Programma di Calcolo 2

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Serie di potenze: generalità sulle serie di funzioni; serie di potenze, intervallo e raggio di convergenza; somma di una serie di potenze e relativa regolarità; teorema di derivazione termine a termine e teorema di integrazione termine a termine; serie di Taylor.

Topologia in R_n : intorni nell’asse reale, insiemi aperti; intorni, insiemi aperti e chiusi negli spazi Rn ; insiemi connessi e compatti. Generalità sulle funzioni a valori reali di più variabili reali: dominio, limiti, continuità.

Calcolo differenziale: derivate parziali; funzioni di classe C_k ; matrice jacobiana, gradiente e differenziale; piano tangente; relazione tra differenziabilità, derivate parziali e funzioni di classe C₁ ; derivate direzionali; derivate parziali seconde; uguaglianza delle derivate parziali seconde miste, teorema di Schwarz; formula di Taylor al secondo ordine.

Ottimizzazione: massimi e minimi relativi per funzioni da R₂ a R; punti stazionari e teorema di Fermat; punti di sella; matrice hessiana; massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili; massimi e minimi vincolati per una funzione di due variabili; tecniche per lo studio dei massimi e minimi di una funzione ristretta ad una curva del piano: riduzione del numero delle variabili.Parametrizzazione della curva con un parametro t, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Equazioni differenziali ordinarie: generalità; equazioni del primo ordine a variabili separabili; teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy; equazioni lineari; soluzione generale di un’equazione lineare del primo ordine non omogenea; equazioni differenziali lineari del secondo ordine; la struttura dell’integrale generale; equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; polinomio caratteristico; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee; metodo di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange; metodo di somiglianza.

Integrali curvilinei e forme differenziali lineari: curve di R_n ; arco semplice, regolare; lunghezza di un arco; teorema di rettificabilità delle curve di classe C₁;cambiamento ammissibile di parametro;ascissa curvilinea; integrale curvilineo di una funzione continua; archi orientati; forme differenziali lineari.

Integrali multipli: definizione di integrale doppio per funzioni continue su un dominio regolare del piano; somme di Riemann; proprietà dell’integrale doppio ed interpretazione geometrica; formule di riduzione per integrali doppi; cambiamento di variabili negli integrali doppi; integrali doppi in coordinate polari.Formule di Gauss-Green;teorema della divergenza.Formula di Stokes.Formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare.