Кобордизмы

В этой области получено очень много красивых и фундаментальных результатов, многие идеи оказались востребованы в других областях математики - про все это написаны книги и обзоры, но для получения адекватной картины недостаточно познакомиться лишь с одним таким источником.

Так что в обзорной части ограничимся тем, что доступно на русском языке.

Идея трансверсальной регулярности, лежащая в ядре конструкции Понтрягина-Тома, возникла в работах Л. С. Понтрягина (1938, 1950).

Очень полезно посмотреть параграфы 6 и 7 в
Л. С. Понтрягин «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» (Тр. МИАН 1955).

Можно также полистать книгу Милнор, Уоллес «Дифференциальная топология. Начальный курс» со стр. 232.

Понтрягин свел задачу вычисления гомотопической классификации отображений (n+k)-мерной сферы в n-мерную сферу к вычислению групп бордизмов k-мерных многообразий с n-оснащением и реализовал его для k=1,2. Случай k=3 был рассмотрен В. А. Рохлиным.

Решая проблему реализации классов сингулярных гомологий отображениями многообразий (проблема реализации циклов),
Р. Том пошел в обратном направлении — свел вопрос к гомотопическим свойств некоторых пространств (пространств Тома) (1954).

Идеи Понтрягина и Тома нашли многочисленные применения в последующие 10-12 лет.

В 1960 г. Атья ввел термин «теория (ко)бордизмов», до этого использовался термин «внутренние гомологии»

В 1966 г. на международном конгрессе математиков в Москве С. П. Новиков анонсировал программу, опубликованную годом позже в статье «Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов». Эта работа оказалась невероятно значимой.

В частности, в ней были построена спектральная последовательность Адамса-Новикова и вычислены алгебры стабильных операций в ряде теорий кобордизмов.

Стоп-стоп! А что же почитать для начала?

Во-первых, совершенно необходимо познакомиться трансверсальной регулярностью и с конструкцией Понтрягина-Тома, например, по упомянутому выше параграфу из книги Понтрягина.

Во-вторых, стоит познакомиться с обзорами, в которых описаны внешние приложения теории (ко)бордизмов, т.е. понять, какие задачи в топологии были решены методами этих теорий.

• Рохлин, Теория внутренних гомологий (УМН, 1959)

• Новиков, Новые идеи в алгебраической топологии (K-теория и ее применения) (УМН,1965)

• Бухштабер, Комплексные кобордизмы и формальные группы (УМН, 2012)

В-третьих, особую ценность представляют обзорные работы С. П. Новикова

• Топология (ВИНИТИ 1986)

• Топология (2002) — расширенная версия предыдущего текста

• Алгебраическая топология (тр. МИАН, 2004)

• Топология в XX веке — взгляд изнутри (УМН, 2004)

Наконец, для изучения можно рекомендовать:

• Милнор, Уоллес, Дифференциальная топология, начальный курс. гл. 7 из части, написанной Милнором

• Первые главы книги Коннер, Флойд: Гладкие периодические отображения

• Два параграфа из книги Понтрягина

• С. П. Новиков, Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов. Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:4 (1967), с. 855–951.

• Дж. Ф. Адамс, Стабильные гомотопии и обобщённые гомологии (с добавлениями А. Хаттори и В. М. Бухштабера). М., МЦНМО, 2014.

• D. Ravenel Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres

• Р. Стонг, Заметки по теории кобордизмов (с добавлением В.М. Бухштабера). М., Мир, 1973. 

• Немного шуточная презентация https://math.uchicago.edu/~may/REU2020/AgnesSlides.pdf

• Заметки к лекциям Эберта
  https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/jeber_02/skripten/bordism-skript.pdf

• Заметки к лекциям Х. Миллера
  https://math.mit.edu/~hrm/papers/cobordism.pdf

• Заметки к лекциям Квиллена
  https://math.uchicago.edu/~guaraco/cobordismquillen.pdf

• Лекции Фрида
  https://web.ma.utexas.edu/users/dafr/M392C-2012/index.html

• Видеозаписи лекции Г. Черных
  https://www.mathnet.ru/conf2307

Ключевые слова:

• Теорема Хопфа о гомотопической классификации отображений ориентированного n-мерного многообразия в n-мерную сферу степенью

• Оснащенные многообразия, их бордантность, связь с гомотопическими группами сфер, теория Понтрягина.

• Неориентированные и ориентированные бордизм топологических пространств как экстраординарные теории гомологии.

• Трансверсальная регулярность, пространства Тома, конструкция Понтрягина-Тома.

• Представляющие спектры теорий (ко)бордизмов MO, MSO, MU

• Теоремы Минора-Новикова, Тома и Авербуха

• Характеристические классы в кобордизмах

• Формальная группа, универсальность, логарифм, теорема Мищенко

• Операции Ландвебера-Новикова

• Характер Черна-Дольда в кобордизмах

• Сигнатура как кольцевой гомоморфизм \Omega\to Z

• Род Хирцебруха

• Сигнатура многообразия с краем, теорема Новикова-Рохлина об аддитивности сигнатуры