Programma di Analisi Matematica

Teoria elementare degli insiemi: Il concetto di insieme;operazioni con gli insiemi; insiemi finiti, insiemi infiniti

Relazioni e funzioni: Relazioni, funzioni;classi di equivalenza, insieme quoziente;relazioni d'ordine

L'insieme R dei numeri reali: Struttura dei numeri reali; estremo superiore ed estremo inferiore; funzioni elementari.

L'insieme C dei numeri complessi: Rappresentazione, operazioni,potenze e radici ennesime; teorema fondamentale dell’algebra.

Topologia naturale di R: Intorni, punti interni, insiemi aperti; punti di accumulazione, punti isolati, punti frontiera, insiemi chiusi.Insiemi compatti e connessi.

Successioni numeriche: Il concetto di limite; successioni infinitesime e successioni infinite; successioni monotone; algebra dei limiti; forme indeterminate; limiti notevoli; il numero di Nepero.

Limiti di funzioni: Infinitesimi ed infiniti; teoremi (unicità, permanenza del segno, limitatezza locale, confronto).Forme di indecisione.Limiti notevoli.

Continuità: Classificazione, teoremi (Weierstrass, esistenza degli zeri, valori intermedi). Proprietà delle funzioni monotone; funzioni invertibili e funzione inverse.Funzioni composte.

Calcolo differenziale: Significato geometrico di derivata e di differenziale; algebra delle derivate; teorema di Fermat; massimi e minimi relativi; teoremi di Rolle e di Lagrange; regole di de l’Hospital; formula di Taylor. Studio di funzioni.

Integrale di Riemann: Caratterizzazione delle funzioni integrabili; la funzione integrale; primitive di una funzione; teorema fondamentale del calcolo integrale; teorema della media.Integrazione per parti e integrazione per sostituzione.Integrali indefiniti.Metodi di integrazione.

Topologia in R_n : intorni nell’asse reale, insiemi aperti; intorni, insiemi aperti e chiusi negli spazi Rn ; insiemi connessi e compatti. Generalità sulle funzioni a valori reali di più variabili reali: dominio, limiti, continuità.

Calcolo differenziale: derivate parziali; funzioni di classe C_k ; matrice jacobiana, gradiente e differenziale; piano tangente; relazione tra differenziabilità, derivate parziali e funzioni di classe C₁ ; derivate direzionali; derivate parziali seconde; uguaglianza delle derivate parziali seconde miste, teorema di Schwarz; formula di Taylor al secondo ordine.

Ottimizzazione: massimi e minimi relativi per funzioni da R₂ a R; punti stazionari e teorema di Fermat; punti di sella; matrice hessiana; massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili; massimi e minimi vincolati per una funzione di due variabili; tecniche per lo studio dei massimi e minimi di una funzione ristretta ad una curva del piano: riduzione del numero delle variabili.Parametrizzazione della curva con un parametro t, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Equazioni differenziali ordinarie: generalità; equazioni del primo ordine a variabili separabili; teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy; equazioni lineari; soluzione generale di un’equazione lineare del primo ordine non omogenea; equazioni differenziali lineari del secondo ordine; la struttura dell’integrale generale; equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; polinomio caratteristico; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee; metodo di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange; metodo di somiglianza.