一見すると難しそうに見える問題でも、別の空間に移ってみると解ける問題になっていて、その空間で問題を解いておいてから元の空間に戻ってくるとよい、という状況は、ときどき生じることがあります。例えば、ある行列のn乗を求めたいとき、その行列が定義する線形変換をジョルダン標準形に表現できる空間に移ってからn乗を求めて、そのあとで元の空間に戻ってくればよい、というのはよく知られていると思います。この二つの例は、まったく同じ構造になっています。数学者の先生なら、これと同じ状況がいろいろな場面で現れることをよく知っていらっしゃるでしょう。また、上の二つの例は、どちらも線形変換で移りあえる空間を考えていましたが、非線形微分方程式であっても、巧妙に非線形変換を作ることでこれと同じ構造を見つけて解くことができる場合があります（例：KdV方程式の逆散乱法）。解ける非線形微分方程式はその源に数学的な自然を持っているのだろうか、と考え始めれば、そこから先にさらに新しい数学の世界が存在することが知られています。

（注1）どうして式(1)を計算したい気持ちになったのか、その理由に興味があるかたは状態密度関数をごらんください。もしかしたら、このページをお読みくださっている皆さまも同じような状況に出会われることがあるかもしれません。例えば、式(2)はゲルファントのゼータ関数あるいは井草のゼータ関数と呼ばれるものですが、ゼータ関数は (   )^z  の和や積分の形をしているため、ゼータ関数がでてくるところなら（つまり数学の多くの分野において）メリン変換や逆メリン変換が現れてきます。なお、リーマンのゼータ関数は積分を使って表すことができて

      Γ(z) ζ(z)= ∫x^{z-1}  / (exp(x)-1) dx 

となっています。ここで Γ(z) はガンマ関数

      Γ(z) = ∫x^{z-1} exp(-x) dx 

です。すなわち、Γ(z)ζ(z) も Γ(z) もある関数のメリン変換として表すことができます。この ζ(z) がたくさんあるゼータ関数の中の起源であり、ラスボスでもあります。

(注2) もしかしたら、次のことを疑問に思われたかたもあるかもしれません。(a) 『 δ(t-x^6y^10) は (x,y) の超関数として well-defined なのか』。実際に t=0 では well-defined ではないです。しかし t>0 では t-x^6y^10=0 が特異点を持たないことから、この超関数は well-defined に定義することができます。より一般に δ(t-f(x,y)) はどんな f(x,y) に対して定義できるのか、という問題に関心があるかたは「サードの定理」を調べてみることをお勧めします。(b) 『(x,y) に関する超関数でパラメータ t を持つもの δ(t-x^6y^10) を t に関する超関数だと考えて先に t について積分してもいいのか』。積分されるのは普通の関数ではないので、Fubiniの定理で扱える対象ではありません。しかし、dxdy はそもそもルベーグ積分やリーマン積分ではなく、また δ(t-x^6y^10) の t に関する「積分」は、超関数の集合の上でのメリン変換（極限操作）を意味していて、それは超関数の位相で収束します（このケースでは、その結果は普通の関数 x^{6z}y^{10z} の積分で表される超関数となります）。見かけ上は以上のことが「積分の順番をかえている」ことに相当します。