Home

Newsletter
La suggestione del pi-greco.pdf

Dalla parte dell'incertezza

«Il dubbio è uno dei nomi dell’intelligenza»

Jorge Luis Borges (1899-1986)

«Perché mai, o déi, due e due dovrebbe dar quattro?»

Alexander Pope (1688-1744)


Sosteneva Pierre Simon de Laplace (1749-1827) che Isaac Newton (1642-1727) era un uomo fortunato poiché in natura esiste una sola legge di Gravitazione Universale ed era stato proprio lui a scoprirla. Ed ancora, in apertura al suo famoso “Saggio filosofico sulle probabilità” (1812), che:

“un’Intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze da cui è animata la natura e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se per di più fosse abbastanza profonda da sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti più grandi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi (…)”.

Stiamo parlando, ovviamente, di quella visione analitica ed estremamente razionale della Natura che viene ricordata ancor oggi col nome di “determinismo” laplaciano, e che rappresenta il leitmotiv che accomuna un po’ tutte le opere del grande studioso francese.

D’altra parte, quando all’inizio dell’Ottocento Napoleone chiedeva proprio a Laplace come mai, in un’opera monumentale qual era la sua “Meccanica celeste”, l’autore non avesse mai ipotizzato l’esistenza di Dio, Laplace rispondeva che per scriverla non gli era stato "necessario servirsi di quell’ipotesi"

Sosteneva David Hilbert (1862-1943), sul finire dell’Ottocento, che la Matematica, ovvero tutto ciò che in essa si afferma potesse essere ricondotto semplicemente ad alcuni assiomi di partenza opportunamente scelti, sulla base dei quali poter dimostrare, appunto, ogni proposizione interna alla matematica stessa - anzi, direi che questo rimase il sogno più grande del padre del formalismo matematico.

Oggi sappiamo che tanto Laplace quanto Hilbert si sbagliavano. Tuttavia, anche se sono crollate sia le certezze del determinismo sia quelle del formalismo, direi che siamo immensamente più ricchi, essendosi aperti davanti a noi, d’un tratto, nuovi orizzonti di ricerca.

In Fisica c’è una differenza sottile, ma non banale, tra ciò che si definisce “Legge” e ciò che si definisce “Principio”.

Le leggi vengono provate in laboratorio e descrivono, in sintesi matematica, la natura di un fenomeno.

È una precisa “Legge”, ad esempio, quella che descrive il fenomeno per cui la Terra ruota intorno al Sole - la “Gravitazione Universale”, già ricordata più sopra - oppure quella che descrive in che modo due corpi puntiformi carichi si attraggono o si respingono – la “Legge di Coulomb”.

Un “Principio” è molto di più: è qualcosa che nessuno ha mai smentito e di conseguenza costituisce il fondamento di una determinata parte della Fisica.

Sono principi quello di “inerzia” oppure quello di “conservazione dell’energia meccanica” (sistemi conservativi); è un principio, ancora, quello secondo cui, se due corpi sono posti a contatto, il calore fluisce “spontaneamente” sempre dal corpo a temperatura maggiore a quello a temperatura minore, fino a che entrambi non si portano all’equilibrio termico (variante del “Secondo Principio della Termodinamica”).

Essi affermano proprietà così evidenti e sempre verificate - almeno nell’ambito della Meccanica classica - che sarebbe riduttivo definirli leggi.

Quasi sempre un principio definisce anche un limite imposto dalla natura.

Supponiamo, invero, di conoscere, ad un dato istante, la posizione esatta occupata da un elettrone che si stia muovendo in una regione dello spazio. In questo caso, l’esperienza prova che non potremo mai risalire, in alcun modo, alla velocità esatta della particella in quello stesso istante.

Viceversa, se conoscessimo in modo esatto la sua velocità, allora non riusciremmo mai ad ottenere alcuna informazione valida sulla sua posizione.

Tale limite, imposto dalla natura indipendentemente dall’abilità di chi conduce le misure, prende il nome di “Principio di indeterminazione” di Heisenberg (1927) e può essere considerato il punto di partenza della cosiddetta “Meccanica Quantistica”, ovvero quella parte della Fisica moderna che fonda su leggi probabilistiche e secondo cui, il semplice atto di “osservare” un certo fenomeno fisico produce effetti sul sistema osservato ed interagisce con esso.

Com’è facile intuire, si tratta di un principio assolutamente incompatibile col determinismo laplaciano e le cui conseguenze aprono scenari del tutto inimmaginabili in passato.

Se in ambito fisico lo spettro dell’incertezza si chiama “indeterminazione”, e fa capo al già citato principio di Heisenberg, in matematica prende il nome di “indecidibilità”, e fonda su uno dei più importanti teoremi che siano mai stati dimostrati.

In matematica, un “assioma” è un’affermazione che viene assunta vera senza che la si dimostri. Un teorema invece è un’affermazione a cui si giunge, per dimostrazione, partendo da alcuni presupposti iniziali considerati “veri” e a cui si dà il nome di “ipotesi” - si pensi ad esempio al celebre “Teorema di Pitagora”, che esprime una precisa proprietà relativa ai lati di ogni triangolo rettangolo…

Uno degli assiomi più noti è probabilmente quello delle parallele introdotto da Euclide nel III secolo a.c., sulla base del quale, in sostanza, due rette parallele non hanno punti in comune.

Questa affermazione non si dimostra e partendo dal suo contenuto si riesce a costruire quella che chiamiamo “Geometria euclidea”, spesso utile per una descrizione razionale del mondo visibile.

Se, però, si assume per assioma che due rette parallele abbiano un punto in comune, allora è possibile costruire una nuova geometria, non euclidea, altrettanto coerente e che trova notevoli applicazioni in diversi campi della scienza.

Quali che siano gli assiomi scelti su cui fondare una teoria matematica formale, è ragionevole pensare che essi debbano costituire sempre ciò che viene detto un “sistema coerente e completo”.

Affinché un sistema di assiomi sia coerente (non contraddittorio), deve accadere che, partendo dagli assiomi, non si giunga a dimostrare che una certa affermazione risulti contemporaneamente vera e falsa.

Affinché il sistema risulti, invece, completo, è necessario che ogni affermazione (o la sua contraria) all’interno della teoria costituisca un “teorema”, cioè un asserto “dimostrabile”.

Come già accennato, su tale presupposto di coerenza e completezza fondava appunto il più grande sogno di Hilbert: riuscire a trovare il migliore dei sistemi assiomatici possibili, cioè quel sistema di assiomi, coerente e completo, a cui ricondurre non una precisa teoria matematica, ma addirittura “tutta” la Matematica.

Prima di proseguire, prendiamo in considerazione la seguente affermazione, nota anche come paradosso di Epimenide, noto filosofo dell’antichità.

http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_mentitore

Epimenide afferma:

«Io sono un mentitore»

Se volessimo stabilire se tale proposizione è dimostrabile, sorgono problemi.

Ammesso che sia “vera”, infatti, avremmo che Epimenide starebbe affermando una cosa vera dichiarando, però, di essere uno che mente, e dunque ci sarebbe un’evidente contraddizione.

D’altra parte, l’affermazione non può essere neppure “falsa” (il che equivarrebbe ad ammettere che è vera la sua contraria), poiché, in questo caso, avremmo che Epimenide sarebbe uno che dice il vero, ma il suo affermare di essere un mentitore porgerebbe ancora una volta una contraddizione.

Quella appena considerata è un esempio di proposizione “indecidibile”, cioè una proposizione della quale, se riuscissimo a dimostrare che è vera o che tale è la sua contraria, avremmo in ogni caso una contraddizione, con conseguente perdita di coerenza del sistema in cui sia stata definita.

L’esistenza di tali proposizioni costituì motivo di grande imbarazzo per i matematici di fine Ottocento, ma all’inizio del nuovo secolo fu anche il punto di partenza degli studi di Kurt Godel (1906-1978), un giovane matematico austriaco autore di un teorema – in realtà due teoremi, il secondo ancora più destabilizzante del primo - tra i più straordinari della letteratura scientifica di ogni tempo.

Cerchiamo di capire il perché.

Supponiamo, per un attimo, di essere riusciti a costruire un sistema formale di assiomi matematici che fondi sulla coerenza, cioè un sistema che, se si utilizzano le regole della logica, non consenta di provare che una qualche affermazione interna al sistema è contemporaneamente vera e falsa.

Ebbene, il “Teorema di incompletezza” di Gödel (1931) stabilisce che un tale sistema non potrà mai essere “completo”, il che equivale a dire che esisterà sempre, all’interno del sistema stesso, almeno un’affermazione “indecidibile”, cioè un’affermazione “vera” e pur tuttavia non dimostrabile!

Ma la questione è ancor più sottile.

Se volessimo aggirare l’ostacolo decidendo di elevare ad assioma tale affermazione (assumendo vera, indifferentemente, essa o la sua contraria), in modo da non doverla più dimostrare (si ricordi che un assioma è, per definizione, un’affermazione vera che non si dimostra), il nuovo e più ampio sistema che verremmo così a costruire porterebbe nuovamente, al suo interno, almeno una proposizione indecidibile.

Si tratta di un risultato eccezionale, la cui importanza non poteva essere colta e accettata rapidamente dalla comunità scientifica del tempo. Occorreva un sacrificio: bisognava voltar pagina e diventare improvvisamente adulti, abbandonando per sempre un sogno – quello di Hilbert – assolutamente irrealizzabile.

Malgrado gli ostracismi iniziali, alla fine anche i più conservatori dovettero arrendersi all’evidenza dei fatti e riconoscere il genio di Gödel. Quest’ultimo, nel 1978, ormai malato di mente, si sarebbe lasciato morire di denutrizione in quanto convinto che qualcuno avesse intenzione di avvelenarlo.

La grandezza del suo teorema, naturalmente, è sopravvissuta. E per l’enorme contributo che il suo autore ha dato alla Matematica, all’inizio del nuovo millennio, non a caso, Time ha indicato proprio in Kurt Gödel “il matematico più rappresentativo del ventesimo secolo”.

Il “Principio di indeterminazione” di Heisenberg ed il “Teorema di incompletezza” di Gödel rappresentano due dei più importanti risultati della conoscenza umana. Il primo è appannaggio della Fisica, l’altro della Matematica.

Entrambi, se da una parte hanno aperto una voragine in ambito scientifico mostrando l’impossibilità di risolvere in positivo la cosiddetta “Crisi dei Fondamenti”, dall’altro hanno creato nuovi campi di indagine e dato vita, soprattutto, ad un nuovo modo di pensare.

vedi..

La curva di Helge von Koch

La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione.La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi, è ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza:

  1. dividere il segmento in tre segmenti uguali;
  2. cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
  3. tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.

Costruzione della curva di Koch:

  • prima iterazione

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.

  • iterazioni successive

In ogni passo della generazione della curva che abbiamo descritto otteniamo una curva continua che possiamo pensare parametrizzata da una funzione continua sull'intervallo [0,1]. Se si definiscono le parametrizzazioni in modo "ragionevole" si ha che la curva corrispondente ad ogni passo differisce dalla curva del passo precedente di quantità via via sempre più piccole. Si può dimostrare che questa successione di curve è una successione di Cauchy nello spazio di Banach delle curve continue su [0,1] e quindi deve convergere ad un punto limite nello spazio delle curve continue, questo limite è la Curva di Koch.

La curva di Koch così definita gode delle seguenti proprietà:

  • è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine;
  • ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo;
  • è autosimile: contiene una sua parte che è una trasformazione omotetica della curva intera.
  • non è derivabile in nessun punto, infatti una curva derivabile in un punto vista su scale sempre più piccole intorno al punto tende ad essere vicina ad una retta (la tangente) passante per quel punto , la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sé stessa.

Per approfondire, vai al link Curva di von Koch

Numeri amici

Due mercanti medievali, legati da grande amicizia, avevano studiato la struttura dei numeri, le proprietà dei numeri perfetti, i misteri della cabala, e avevano deciso in omaggio a complicate concezioni astrologiche, di operare sempre con numeri che fossero esatti divisori delle loro proprietà. Probabilmente fu questa regola, poco adatta al loro mestiere di mercanti, che li portò alla rovina. Quindi si ritirarono dal commercio, decisero di donare i loro averi e di andare a vivere in un convento. Il primo rimase con 284 fiorini, calcolò i divisori di 284, che sono 1, 2, 4, 71, 142, e dispose di donare un numero di fiorini pari a tali divisori a parenti, amici e benefattori secondo la sua valutazione. Alla fine gli avanzavano ancora 64 fiorini. Al suo amico erano rimasti 220 fiorini. Anch’egli aveva calcolato i divisori del suo avere e aveva trovato che erano 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Dispose dei lasciti alle persone care pari ai divisori trovati. Purtroppo si rese conto che gli mancavano ben 64 fiorini. I due mercanti misero a confronto le loro soluzioni e concordarono che era sufficiente scambiarsi gli averi per poter entrambi distribuire i loro fiorini così come avevano calcolato.

Cose di questo tipo capitano soltanto a veri amici, proprio per questo motivo i numeri 220 e 284 sono detti dai matematici “numeri amici”. Dunque, sono amicabili due numeri per i quali la somma dei divisori di uno è proprio l’altro numero, e viceversa. La somma dei divisori di 284 è 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. La somma dei divisori di 220 è 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 +55 + 110 = 284.Negli ultimi dieci anni la ricerca di numeri amicabili ne ha fatto lievitare la quantità. Al giugno 2006 ne erano noti poco più di 11 milioni, di cui alcuni con migliaia di cifre.

Se un numero è amicabile di se stesso, cioè se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è euguale a se stesso (come il numero 28), è chiamato "numero perfetto".Come vedete i matematici non sono poi così insensibili al fascino della fantasia e delle belle storie. Per convincervi ancora di più ecco alcuni altri numeri affascinanti.

Si dicono “numeri fidanzati” due numeri per i quali la somma dei divisori di un numero (uno escluso) è uguale all’altro numero. Sono fidanzati i numeri 48 e 75. Infatti, i divisori di 48 sono 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24; la loro somma è 75; i divisori di 75 sono 3, 5, 15, 25; la loro somma è 48.

Le coppie di numeri amicabili e le catene di numeri socievoli sono sempre o tutti pari o tutti dispari. Si può osservare, invece, che due numeri fidanzati sono sempre uno pari e l'altro dispari; infatti, Pitagora distinse i numeri pari come femminili e i numeri dispari come maschili. La prima coppia di numeri fidanzati, detti anche promessi sposi, è 48 e 75; la coppia più grande nota oggi invece è 2102750 e 2681019

Si prende un numero, si elevano al quadrato le sue cifre e si sommano i risultati, quindi si ripete l'operazione con il numero ottenuto. Se dopo un po’ di passaggi si raggiunge il numero 1, il numero di partenza è detto “numero felice”. 19 è un numero felice, perché 1+81=82; 64+4=68; 36+64=100; 1+0+0=1.