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池の研究室を希望する方向けに，池がどのようなことを研究してきたかを説明します．
超局所層理論は1980年代に柏原とSchapiraにより開発された，多様体上の層を方向別の特異性を考えて余接束上で解析できる理論です．この理論は，線形偏微分方程式や特異点論に有効に用いられてきましたが，2000年代後半からシンプレクティック幾何学やミラー対称性にも使えることがわかってきました．このような流れの中で，私は超局所層理論を幾何学に様々に応用することに興味があります．このサイトに置いてあるノートも参考にしてください．
構成可能層のレフシェッツ不動点公式
まず修士の学生のころは，構成可能層のレフシェッツ不動点公式について研究を行いました．構成可能層とは，空間を適当に分割すると各パーツの上では簡単な層（正確には局所定数層）になる層のことで，たとえば多様体内に実現された特異空間上の定数層（の零拡張）は構成可能層になります．多様体の自己写像とその構成可能層への持ち上げが与えられたとき，構成可能層係数コホモロジーへの作用のトレースの次元にわたる交代和としてレフシェッツ数が定義されます．多様体上の定数層と持ち上げの場合，これは古典的なレフシェッツ数と一致し，自己写像の固定点集合からの寄与で計算できることが知られています．構成可能層係数の場合にも，レフシェッツ数は固定点集合に局所化しますが，固定点集合が高次元になる場合には局所寄与を具体的に計算する方法は知られていませんでした．私は特性サイクルの理論を使うことで，この状況で局所寄与を計算する方法を開発しました（松井優氏・竹内潔氏との共同研究）．
超局所層理論のシンプレクティック幾何学への応用
2008年ごろにNadler--ZaslowとTamarkinは，超局所層理論を用いた従来手法とは異なるシンプレクティック幾何学へのアプローチを提唱しました．特にTamarkinは，余接束内のコンパクト集合2つの片方をハミルトンアイソトピーで動かして共通部分をなくせるかという分離可能性の問題に，超局所層理論を使ってアプローチしました．その後，Guillermou--Kashiwara--Schapiraにより，ハミルトンアイソトピーに対応した層（層量子化）の存在が証明され，GuillermouやViterboによるコンパクト完全ラグランジュ部分多様体の層量子化につながっていきます．私の博士課程以降の研究は，大きくはこの流れの延長線上にあります．
博士論文では，Tamarkinの非分離性定理を2つの方向に定量的に拡張することを試みました．まず前半では，余接束内の2つのコンパクト完全ラグランジュ部分多様体の交叉数の個数を層理論的に評価する手法を与えました．この結果は斉交叉あるいは退化した交叉の場合にも広く適用可能であり，層理論の利点が活かされていると考えています．後半では浅野知紘氏と共同で，共通部分をなくせるか否かの非分離性の問題だけでなく，共通部分をなくせるとしたらハミルトン関数にどのくらいのエネルギーが必要かという分離エネルギーの評価の問題に層理論でアプローチしました．そこでは，パーシステンス加群の間のインターリービング距離の類似物を層の圏に導入して，層のハミルトン変形がハミルトン関数のエネルギー以下しか距離を変化させないことを示し，その系として分離エネルギーの層理論的下限を与えました．
上で説明した層の圏におけるインターリービング距離は，その後のこの分野の研究で基本的な道具として多くの研究に使われています．我々も続けて以下のような研究を行いました：
ラグランジュはめ込みの層量子化を構成して，これらと上記の結果を合わせることで分離エネルギーおよび交叉数の評価を具体的に与えた（浅野氏との共同研究）．
層のインターリービング距離が完備であることを示すことで層の距離極限を取れる枠組みを構築し，それをC^0シンプレクティック幾何学へ応用した（浅野氏との共同研究）．
ラグランジュ部分多様体の完備化の元について，γサポートと層量子化のマイクロ台が一致することを証明した（浅野氏・Guillermou氏・Humilière氏・Viterbo氏との共同研究）．
これらの研究は，超局所層理論・シンプレクティック幾何学・パーシステントホモロジー理論の3つにまたがっていて，まだまだ興味が尽きません．また最近は，桑垣樹氏と共同で，同変層の圏を使って完全とは限らないラグランジュ部分多様体の層量子化についても研究しています．
位相的データ解析は，データからトポロジー情報を取り出して解析に用いる手法で，そこではパーシステントホモロジーが主要な道具となっています．私は，パーシステントホモロジーの理論的側面にも，応用的側面にも興味を持って研究してきました．具体的には以下の研究をしてきました．
パーシステンス図のベクトル化手法（富士通およびInriaとの共同研究）
パーシステンス図のベクトル化をタスクに合わせて学習できるPersLayというニューラルネットワーク層を導入し，それをグラフ分類に応用しました．
ニューラルネットワークの状態を監視するTDA指標（富士通およびInriaとの共同研究）
ニューラルネットワークの活性化をあらわす重み付きグラフ（活性化グラフ）のパーシステンス図を使って，入力信号の分類が信頼できるか否かの指標を構成しました．
パーシステントホモロジーに基づく損失関数とその最適化（富士通およびInriaとの共同研究）
パーシステントホモロジーに基づく損失関数の最適化には，多くの場合は（確率的）勾配降下法が用いられていますが，パーシステントホモロジーが組合せ的側面を持つことから，その収束はあまりわかっていませんでした．我々は，実用上現れるほとんどのパーシステンス図に基づく損失関数について，確率的劣勾配降下法が収束することを明らかにしました．
点群のフィルトレーション学習（西川直輝氏・山西健司氏との共同研究）
点群のパーシステントホモロジーに対するRipsフィルトレーションは外れ値やノイズに弱いという問題があります．それらの問題に対処するために，各点に重みを与え，それで球の半径をコントロールする重み付きフィルトレーションが提案されています．このような重みは，点のラベルに応じて特定の値に設定したり，点の密度に関連する関数を使ったりすることが多いですが，機械学習の観点からはデータとタスクに応じて学習されることが自然です．そこで我々は，点群とその1点に対して重みを返す等長変換不変な学習可能な構造を導入して，点群の重み付きフィルトレーションを学習する手法を提案しました．
For those who are interested in our lab, I will explain what I have been working on.
The microlocal sheaf theory is a theory to analyze sheaves on a manifold by taking into account their directional singularities, which was developed by Kashiwabara and Schapira in the 1980s. This theory has been effectively applied to linear partial differential equations and singularity theory. Since the late 2000s, it has been found to be useful for symplectic geometry and mirror symmetry. I am interested in various applications of microlocal sheaf theory to geometry.
Lefschetz Fixed-Point Formulas for Constructible Sheaves
In my master's course, I studied the Lefschetz fixed-point formula for constructible sheaves. Here, a sheaf is called constructible if there exists a stratification such that the restriction is locally constant for each stratum. Given a self-diffeomorphism of a manifold and its lift to a constructible sheaf, we can define the Lefschetz number as the alternating sum of the trace of the action to the cohomology. For the constant sheaf and the trivial lift, this coincides with the classical Lefschetz number, which can be computed with local contributions from the fixed point set of the self-diffeomorphism. In the case of constructible sheaf coefficients, the Lefschetz number also localizes to the fixed-point set. However, there was no known way to explicitly compute the local contribution when the fixed-point set is of high dimension. We have developed a method to explicitly compute the local contribution in this situation using the theory of characteristic cycles. (Joint work with Y. Matsui and K. Takeuchi)
Application of the Microlocal Sheaf Theory to Symplectic Geometry
Around 2008, Nadler--Zaslow and Tamarkin proposed a different approach to symplectic geometry using the microlocal sheaf theory. In particular, Tamarkin applied the theory to the Hamiltonian non-displaceability problem. Later, Guillermou--Kashiwara--Schapira proved the existence of a sheaf (called sheaf quantization) corresponding to Hamiltonian isotopy, leading to the existence of the sheaf quantization of compact exact Lagrangian submanifolds by Guillermou and Viterbo.
In my doctoral dissertation, I quantitatively extended Tamarkin's non-displaceability theorem in two directions. In the first part, I gave a method to evaluate the number of intersection points of two compact exact Lagrangian submanifolds in a cotangent bundle from a sheaf-theoretic viewpoint. The results are widely applicable to the case of clean or degenerate intersections, and the sheaf theory has an advantage in this sense. In the latter half of the paper, in collaboration with T. Asano, I considered the problem of estimating the displacement energy, i.e., the energy needed for a Hamiltonian function if it displaces two compact subsets in a cotangent bundle. By introducing an analogue of the interleaving distance between persistence modules into the derived category of sheaves, we showed that the distance between a sheaf and its Hamiltonian deformation is at most the energy of the Hamiltonian function. This gives a sheaf-theoric lower bound of the displacement energy as a corollary.
The above interleaving distance for sheaves has been used as a fundamental tool in many subsequent studies in this field. We also continued with the following studies:
We constructed a sheaf quantization of a Lagrangian immersion. Combining this with the above results, we explicitly estimated the displacement energy and the number of intersection points. (Joint work with Asano)
We showed that the interleaving distance for sheaves is complete, which enables us to take a distance limit of sheaves. We also applied this to C^0-symplectic geometry. (Joint work with Asano)
For an element of the completion of the space of Lagrangians, we proved that the microsupport of the sheaf quantization coincides with the γ-support. (Joint work with Asano, Guillermou, Humilière, and Viterbo)
These studies combine the microlocal sheaf theory, symplectic geometry, and persistent homology theory. Recently, I have also been working with T. Kuwagaki on sheaf quantization of non-exact Lagrangians using equivariant sheaves.
Topological data analysis is a method to extract topological information from data for analysis, Nowadays, persistent homology is a major and essential tool. I have been interested in the theoretical aspects of persistent homology and its applications.
Vectorization Methods for Persistence Diagrams (Joint work with Fujitsu and Inria)
We introduced a neural network layer called PersLay that can learn to vectorize persistence diagrams depending on the task and applied it to graph classification.
TDA-based Method to Monitoring Trained Neural Networks (Joint work with Fujitsu and Inria)
We introduced a method to measure how the classification of the input is reliable by using the persistence diagram of a weighted graph (activation graph) that represents the activation of the neural network.
Loss Functions Based on Persistent Homology and Their Optimization (Joint work with Fujitsu and Inria)
As another method to combine persistent homology and machine learning, we can also incorporate a function of persistence diagrams in a loss function to topologically control the parameters. Although (stochastic) gradient descent methods are often used to optimize such functions, their convergence was not well known due to the combinatorial aspect of persistent homology. We showed that stochastic subgradient descent converges for most of the loss functions of persistence diagrams that had appeared in practice.
Learning Filtration of Point Clouds (Joint work with N. Nishiwaka and K. Yamanishi)
Rips filtration of a point cloud is unstable to outliers and noise. To address this problem, weighted filtrations have been proposed, in which each point is given a weight to control the radius of the balls. Such weight can be given as a specific value depending on the point labels or as a function related to the density of points. However, from a machine learning viewpoint, it is natural to train such weights depending on the data and the task. In this study, we proposed a method to learn weighted filtrations of point clouds by introducing an isometric-invariant neural network architecture.