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El problema del campo eléctrico, se vio que en situaciones en las que había una distribución de carga con un alto grado de simetría, con frecuencia era más fácil usar la ley de Gauss para encontrar E. Asimismo, existe una ley que nos permite obtener con más facilidad los campos magnéticos generados por distribuciones de corriente con un alto grado de simetría. Pero la ley que permite hacer esto, llamada ley de Ampère, es de carácter muy diferente del que tiene la ley de Gauss.
La ley de Ampère está formulada no en términos del flujo magnético, sino de la integral B de línea de alrededor de una trayectoria cerrada que se denota como
Para evaluar esta integral, se divide la trayectoria en segmentos infinitesimales dl para cada uno de los cuales se calcula el producto escalar B.dl , y se suman los resultados. En general, B varía de un punto al otro, y se debe emplear el valor de B en la ubicación de cada dl. El círculo sobre el signo de la integral indica que ésta se calcula siempre para una trayectoria cerrada, es decir, una trayectoria cuyos puntos inicial y final son iguales.
Ley de Ampère para un conductor largo y recto
Ley de Ampère para un conductor largo y recto
Para introducir la idea básica de la ley de Ampère, consideremos otra vez al campo magnético generado por un conductor largo y recto que transporta una corriente I.
Tomemos la integral de línea de B alrededor de uno de tales círculos con radio r. En cada punto del círculo, B y dl son paralelos, por lo que B.dl=B.dl, como r es constante alrededor del círculo, B también es constante. Alternativamente, podemos decir que es constante e igual a B en cada punto del círculo. Por lo tanto, podemos sacar a B de la integral. La integral restante simplemente es la circunferencia del círculo, por lo que
Así, la integral de línea es independiente del radio del círculo e igual a m0 multiplicado por la corriente que pasa a través del área limitada por el círculo.
En la figura b, la situación es la misma, pero ahora la trayectoria de integración va alrededor del círculo en sentido opuesto. Ahora B y dl son antiparalelos, por lo que B.dl=-B.dl y la integral de línea es igual a -m0I. Se obtiene el mismo resultado si la trayectoria de integración es la misma que la de la figura a, pero se invierte la dirección de la corriente. Así, la integral de línea es igual a m0 multiplicado por la corriente que pasa a través del área limitada por la trayectoria de integración, con signo positivo o negativo en función de la dirección de la corriente con respecto a la dirección de integración.
Ley de Ampère: Enunciado general
Ley de Ampère: Enunciado general
La ecuación casi es, aunque no plenamente, el enunciado general de la ley de Ampère. Para generalizar aún más, suponga que varios conductores largos y rectos pasan a través de la superficie limitada por la trayectoria de integración. El campo magnético total B en cualquier punto de la trayectoria es la suma vectorial de los campos generados por los conductores individuales. Así, la integral de línea de B total es igual a m0 multiplicado por la suma algebraica de las corrientes.
Al calcular esta suma se utiliza la regla de los signos para corrientes que describimos antes. Si la trayectoria de integración no encierra un alambre particular, la integral de línea del campo B de ese alambre es igual a cero, ya que el ángulo omega correspondiente a ese alambre barre un cambio neto de cero en vez de 2pi durante la integración. Todo conductor presente que no esté encerrado por una trayectoria particular puede contribuir al valor de B en todos los puntos, pero las integrales de línea de sus campos alrededor de la trayectoria tienen un valor de cero. De esta forma, en la ecuación anterior se puede remplazar I por Ienc, la suma algebraica de las corrientes encerradas o enlazadas por la trayectoria de integración, con la suma evaluada con base en la regla de los signos que se acaba de describir. Así, el enunciado de la ley de Ampère es :
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