它可表示為

(4.2-12)  

為諧振腔固有品質因素. 稱外界品質因素.為了描述諧振腔與外界耦合的強弱,工程上常常使用耦合係數定義:

(4.2-14)

當時稱欠耦合(或弱耦合); 時稱過耦合(或強耦合); 則稱臨界耦合.將式(4.2-14)代入式(4.2- 

13),可得

      (4.2-15)

三、等效電導

諧振腔的等效電導是腔中有功損耗的量度。它將諧振腔等效為集總參數諧振迴路而得到的一個參數。

如圖(4-2)所示,把諧振腔等效為並聯諧振迴路.設加於諧振迴路上的電壓幅值,則諧振迴路的損耗功率為:

故等效電導為

      (4.2-16)

式中Pl可按式(4.2-7)及式(4.2-9)計算;與波導傳輸線一樣,諧振腔中的"電壓"計算與積分路徑有關,即電壓不是單值

的等效電路也是不確定的.若設法選定了A,B兩點間積分路徑,則此兩點間的等效電壓為

將式(4.2-7)及上式代入(4.2-16),可求得的表達式為:

      (4.2-17)

綜上所述,只要求得諧振腔的基本參數及,就可求得等效電路的有關參數,反之亦然.此外,還應指出,對同一諧振腔,當振盪模式不同時, 和的數值也不同.

4.3 矩形諧振腔

矩形諧振腔是由一段兩端用導體板封閉的矩形波導構成的.如圖4-3所示.它的腔體尺寸為.下面討論矩形諧振腔的特性.

一、電磁場分量及振盪模式

    矩形腔中電磁振盪可看成是波導中的波在兩端壁來回反射形成穩定的駐波。因此求解腔中場結構，可利用矩形波

導中電磁場表達式再加上兩端壁的邊界條件求出。顯然，在矩形腔中也應有TE和TM兩種振盪模式。

1.TE型振盪模式

對於TE型波, 

.考慮無損耗情況(傳輸常數), 的表達式應考慮沿+z和-z兩個方向傳輸波的疊加.據此, 可寫成:

由邊界條件(4.3-2a)可得:

      (4.3-3)

由邊界條件(4.3-2a)式,可得:

故有

       (4.3-4)

將式(4.3-3)及(4.3-4)代入(4.3-1)式,可得:

      (4.3-5)

參照矩形波導場表示式,可得TE振盪模的場分量表示式為:

      (4.3-6)

式中

      (4.3-7)

;用完全一樣的方法,可求出振盪模場分量表示式為:

      (4.3-8)

    從上面的表示式可知,矩形諧振腔中可以存在無窮多個振盪模式及模,其中對模,m,n中只能有一個為零,但p不能為零,對,m,n都不能為零,但p可以為零.下標m,n,p為整數,分別表示沿x,y,z方向變化的駐波

數目

二、矩形諧振腔的基本參數

1.諧振波長為

由於矩形波導的截止波長

為

代入式(4.2-4),可得矩形諧振腔的諧振波長為

      (4.3-9)

通常,最低振盪模式稱為基模,當時,其振盪頻率最低,其它模式乾擾最小,調諧範圍最寬,場結構也比較簡單穩定.令,由(4.3-6)式,可得模場分量:

      (4.3-10)

根據(4.3-10)式,可畫出模的場結構如圖(4-4)所示

的諧振波長為

      (4.3-11)

2.固有品質因素將有關模式的場分量代入(4.2-8)式,便可求出

值,現以振盪模為例進行具體計算.可得

      (4.3-13)

將(4.3-12)式及(4.3-13)使代入(4.3-8)式,可得

,由式(4.3-9)得,式(4.3-14)可簡化為

      (4.3-15)

在實際的應用中,由於製作腔體的導體材料不同,常採用“波形因素”來表徵諧振腔的性質，它定義為，對於

振盪模，不難算出

      (4.3-16)

模的等效電導可按(4.2-7)式計算.如選擇腔的頂壁的中心(即)兩點作為電壓的計算點,並取y軸方向為積分路徑,可求得:

      (4.3-17)

式中是腔介質的波阻抗,將式(4.3-13)及式(4.3-17)代入(4.2-17)式,可得

      (4.3-18)

4.4 圓柱形諧振腔

圓柱形諧振腔是由一段圓形波導兩端用導體板封閉構成的，如圖4-5所示。它的半徑為a，長度為l。它的計算方法和矩形腔相似，可以利用圓形波導中的結果。

一、振盪模式和諧振波長圓柱形腔的振盪模式,相應於圓波導中TE和TM波型.像矩形腔一樣,圓柱腔中同樣存在和兩類振盪 漠式.其電磁場分量分別為:

模:

      (4.4-1)

式中m=0,1,2,...;n=1,2,3,...;p=1,2,3,...

模:

      (4.4-2)

式中m=0,1,2,...;n=1,2,3,...;p=1,2,3,... 

根據諧振波長和頻率的計算式(4.2-4) ,因為TE波的截止波長

,TM波的,不難求出圓柱腔的諧振波

長和頻率為:

模:

      (4.4-3)

模:

      (4.4-4)

二、圓柱形腔的三種實用的振盪模

    在圓柱形諧振腔的各種模式中，、和三種模式最有實用價值。下面對它們分別進行討論。

1. 

模

由(4.4-2),令m=0,n=1,p=0,便可得到TM010模的場分量表示式:

      (4.4-5)

式中, 腔壁上電流分佈由求出.其場結構及電流分佈如圖4-6所示.

模的諧振波長,由(4.4-4)式可得

      (4.4-6)

模的品質因素的計算,由矩形腔計算Q0的方法,由(4.2-8)式,可求得

       (4.4-7)

2. 模

因為圓形波導中的

型波具有低損耗的特點,因此,圓柱形諧振腔中的模也具有低損耗、高Q值的特性. 

由(4.4-1)式,令m=0, n=1,p=1,便可得到

模的場量表示式:

      (4.4-8)

的場結構及腔壁電流分佈如圖4-7所示.

模的諧振波長為

      (4.4-9)

模的值,可由(4.2-8)式計算求得

      (4.4-10)

當p>1時, 的表示式為:

      (4.4-11)

3. 模

模的場分量,可從模中令m=1,n=1,p=1代入(4.4-1)式求得,它除外其餘五個分量均不為零。

TE111模的諧振波長為

的,是圓形波導中最大的截止波長;而p=1是中p的最小取值,所以, 模是各種模中最低的振盪模. 模和模的諧振波長相比較,哪個更長呢?應該比較(4.4-6)式和(4.4-12)式.當

時, 模比模有更長的諧振波長,或者說,在此條件下, 模是圓柱形腔中的主模。反之，當時, 模是圓柱腔中的主模.

4.5 其它形式的諧振腔

在這一節裡，我們將介紹以色散波(即TEM波或準TEM波)為主的常用的微波諧振器,如同軸線諧振腔,微帶諧振器及重入式諧振腔等.這一類諧振腔,由於工作於TEM波或準TEM波,均有工作頻帶寬,振盪模式簡單和場結構穩定等優點. 因此它們均有較廣泛的應用.

一、同軸線諧振同軸線諧振腔通常有同軸腔，同軸腔及電容加載同軸腔三種形式。下面分別加以討論。

1. 同軸腔

同軸腔是由一段兩端短路的同軸線構成,其結構如圖4-9所示.為滿足兩端為駐波的電壓節點的邊界條件,在諧振狀態下,其腔長l應是的整數倍.

所以,它的諧振波長為

      (4.5-1)

同軸腔的值,可由(4.2-6)式計算.同軸腔中工作於TEM模式時,其電磁場分量為:

      (4.5-2)

其場結構也示於圖4-9中,取n=1, ,以式(4.5-2)代入(4.2-6),注意到計算腔腫功率損耗時,包含有內外導體表面的導體損耗和兩端路端壁的導體損耗.和矩形腔的計算相似,可得同軸腔的值為:

      (4.5-3)

2. 同軸腔

同軸腔由一端短路,另一端開路的同軸線段構成,如圖4-10所示,開路端的實現應用了圓波導中過極限波導的概念，即工作頻段內,選取外導體的內直徑以保證傳輸的電磁波處於截止狀態下.根據兩端邊界條件,短路端電壓反射的相移為

,開路端的相移為,由(4.2-5)式得

而代入上式可得

      (4.5-4)

即在諧振時,腔長l應是的奇數倍. 同軸腔的值和同軸腔的差別是少了一個端面的導體損耗,其值為

      (4.5-5)

同軸腔內外導體直徑的選擇原則,是在保證腔能工作於TEM波而不出現高次模,及腔有較高的值外,.還要考慮開路端的圓波導應處於截止狀態.為此要求D和d應同時滿足如下條件:

      (4.5-6)

不等式的第三個條件,是由於模是圓波導的最低次模,其截止波長

同軸腔的最短工作波長為.

3.電容加載同軸腔

電容加載同軸腔是為適應分米波的工作而總體結構又不太長而提出來的.其結構及等效電路如圖4-11所示.其一端短路,另一端的內導體與封閉的外導體間有一空隙距離h,間隙部分看作一集中電容,便得到圖4-11(b)的等效電路.用電納法分析這個等效電路,從AA'面向左看,是一段長為l的終端短路同軸線,從AA'向右看是一集中電容C,諧振是總電納為零,即

      (4.5-7)

集中電容C由兩部分組成,一部分可看成是內導體(圓截面)與端壁構成的平板電容,其間距為h,即

另一部分是內導體側面與端壁構成的邊緣電容,若設邊緣電力線為1/4圓弧,則有:

因此

      (4.5-8)

式(4.5-7)是一個超越方程,它的求解可編程用計算機進行數值解法,或用圖解法.

二、微帶諧振器上面討論的各種型式的微波諧振腔，幾乎都是由導體包圍的有諧振特性的腔體，因此稱為諧振腔。由微帶構成的 具有諧振特性的元件，總有一部分未被導體包圍，未能構成腔體，所以稱為微帶諧振器。微帶諧振器有微帶線段諧振 器、微帶環形諧振器和微帶盤形諧振器等形式。

1. 和微帶線諧振器

微帶是一種準TEM波傳輸線，因此和同軸線諧振腔相類似，一段兩端短路或開路的微帶線段可構成

諧振器；一段一端短路另一端開路的微帶段可構成諧振器。它的諧振條件為：

      (4.5-10)

式中l是微帶導體條的長度, 為微帶內波長, 為有效介電常數. 由式(4.5-10)可見,開路微帶邊緣電容的存在,是使微帶諧振器的實際長度縮短,而l的數值,用微帶傳輸線中計算邊緣電容的方法求出.其近似計算公式如下:

      (4.5-11)

式中W和h分別導體帶寬度和介質層厚度.當時,上式的誤差不大於4%.類似地, 微帶諧振器的諧振條件為

      (4.5-12)

2.環形微帶諧振器

環形微帶諧振器是將微帶線的導體條做成閉合圓環構成的,b為外環半徑,a為內環半徑,W=ba為導體條寬度.當微帶環的平均周長等於帶內波長的整數倍時,電磁波便能在帶內形成穩定的行波振盪.因此,諧振條件為

      (4.5-13)

式中, 為真空中諧振波長. 為了避免高次模的出現，應選擇環線的寬度滿足如下關係式：

      (4.5-14)

三、重入式諧振腔

    由於微波諧振腔具有很高的品質因數和良好的電磁屏蔽性，已廣泛應用於超高頻電子器件和固體器件中，如反射速調管、磁控管體效應及雪崩二極管等。在超高頻電子器件中，為了提高電子束與腔內電磁場相互作用的效率，研製了各種特殊形狀的諧振腔，重入式諧振腔就是其中一種。重入式諧振腔，按其形狀又稱為環形腔。 為簡單起見，我們只討論具有矩形截面的諧振腔特性.腔中最低振盪模式的電場基本上集中間隙部分.而磁場基本集中與環形部分,因此可用準靜態法計算腔的諧振頻率.為此,可把它們等效為集中電容和集中電感.集中電感按恆定磁場計算

      (4.5-15)

集中電容的計算,和電容加載同軸腔相似,看成是平板電容和邊緣電容之和,即

      （4.5-16a）  

      （4.5-16b）

於是,重入式腔的諧振頻率由確定,將(4.5-15)及式(4.5-16)代入,可得

      （4.5-17a）  

      （4.5-17b）

4.6 微波諧振腔的微擾理論

當諧振腔的腔壁或腔內填充的介質有微小變化時，諧振腔的基本參量為及等也有相應的微小變化。如果這種變化對場分佈及原有的參數影響很小，就稱為“微擾”。對於這一問題的求解，一般是根據微擾前的已知解來近似地求出微擾後的解，而不必在新的條件下求解波動方程，這種求解方法稱為“微擾法”。本節主要討論腔壁及介質微擾對諧振腔諧振頻率的影響，或者說，是討論微擾前後腔內電磁能量的變化與諧振頻率變化之間的關係。

一、諧振腔微擾公式的推導

 有一諧振腔，其體積為V，內填充空氣，設未受微擾前場強為和，諧振角頻率為現有一微擾介質插入腔內，介質體積為，其特性用和表示。微擾後的場強為和，諧振角頻率為。顯然，微擾前後的場均應滿足麥氏方程，即對於微擾前的腔，其電磁場方程為：

      (4.6-1)

而微擾後的腔有

(在外) 

(在內) (4.6-2) 

(在外) 

(在內) (4.6-3)

用點乘(4.6-2)式,可得

(在外) (4.6-4) 

(在內)

用點乘(4.6-3)式,可得

(在外) (4.6-5) 

點乘,用點乘,將對體

積V積分,可得:

      (4.6-6)

(4.6-6)式化簡為

      (4.6-8)

式(4.6-8)就是諧振腔微擾理論的基本公式.下面再分別對介質微擾及腔壁微擾作進一步的討論.

二、介質微擾

設放入空腔內微擾介質的體積很小，以致它對以外區域的場的影響可忽略不計。換句話說，近似地可以認為

在

以外的區域，微擾前後的場相等。即

（在之外）

在近似條件下,(4.6-8)式右邊分母可化簡等於4W,W是諧振腔的全部儲能,於是(4.6-8)式簡化為

內, ),如果微擾介質是磁性材料(磁介質),則應置於腔內磁場最強的地方,在該處電場可忽略不計(即在內,有

)

三、腔壁微擾