Appelli

1°appello: Scritto 24/01/2024 (aula 1) Orale 02/02/2024 (aula 4) Testo

2°appello:Scritto 12/02/2024 (aula 1), Orale 20/02/2024 (aula 4) Testo

3°appello: Scritto 24/06/2024 (Aula 2), Orale 03/07/2024 h. 08:45 (Aula B2) Testo

4°appello: Scritto 08/07/2024 (Aula 2), Orale 12/07/2024, (aula 1200, Dipartimento di Matematica), 18/07/2024 (Aula B2) Testo

5°appello: Scritto 02/09/2024, Aula B2, h 8:45; Orale 06/09/2024 Aula B2 h 9:00; 

6°appello: Scritto 16/09/2024, Aula B4, h 8:45; Orale 19/09/2024 Aula B4 h 9:00;

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Regolamento esami:

L’esame finale (appello) prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma ed elementi di teoria. Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente accede alla prova scritta di teoria in cui verranno richieste Definizioni, enunciati e dimostrazioni (o idee di dimostrazione) di Teoremi, Esempi/controesempi, esercizi teorici sul programma svolto nel corso. Alcuni punti importanti per la prova di teoria sono indicati in un file nella sezione esercizi. Per ogni appello la data di questa seconda prova è indicata nell'elenco sopra (vedere la data indicata con Orale). 

Quest’ultima può influenzare positivamente o negativamente il voto dello scritto. 

Per passare l’esame occorre ottenere una votazione finale maggiore o uguale a 18/30 (sufficienza).

La prova di Teoria è facoltativa per i voti compresi fra 18 (incluso) e 23 (incluso). 

Chi ottiene una valutazione  fra 18 (incluso) e 23 (incluso) si può presentare alla prova di Teoria e ritirarsi nel caso in cui volesse mantenere il voto dello scritto. Se si consegna, però, la prova viene valutata e contribuisce al voto finale.

Per i voti maggiori o uguali a 24 la prova di Teoria è obbligatoria: se ci si ritira o non si è presenti, occorre rifare lo scritto. 

La prova di Teoria va svolta nello stesso appello dello scritto.

Pena l'esclusione, durante lo scritto non è consentito l'uso di telefoni cellulari, di dispositivi elettronici in grado di connettersi ad Internet, di calcolatrici elettroniche programmabili, di libri di testo e di appunti.

Per partecipare agli appelli è obbligatorio  iscriversi tramite la piattaforma Delphi. Fare attenzione ai periodi in cui è possibile prenotarsi.

Inoltre, per poter partecipare agli appelli, il giorno della prova gli studenti devono obbligatoriamente essere muniti di un documento d'identità in corso di validità (carta d'identità o patente o passaporto) da presentare per l'identificazione.

Diario delle lezioni
1. Serie numeriche: definizione, carattere di una serie.  Esempi: serie geometrica e serie armonica. Proprietà delle serie (con dimostrazione).
2. Serie di Mengoli. Teorema di Cauchy per le serie (con dimostrazione). Serie a termini positivi, Criterio del confronto (con dimostrazione), Criterio del confronto asintotico (con dimostrazione). Esercizi
3. Criterio del confronto asintotico caso limite a zero e infinito (con dimostrazione). Criterio del confronto integrale (con dimostrazione), seerie armonica generalizzata. Criterio della radice (con dimostrazione), criterio del rapporto (con dimostrazione). Esempi di applicazione dei criteri.
4. Esercizi con criteri di convergenza e con sviluppi di Taylor.
5. Serie a segno qualsiasi, convergenza assoluta implica convergenza semplice (con dimostrazione), criterio di Leibniz (con dimostrazione), Esercizi.
6. Definizione di Serie di potenze, definizione di raggio di convergenza. Teoremi su raggio di una serie di potenze (con dimostrazione). Teorema per determinazione del del raggio di convergenza (con dimostrazione). Esercizi
7. Richiami serie di potenze, esercizi su serie di potenze
8. Teoremi di  continuità, derivabilità e integrabilità della funzione serie di potenze (senza dimostrazione). Serie di Taylor e sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor. Esempi ed esercizi
9. Definizione di funzione analitica, Condizione sufficiente all'analiticità (con dimostrazione). Esercizi su serie
10. Topologia di R^n: Prodotto scalare su R^n, norma su R^n, distanza su R^n. Proprietà del prodotto scalare, Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprietà della norma, della distanza su R^n, dimostrazione disuguaglianze triangolari. Intorni sferici di R^n. punti interni, esterni, di frontiera, accumulazione, isolato. Insiemi aperti, chiusi, chiusura di un insieme, frontiera di un insieme.
11. Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass (solo enunciato). Successioni in R^n. Convergenza di successioni in R^n.  lemma una successione è convergente se e solo se convergono le sue componenti (con dimostrazione). Teoremi sulle successioni (senza dimostrazione). Esempi
12. Funzioni in più variabili, Limiti di funzioni, continuità, limite della funzione composta. composizione di funzioni. Esempi
13. Massimi e minimi assoluti e relativi di funzioni in più variabili. Teorema di Weierstrass (solo enunciato). Teorema Ponte (solo enunciato). Definizione di Curva. Continuità per funzioni ristrette a sottoinsiemi (con dimostrazione). Il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima è infinitesimo (con dimostrazione). Esercizi Limiti di funzioni e continuità di funzioni in più variabili.
14. Connessione per archi. Teorema degli zeri (con dimostrazione). Teorema dei valori intermedi (solo enunciato). Esercizi sui limiti.
Limite di  x^a y^b=o(x^4+y^4) per (x,y)->(0,0)
15. Per funzioni a valori scalari: Derivate parziali, Direzionali, Derivabilità, Differenziabilità, Teorema sulla differenziabilità: conseguenze della nozione di differenziabilità: continuità, esistenza delle derivate direzionali e loro relazione con il gradiente della funzione (con dimostrazione), piano tangente il grafico di una funzione, vettore gradiente. Esempi di funzioni non continue ma con derivate direzionali, derivabili direzionalmente non differenziabilii, per cui vale la formula del gradiente ma non differenziabili.
16. Esercizi su differenziabilità, Limiti
17. Richiami su relazione fra differenziabilità, derivabilità, derivate direzionali, continuità. Il gradiente dà la direzione di massima variabilità. Teorema del differenziale totale (con dimostrazione)
18. Definizione di funzione di classe C^1. Esercizi su differenziabilità, piano tangente, continuità delle derivate parziali, derivate direzionali, limiti.
19. Differenziabilità e derivabilità di funzioni a valori vettoriali. Matrice Jacobiana. Differenziabilità di una curva. Regola della catena (senza dimostrazione). Esempi.
20. Coordinate Polari. Derivate di ordine due e matrice Hessiana. Derivabilità e differenziabilità al secondo ordine. Teorema di Schwartz (solo enunciato). Formula di Taylor al primo e  Secondo ordine. Esempi
21. Insiemi convessi in R^n. La nozione di convessità per funzioni da R^n a R e relazione in termini del piano tangente al grafico della funzione. Il teorema sull’equivalenza tra (stretta-)convessità/(stretta-)concavità e matrice Hessiana sia (semi-)definita positiva/negativa (con dimostrazione). Definizione  di matrice definita positiva, negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa. Esempi.
22. Caratterizzazione matrice  Hessiana definita positiva per funzioni da R^2 a R. Punti critici, punti estremali liberi (massimi e minimo locali/relativi,massimi e minimo locali/relativi forti ), punti di sella. Teorema: ogni punto estremale libero è un punto critico (con dimostrazione). Teorema di identificazione dei punti estremali, come punti critici via convessità e via positività della matrice Hessiana (con dimostrazione). Esercizi su massimi e minimi locali di funzioni in più variabili.
23. Esercizi massimi e minimi locali (o relativi) liberi di funzioni in più variabili.
24. Esercizi massimi e minimi locali (o relativi) liberi di funzioni in più variabili.
25. Introduzione allo studio di estremi vincolati. Vincoli in 2 dimensioni, funzione implicita. Curva regolare. Teorema di Dini in dimensione 2
26. Dimostrazione Teorema di Dini (funzione implicita). Osservazione: Il gradiente è ortogonale alla  direzione della tangente il grafico della funzione implicita (con dimostrazione). Esercizi
27. Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (con idea di dimostrazione).  Esercizi su massimi e minimi vincolati, Moltiplicatori di Lagrange
28. Esercizi su massimi e minimi assoluti vincolati. Esercizi su massimi e minimi assoluti in domini compatti.
29. Teorema di Lagrange in dimensione 3. Integrazione in due variabili, definizione di integrale su un rettangolo e di funzione Riemann integrabile su un rettangolo, Integrale come volume sotto il grafico di una funzione. Enunciato: una funzione continua in un rettangolo è Riemann integrabile. Formula di riduzione per integrali di funzioni continue su un rettangolo.  Esercizi
30. Definizioni, enunciati , esempi e controesempi circa: Insiemi semplici, insiemi regolari. Funzioni integrabili su domini, Funzioni integrabili su domini semplici, Misura di un insieme, Insiemi di misura nulla. Il grafico di una funzione continua ha misura nulla, Unione finita di insiemi di misura nulla è di misura nulla, un insieme semplice ha misura nulla. Funzioni su insiemi regolari  continue tranne che in un insieme di misura nulla di punti di discontinuità sono integrabili. Formula di riduzione insiemi semplici (con dimostrazione). Esercizi.
31. Proprietà degli integrali. Definizione di diffeomorfismo globale. Diffeomorfismi globali hanno determinante del jacobiano diverso da zero (con dimostrazione). Teorema del cambio di variabili. Coordinate polari. Esercizi
32. Esercizi su integrazione in  2 dimensioni. Esercizi con cambio di variabile: coordinate  polari ed ellittiche in 2 dimensioni. Volume dell'ellissoide. Integrali su parallelepipedi in 3 dimensioni. Volume di un dominio in 3 dimensioni.
33. Integrali di funzioni in 3 variabili: integrazione per fili, Integrazione per strati, Cambio di variabile, coordinate sferiche
34. Esercizi con coordinate sferiche. Integrali impropri: integrale e^{-(x^2+y^2)} a su R^2, integrale della funziona gaussiana, integrale di 1/||x||^\alfa in zero e a infinito in dim 2 e 3. Richiami sulle curve, lunghezza di una curva, Lunghezza grafico di una funzione, esercizi
35. Curve, cambio di parametrizzazione, cambi di parametrizzazione con cambio di orientazione, Esempi. La lunghezza di una curva non dipende dalla parametrizzazione (senza dimostrazione, esempi). Integrali di funzioni scalari lungo una curva (integrali di prima specie), Significato geometrico. L'integrale di una funzione scalare lungo una curva non dipende dalla parametrizzazione (senza dimostrazione). Esercizi.
36. Campi vettoriali e Forme differenziali. Integrali di seconda specie. Teorema: l'integrale di una forma differenziale è invariante per parametrizzazione equivalenti con stessa orientazione, cambia segno per parametrizzazioni equivalenti con orientazione opposta (con dimostrazione). Integrali nel caso di curve C^1 a tratti. Esercizi.
37. Definizione potenziale, di forma differenziale esatta, Forma differenziale chiusa. Formula: integrale di una forma esatta lungo un cammino (con dimostrazione). Una forma esatta è una forma chiusa (con dimostrazione). Teorema di formulazioni equivalenti di forma differenziale chiusa. In particolare una forma differenziale esatta ha integrale nullo su un cammino chiuso (con dimostrazione). Esempi di forme differenziali non chiuse, di forme differenziali chiuse ed esatte, di forme differenziali chiuse non esatte. Esercizi su  calcolo del potenziale di una forma differenziale esatta.
38. Definizione di campo vettoriale conservativo. Definizione di Rotore e di campo irrotazionale. Relazione fra campo conservativo-forma esatta e campo irrotazione-forma chiusa. Definizione di insieme semplicemente connesso, esempi. Teorema: Una forma chiusa su un dominio semplicemente connesso è esatta (senza dimostrazione). Teorema di Gauss-Green (senza dimostrazione). Esempio di applicazione per il calcolo di area. Esempi ed esercizi.
39. Esercizi su forme differenzialli, applicazioni di Gauss green. Formule di area, esercizi. Curve omotope, esercizi su forme differenziali chiuse, aperte. Integrali: integrale di funzioni dispari e di funzioni pari su domini simmetrici
40. Dimostrazione Teorema Gauss-Green, calcolo di area contenuta in una curva semplice chiusa. Superfici, parametrizzazione di una superficie. Esempi: Superfici cartesiane, sfera, superfici di rotazione, toro. Vettori tangente una superficie, esempi superfici cartesiane.
41. Vettori tangente superfici di rotazione, Vettore e versore normale, Esempi: vettore e versore normale a superfici cartesiane e di rotazione. Definizione di una superficie regolare. Formula di Area di una superficie regolare. Esempi: area di superficie cartesiana (paraboloide) e di rotazione (toro). Integrale lungo una superficie. Definizione di superficie orientabile.
42. Integrali lungo superficie cartesiana. Esempi. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempio: Flusso attraverso superficie cartesiana, esempi. Esercizi di riepilogo (Integrali e estremi vincolati con moltiplicatori di Lagrange).
43. Relazione fra gradiente, rotore, divergenza. Teorema della divergenza (senza dimostrazione). Esempi di applicazione: calcolo area della sfera, Teorema di Gauss ed equazione di Maxwell per il campo elettrico. Superfici con bordo.
44. Orientazione bordo di superfici cartesiane. Teorema di Stokes, il teorema di Gauss Green come Teorema di Stokes in 2 dimensioni. Esercizi di riepilogo serie.
45. Integrali dipendenti da parametro. Esercizi di riepilogo

Programma di massima:

SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI:

 -serie numeriche -serie di potenze.

FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI

-continuità, derivate parziali, differenziabilità -massimi e minimi locali e globali -funzioni definite implicitamente massimi e minimi vincolati.

INTEGRALI MULTIPLI: 

-formule di riduzione -cambiamento di coordinate: polari, ellittiche, cilindriche, sferiche -integrali impropri.

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI: 

-curve parametriche -integrali curvilinei di campi vettoriali o forme differenziali -formule di Gauss-Green.

SUPERFICI E INTEGRALI SUPERFICIALI: 

-superfici parametriche -integrali superficiali di campi vettoriali o forme differenziali -formule di Stokes e Gauss.