CMM202/CMI062 Análise I
CMM202/CMI062 Análise I
CMM202/CMI062 Análise I
Turma: CMM202 MAT 1/ CMI062 MI
Pré-Requisitos: MAT 1: CMM022 Cálculo 1
MI: Não há.
Aulas: Segundas-Feiras: 17h30 às 19h10 (Sala PA02)
Quartas-Feiras: 17h30 às 19h10 (Sala PA02)
Atendimento: Monitor: Lucas Nacif Giacomin (PPGM)
Terças-Feiras: 10h às 11h e 17h30 às 18h30 (Sala Monitoria PC).
Início: Segunda-Feira, 11 de agosto de 2025
Término: Quarta-feira, 17 de dezembro de 2025
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
Os avisos pertinentes a disciplina serão enviados por e-mail via SIGA. Sempre confiram o e-mail cadastrado (e a caixa de spam).
Caso o sistema SIGA esteja fora do ar, poderão encontrar as informações logo abaixo:
Atenção alunos ainda não matriculados no SIGA: O início das aulas será a partir do dia 11 de agosto de 2025.
Números naturais: Axiomas de Peano. O corpo dos reais: supremo, ínfimo e desigualdade triangular generalizada. Sequências e séries numéricas: critérios de convergência. Limites de funções. Funções contínuas e uniformemente contínuas. Teorema do Valor Intermediário. Diferenciabilidade. Regra da Cadeia. Teorema do Valor Médio. Máximos e mínimos. Fórmula de Taylor e aplicações da derivada.
Números naturais: Axiomas de Peano. Números naturais, inteiros e racionais. Conjuntos Finitos e Infinitos. Enumerabilidade.
O Corpo dos reais: Corpos. Corpos Ordenados. Valor Absoluto. Supremo e ínfimo de um conjunto. Números Reais.
Sequências Numéricas: Sequências. Limite de uma sequência. Propriedades artiméticas dos limites. Subsequências. Valor de aderência. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequências de Cauchy. Limites Infinitos.
Séries Numéricas: Convergência. Critério da Comparação e de Cauchy. Séries absolutamente convergentes. Os Testes da Raíz e da Razão. Teorema de Dirichlet.
Topologia da Reta: Ponto interior. Conjuntos Abertos. Pontos de aderência. Conjuntos Fechados. Pontos de Acumulação. Conjuntos compactos.
Limites e Continuidade de Funções: Definição e Propriedades Operatórias de Limites de Funções. Limites Laterais. Limites Infinitos e Limites no Infinito. Continuidade. Funções Contínuas em Intervalos. Teorema do Valor Intermediário. Funções Contínuas em Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass. Continuidade Uniforme.
Diferenciabilidade: Definição e Propriedades da Derivada num ponto. Propriedades Operatórias. Funções Deriváveis num intervalo. Regra da Cadeia. Teorema do Valor Médio. Máximos e Mínimos. Fórmula de Taylor.
Construção dos Conjuntos Numéricos: Definição formal dos conjuntos dos números Inteiros, Racionais e Reais.
LIMA, E. L. Curso de Análise vol. 1. 15ª Edição. IMPA: Rio de Janeiro, 2019.
DOERING, C. I. Introdução à Análise Matemática na Reta. SBM: Rio de Janeiro, 2021.
BARTLE, R. G; SHERBERT, D. R. Introduction to Real Analysis, Fourth Edition. John Wiley & Sons: New York, 2011.
TAO, T. Analysis I, Fourth Edition. Springer. Hindustan Book Agency: Nova Deli, 2022.
FIGUEIREDO, D. G. Análise I, 2ª Edição. LTC: Rio de Janeiro, 1996.
ABBOTT, S. Understanding Analysis, Second Edition. Springer. Nova York, 2015.
MACLANE, S. Mathematics Form and Function. Springer-Verlag. Nova York, 1986.
LIMA, E. L. Análise Real, volume 1. 10ª Edição. IMPA: Rio de Janeiro, 2008.
RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition. McGraw-Hill. Nova York. 1976.
AVILA, G. Introdução à Análise Matemática, 2ª Edição. Editora Blucher: São Paulo. 1999.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará REPROVADO.
A avaliação nesta disciplina se dará a partir de três provas com nota 100 cada e a média será:
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então Nota Final = Média e o aluno está Aprovado;
Se Média < 40, então Nota Final = Média e o aluno está Reprovado;
Se 40 ≤ Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno precisará realizar o Exame Final e:
Se Nota Final ≥ 50 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado;
Se Nota Final < 50, então o aluno está Reprovado.
Lista 1 - Funções Injetoras e Sobrejetoras. Imagem Direta e Imagem Inversa. Conjuntos Finitos.
Lista 2 - Corpos e Corpos Ordenados.
Lista 3 - Valor Absoluto. Supremo e ínfimo de um conjunto. Números Reais.
Lista 4 - Sequências Numéricas. Sequências Convergentes. Propriedades Aritméticas de Limites.
Lista 5 - Subsequências. Sequências de Cauchy. Limites Infinitos.
Lista 6 - Séries Numéricas: Convergência. Critério da Comparação, Teste da Raíz e da Razão. Teorema de Dirichlet.
Lista 7 - Topologia da Reta. Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos.
------ - 04/08/25 - Participação em Congresso - XII Workshop on Geometric Analysis of PDEs and Several Complex Variables
------ - 06/08/25 - Participação em Congresso - XII Workshop on Geometric Analysis of PDEs and Several Complex Variables
Aula 01 - 11/08/25 - Apresentação da Disciplina. Revisão sobre Operação de Conjuntos e Funções. Imagem Direta e Imagem Inversa.
Aula 02 - 13/08/25 - Conjuntos Finitos e Infinitos. Enumerabilidade.
Aula 03 - 18/08/25 - Propriedades de Conjuntos Enumeráveis. Corpos.
Aula 04 - 20/08/25 - Corpos Ordenados. Propriedades de Corpos Ordenados.
Aula 05 - 25/08/25 - Valor Absoluto. Corpos Arquimedianos.
Aula 06 - 27/08/25 - Supremo e Ínfimo de um conjunto. Corpos Completos. Incompletude dos Racionais. Os números Reais.
Aula 07 - 01/09/25 - Racionais são densos nos Reais. Intervalos. O Teorema dos Intervalos Fechados Encaixados.
Aula 08 - 03/09/25 - Não Enumerabilidade dos Reais. Sequências Numéricas. Sequências Limitadas e Subsequências. Sequências Monótonas. Limite de uma Sequência. Unicidade do Limite.
------- - 08/09/25 - Feriado: Padroeira de Curitiba
Aula 09 - 10/09/25 - Sequências limitadas monótonas são convergentes. Propriedades Operatórias de Limites.
Aula 10 - 15/09/25 - Subsequências. Teorema de Bolzano-Weierstrass.
Aula 11 - 17/09/25 - Sequências de Cauchy. Equivalência entre Convergência e Cauchy. Contrações.
Aula 12 - 22/09/25 - Limites Inferiores e Superiores de uma Sequência. Limites Infinitos.
Aula 13 - 24/09/25 - Prova 01.
Aula 14 - 29/09/25 - Propriedades Operatórias de Limites Infinitos. Cálculo de Limites Fundamentais.
Aula 15 - 01/10/25 - O número e. Séries Numéricas. Série Geométrica e Série Harmônica. Critério do Termo Geral para Convergência de Série. Critério da Comparação.
Aula 16 - 06/10/25 - Critério da Comparação com Limites; Teste da Raiz; Teste da Razão. Séries Absolutamente Convergentes.
Aula 17 - 08/10/25 - Convergência Absoluta implica em Convergência. Séries Condicionalmente Convergentes. Critério de Dirichlet e de Leibniz.
Aula 18 - 13/10/25 - Topologia da Reta. Ponto Interior e Conjuntos Abertos. Propriedades de Conjuntos Abertos. Conexidade de Intervalos Abertos.
Aula 19 - 15/10/25 - Ponto Aderente e Conjuntos Fechados. Propriedades de Conjuntos Fechados. Compacidade. Caracterização de Conjuntos Compactos via sequências.
------ - 20/10/25 - 16ª SIEPE – Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
------ - 22/10/25 - 16ª SIEPE – Semana Integrada de Ensino, Pesquisa e Extensão.
Aula 20 - 27/10/25 - Carazterização Topológica de Conjuntos Compactos. Pontos de Acumulação e Pontos Isolados. Definição de Limite de função. Unicidade do Limite e Conservação do Sinal.
Aula 21 - 29/10/25 - Prova 02.
Aula 22 - 03/11/25 - Teorema do Confronto. Propriedades Operatórias de Limites. Consequências da caracterização do limite de uma função via sequências. Limite de Funções Compostas. Limites Laterais.
Aula 23 - 05/11/25 - Limites no Infinito. Limites Infinitos. Propriedades Operatórias de Limites Infinitos e/ou no Infinito.
Aula 24 - 10/11/25 - Funções Contínuas. Propriedades Operatórias de Funções Contínuas. Exemplos. Composição de Funções Contínuas.
Aula 25 - 12/11/25 - Funções Contínuas em Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass. Teorema do Valor Intermediário.
Aula 26 - 17/11/25 - Continuidade Uniforme. Diferenciabilidade. Derivável num ponto implica continuidade neste ponto.
Aula 27 - 19/11/25 - Propriedades Operatórias da Derivada. A Regra da Cadeia. Derivada de Função Inversa.
Aula 28 - 24/11/25 - Máximos e Mínimos Locais. Teorema de Rolle. Teorema do Valor Médio. Consequências do TVM. Teorema de Darboux.
Aula 29 - 26/11/25 - Polinômios de Taylor. Teorema da Fórmula de Taylor com Resto Infinitesimal e Resto de Lagrange.
------ - 01/12/25 - Segunda Fase do Vestibular UFPR 2026.
Aula 30 - 03/12/25 - Prova 03.
Aula 31 - 08/12/25 - Definição formal dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Reais.
Aula 32 - 10/12/25 - Segunda Chamada.
------ - 15/12/25 -
Aula 33 - 17/12/25 - Exame Final.