MATE7086 - Análise em Rn
MATE7086 - Análise em Rn
MATE7086 - Análise em Rn
Turma: A (Programa de Pós-Graduação em Matemática)
Aulas: Terças-Feiras: 9h30h às 11h30 (Sala PA06)
Quintas-feiras: 9h30 às 11h30 (Sala PA06)
Atendimento: Terças-feiras: 13h30 às 15h30 (Sala 308 - 3º Andar Bloco PA)
Início: 12 de março de 2024
Término: 11 de julho de 2024
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
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Topologia do espaço euclidiano. Limite e continuidade. Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Derivada como transformação linear. O gradiente. Regra da cadeia. Fórmula de Taylor. Teorema da função inversa: forma local das imersões e submersões; funções implícitas. Superfícies. Multiplicadores de Lagrange. Integrais múltiplas. Integral superior e integral inferior de uma função limitada num retângulo. Mudanças de variáveis em integrais múltiplas.
Topologia do espaço euclidiano: Normas em Rn, Produtos internos. Sequências em Rn. O espaço Métrico Rn. Topologia em Rn: conjuntos abertos, fechados, compactos e conexos.
Limite e continuidade: Continuidade em Rn. Continuidade Uniforme. Homeomorfismos. Continuidade e Compacidade. Continuidade e Conexidade. Limites.
Aplicações diferenciáveis: Diferenciabilidade em Rn. Derivadas Parciais - Matriz Jacobiana. Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia. Difeomorfismos.
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial: Teorema do Valor Médio. Teorema de Schwarz. Teorema de Taylor. Teorema da função Inversa. Teorema da Função Implícita.
Superfícies e Multiplicadores de Lagrange: A forma local das imersões. A forma local das submersões. O teorema do posto. Superfícies no Espaço Euclidiano. O método dos multiplicadores de Lagrange.
Integrais múltiplas: Integrais em Paralelepipedos. Medida Nula e Integrabilidade. Conjuntos J-mensuráveis. Integrais em conjuntos J-mensuráveis. Integrais Impróprias. Teorema de Fubini. Teorema de Mudança de Variáveis.
LIMA, R. F. Topologia e Análise no Espaço Rn, SBM, 2015
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 2, IMPA, 2014.
BARTLE, R. G. The Elements of Real Analysis, 1964.
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 1, IMPA, 2019.
BARTLE, R. SHERBERT, D. Introduction to Real Analysis, John Wiley and Sons, 2000.
SPIVAK, V. Calculus on Manifolds, 1965.
MUNKRES, J. R. Analysis On Manifolds, Westview Press, eBook Published -2018.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará Reprovado com Conceito D.
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado e:
Conceito A: Média ≥ 90.
Conceito B: 80 ≤ Média <90.
Conceito C: 70 ≤ Média <80.
Se Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Reprovado com Conceito D.
Lista 1 - Normas, Produtos Internos e Distâncias em Rn.
Lista 2 - Sequências em Rn. Conjuntos Abertos.
Lista 3 - Conjuntos Fechados. Fronteira de um Conjunto. Topologia Relativa.
Lista 4 - Conjuntos Compactos e Conjuntos Conexos.
Lista 5 - Continuidade. Continuidade Uniforme. Homeomorfismos.
Lista 6 - Continuidade vs Conexidade e Compacidade. Conexidade por Caminhos.
Lista 7 - Limites.
Lista 8 - Aplicações Diferenciáveis.
Lista 9 - Derivadas Parciais - Matriz Jacobiana. Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia.
Lista 10 - Difeomorfismos. Teorema do Valor Médio. Teorema de Schwarz. Teorema de Taylor. Máximos e Mínimos.
Lista 11 - Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita. Multiplicadores de Lagrange.
Lista 12 - Integrais em Paralelepípedos. Medida Nula e Integrabilidade. Conjuntos J-mensuráveis. Integrais em conjuntos J-mensuráveis. Teorema de Fubini e de Mudança de Variáveis.
Aula 01 - 12/03/24 - Apresentação da Disciplina. O Espaço Vetorial Rn. Normas em Rn. Equivalência de Normas. Espaços Vetoriais Normados.
Aula 02 - 14/03/24 - Produtos Internos em Rn. A Desigualdade de Cauchy-Schwartz. Ortogonalidade. Projeção Ortogonal. O espaço das transformações lineares de Rn em Rm. Norma Espectral.
Aula 03 - 19/03/24 - Distâncias em Rn. Sequências em Rn. Sequências Limitadas e Convergentes. Subsequências. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy e Completude de Rn.
Aula 04 - 21/03/24 - Transformações Lineares e Sequências. Topologia em Rn: Conjuntos Abertos. Pontos Interiores. Propriedades Fundamentais dos Conjuntos Abertos. Caracterização de Abertos por Sequências. Conjuntos Abertos em L(Rn,Rm) e M(m,n).
Aula 05 - 26/03/24 - Conjuntos Fechado. Propriedades Fundamentais dos Conjuntos Fechados. Fecho de um Conjunto. Caracterização dos Conjuntos Fechados. Fronteira de um Conjuntos. Pontos de acumulação e pontos isolados. Teorema de Weierstrass.
Aula 06 - 28/03/24 - Topologia Relativa. Caracterização de abertos e fechados relativos. Compacidade. Exemplos e Propriedades. Paralelepípedos são compactos.
Aula 07 - 02/04/24 - Teorema de Heine-Borel. Teorema dos Compactos Encaixados. Compacidade Sequencial. Conexidade. Caracterização de Cisões. Conjuntos Convexos são Conexos.
Aula 08 - 04/04/24 - União de Conexos com um ponto em comum é Conexo. Exemplos. Componentes Conexas. Continuidade de Aplicações de Rn em Rm. Exemplos.
Aula 09 - 09/04/24 - Caracterização topológica e sequencial da continuidade. Exemplos. Propriedades Operatórias de Funções Contínuas. Continuidade Uniforme.
Aula 10 - 11/04/24 - Exemplos de Funções Uniformemente Contínuas. Caracterização sequencial da Continuidade Uniforme. Homeomorfismos. Bolas (abertas/fechadas) de diferentes centros, raios e normas são homeomorfas.
Aula 11 - 16/04/24 - Projeção Estereográfica. Teorema do Ponto Fixo para Contrações. Teorema da Perturbação da Identidade. Continuidade e Compacidade. Teorema de Weierstrass. Continuidade em compacto implica continuidade uniforme.
Aula 12 - 18/04/24 - Exemplo de Função Uniformemente Contínua não-Lipschitz. Continuidade e Conexidade. Teorema do Valor Intermediário. Produto Cartesiano de Conexos. Conexidade por Caminhos. Conexidade por Caminhos implica Conexidade. Abertos Conexos são Conexos por Caminhos.
Aula 13 - 23/04/24 - Exemplo de Conjunto Conexo que não é Conexo por Caminhos. Limites. Propriedades Principais de Limites.
Aula 14 - 25/04/24 - Prova 01.
Aula 15 - 30/04/24 - Aplicações Diferenciáveis em Rn. Derivada Direcional.
Aula 16 - 02/05/24 - Teorema de Hadamard. Propriedades Operatórias de Aplicações Diferenciáveis. Exemplos.
Aula 17 - 07/05/24 - Exemplos de Aplicações Diferenciáveis em M(n) e L(Rn,Rm). Derivada Parcial e Matriz Jacobiana. O Gradiente. A Regra da Cadeia.
Aula 18 - 09/05/24 - Usos da Regra da Cadeia. Derivadas de Ordem Superior.
Aula 19 - 14/05/24 - Difeomorfismos. O Teorema do Valor Médio.
Aula 20 - 16/05/24 - Condições Suficientes para Diferenciabilidade. O Teorema de Schwartz. O Teorema de Taylor.
Aula 21 - 21/05/24 - Máximos e Mínimos. Teorema da Função Inversa.
Aula 22 - 23/05/24 - Teorema da Função Implícita. Forma local das Submersões.
Aula 23 - 28/05/24 - Forma local das Imersões. Exemplos e Aplicações.
------ - 30/05/24 - Feriado: Corpus Christi.
Aula 24 - 04/06/24 - Multiplicadores de Lagrange.
Aula 25 - 06/06/24 - Prova 02.
------ - 11/06/24 - Aula Cancelada.
------ - 13/06/24 - Aula Cancelada.
Aula 26 - 18/06/24 - Partições de Paralelepípedos. Integrais em Paralelepípedos.
Aula 27 - 20/06/24 - Caracterização de Funções Integráveis. Exemplos. Funções Contínuas são Integráveis. Conjuntos de Medida Nula.
Aula 28 - 25/06/24 - Critério de Integrabilidade de Lebesgue. Conjuntos J-mensuráveis.
Aula 29 - 27/06/24 - Volume Interior e Exterior. Integrais em Conjuntos J-mensuráveis.
Aula 30 - 02/07/24 - Teorema de Fubini. Teorema da Mudança de Variáveis.
Aula 31 - 04/07/24 - Aplicações do Teorema de Fubini e do Teorema da Mudança de Variáveis. Integrais Impróprias.
----- - 09/07/24 - Atendimento Período da Tarde.
Aula 32 - 11/07/24 - Prova 03.