CMM212 Análise II
CMM212 Análise II
CMM212 Análise II
Turma: MAT 1
Pré-Requisitos: CMM202 Análise I
Aulas: Segundas-Feiras: 13h30 às 15h10 (Sala PA04)
Quintas-Feiras: 13h30 às 15h10 (Sala PA04)
Atendimento: Segundas-Feiras: 10h às 11h30 (Sala 308 - 3º Andar Bloco PA)
Início: Segunda-Feira, 10 de março de 2025
Término: Segunda-feira, 30 de junho de 2025
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
Os avisos pertinentes a disciplina serão enviados por e-mail via SIGA. Sempre confiram o e-mail cadastrado (e a caixa de spam).
Caso o sistema SIGA esteja fora do ar, poderão encontrar as informações logo abaixo:
Integral de Riemann: Teorema Fundamental do Cálculo, mudança de variáveis. Teoremas do valor médio para integrais. Integrais impróprias. Seqüências e séries de funções. Funções analíticas reais. Teorema da aproximação de Weierstrass. Teorema de Arzelà-Ascoli.
Integral de Riemann: Partições de um intervalo. Integral Inferior e Integral Superior. Soma de Riemann. Integrabilidade e Integral de Riemann. Propriedades Operatórias. Condições suficientes para a integrabilidade. Conjuntos de Medida Nula e critério de integrabilidade de Lebesgue. As funções Logaritmo e Exponencial.
Integrais impróprias: Definição de Integral Imprópria. Critério de Cauchy. Convergência absoluta. Critérios de convergência.
Seqüências e séries de funções: Sequência de Funções. Convergência pontual e uniforme. Séries de Funções. M-teste de Weiertrass. Propriedades da convergência uniforme. Equicontinuidade. Teorema de Arzelà-Ascoli. Teorema da aproximação de Weierstrass.
Funções analíticas reais: Série de Potências. Raio de convergência. Funções Analíticas Reais. Propriedades de funções analíticas reais.
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 1, IMPA, 2019.
BARTLE, R. G. The Elements of Real Analysis. 2nd ed., John Wiley and Sons, 1976.
APOSTOL, T. M. Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison-Wesley Publishing Company. 1974.
GELBAUM, B. R.; OLMSTED, J. M. H., Counterexamples in Analysis. Courier Corporation, 2003.
TAO, T. Analysis I, Fourth Edition. Springer. Hindustan Book Agency: Nova Deli, 2022.
DOERING, C. I. Introdução à Análise Matemática na Reta. SBM: Rio de Janeiro, 2021.
FIGUEIREDO, D. G. Análise I, 2ª Edição. LTC: Rio de Janeiro, 1996.
BARTLE, R. G; SHERBERT, D. R. Introduction to Real Analysis, Fourth Edition. John Wiley & Sons: New York, 2011.
ABBOTT, S. Understanding Analysis, Second Edition. Springer. Nova York, 2015.
MACLANE, S. Mathematics Form and Function. Springer-Verlag. Nova York, 1986.
LIMA, E. L. Análise Real, volume 1. 10ª Edição. IMPA: Rio de Janeiro, 2008.
RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition. McGraw-Hill. Nova York. 1976.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará REPROVADO.
A avaliação nesta disciplina se dará a partir de três Provas e três Listas de Exercícios a serem entregues no dia das provas. As provas corresponderão a 85% da nota e as listas a 15% da nota. Assim, a Média da disciplina será dada por
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então Nota Final = Média e o aluno está Aprovado;
Se Média < 40, então Nota Final = Média e o aluno está Reprovado;
Se 40 ≤ Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno precisará realizar o Exame Final e:
Se Nota Final ≥ 50 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado;
Se Nota Final < 50, então o aluno está Reprovado.
Lista 0 - Propriedades de Supremo e Ínfimo de conjuntos.
Lista 1 - Integral de Riemann. Teorema Fundamental do Cálculo.
Lista 2 - Somas de Riemann. Conjuntos de Medida Nula. Critérios de Integrabilidade. Propriedades de Funções Integráveis.
Lista 3 - Integrais Impróprias.
Lista 4 - Convergência Pontual e Uniforme de Sequências de Funções.
Lista 5 - Série de Funções.
Lista 6 - Série de Potências e Funções Analíticas
Lista 7 - Equicontinuidade. Teorema de Arzelà-Ascoli.
----- - 10/03/25 - Semana Acadêmica da Matemática.
----- - 13/03/25 - Semana Acadêmica da Matemática.
Aula 01 - 17/03/25 - Partições de um Intervalo. Refinamento. Somas Superiores e Inferiores de funcões limitadas. Funções Integráveis.
Aula 02 - 20/03/25 - Caracterização de Funções Integráveis. Propriedades da Integral.
Aula 03 - 24/03/25 - Integrabilidade da Soma. Exemplo do cálculo de integrais. Propriedades de funções dadas por uma integral.
Aula 04 - 27/03/25 - O Teorema Fundamental do Cálculo. O Teorema da Mudança de Variáveis e da Integração por Partes. A Fórmula de Taylor com Resto Integral.
Aula 05 - 31/03/25 - Somas de Riemann. A Integral como limite de Somas de Riemann. A oscilação de uma função.
Aula 06 - 03/04/25 - Conjuntos de Medida Nula. Critério de Lebesgue para Integrabilidade.
Aula 07 - 07/04/25 - Integrais Impróprias.
Aula 08 - 10/04/25 - Critério de Cauchy. Critério da Comparação para funções não-negativas. Funções absolutamente integráveis. Critério da Comparação no limite.
Aula 09 - 14/04/25 - Prova 01.
Aula 10 - 17/04/25 - Critério de Dirichlet. Exemplos de Funções integráveis que não são absolutamente integráveis. Integral de Fresnel. A Função Gama.
------ - 21/04/25 - Feriado: Tiradentes.
Aula 11 - 25/04/25 - Sequência de Funções. Convergência pontual e uniforme. Convergência Uniforme e Continuidade.
Aula 12 - 28/04/25 - Convergência Uniforme e Integrabilidade. Exemplos de como determinar se a convergência é uniforme ou não. Sequências de Cauchy.
------ - 01/05/25 - Feriado: Dia do Trabalhador.
Aula 13 - 05/05/25 - Equivalência entre Convergência Uniforme e Sequência de Cauchy. Convergência Uniforme e Diferenciabilidade. Teorema de Dini.
Aula 14 - 08/05/25 - Séries de Funções.
Aula 15 - 12/05/25 - Critério de Dirichlet. Revisão sobre Séries Numéricas e Testes de Convergência. Séries de Potências.
Aula 16 - 15/05/25 - Raio de Convergência de Séries de Potências.
Aula 17 - 19/05/25 - Resolução de Exercícios.
------ - 22/05/25 - Feira de Profissões UFPR 2025.
Aula 18 - 26/05/25 - Prova 02.
Aula 19 - 29/05/25 - Teorema de Abel. Integração e Derivação de Séries de Potências.
Aula 20 - 02/06/25 - Operações com Séries de Potências. Funções Analíticas.
Aula 21 - 05/06/25 - Propriedades de Funções Analíticas. Teorema da Estimativa de Cauchy.
Aula 22 - 09/06/25 - Equicontinuidade.
Aula 23 - 12/06/25 - Equicontinuidade Uniforme. Relações entre equicontinuidadade, compacididade e convergência de sequência de funções.
Aula 24 - 16/06/25 - Teorema de Cantor-Tychonov. Teorema de Arzelà-Ascoli.
------- - 19/06/25 - Feriado: Corpus Christi.
Aula 25 - 23/06/25 - Aplicação do Teorema de Arzelà-Ascoli. O Teorema da aproximação de Weierstrass.
Aula 26 - 26/06/25 - A Medida de Lebesgue na Reta.
Aula 27 - 30/06/25 - Prova 03.
Aula 28 - 03/07/25 - Segunda Chamada.
Aula 29 - 07/07/25 - Exame Final.