FECHA: 04/07/2017
Distribución de Bernoulli
La distribución de Bernoulli , es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para la probabilidad de fracaso.
Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.
Su formula es:
DISTRIBUCIÓN BINOMINAL
La distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una Probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad Q = 1 - p. En la distribución Binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para N = 1, la Binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
N= Numero de eventos.
X= Numero de éxitos.
P= Probabilidad de éxito.
Q= probabilidad de fracaso.
F(X)= Probabilidad de tener X éxitos en un numero N de ensayos.
Sus propiedades son:
Media: n.p
Varianza: n.p.q
Desviación típica o estándar: n.p.q
Ejemplo: Se quiere saber cuales la probabilidad de que encontremos 10 basureros dañados de 50 ubicados en el barrio Tamasagra de San Juan De Pasto; se sabe que la probabilidad de que estén dañados es de 15.8%.
N= 50
X= 10
P= 15.8% → 0.158%
Q= 84.2% → 0.842%
50! . 0.15810 . 084.240 = 0.00205
(50-10)! 10!
La probabilidad de encontrar 10 basureros dañados de 50 tomados es de 0.00205%, en distribución Binomial.
Los basureros nos ayudan a mejorar el ambiente de la ciudad disminuyendo las emisiones de CO2 directo a la atmosfera
FECHA: 07/07/2017
La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.
· El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).
· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A
· La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q
siendo (p + q = 1).
Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extracción" éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .
· (Derivación de la distribución). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el número de pruebas necesarias para obtener por primera vez un éxito o resultado A , esta variable se distribuirá con una distribución geométrica de parámetro p.
Obtención de la función de cuantía
De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el número de pruebas necesarias para la consecución del primer éxito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ; í1,2,………ý La función de cuantía P(x) hará corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer éxito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) será la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un éxito o resultado A en la prueba número X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades tendremos:
dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades:
Esta distribución puede considerarse como una extensión o ampliación de la distribución geométrica . La distribución binomial negativa es un modelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinado ensayo o prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vez primera) .Es por tanto de gran utilidad para aquellos muestreos que procedan de esta manera. Si el número de resultados favorables buscados fuera 1 estaríamos en el caso de la distribución geométrica . Está implicada también la existencia de una dicotomía de resultados posibles en cada prueba y la independencia de cada prueba o ensayo, o la reposición de los individuos muestreados.
Proceso experimental del que puede hacerse derivar
Esta distribución o modelo puede hacerse derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que se presenten las siguientes condiciones
· El proceso consta de un número no definido de pruebas separadas o separables . El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables K
· Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A
· La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q . Lo que nos lleva a que p+q=1
· Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento de extracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito.
· (Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el número de pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria x seguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k
Se podría verse como:
que sería la probabilidad de x si el suceso fuera precisamente con los resultados en ese orden. Dado que pueden darse otros órdenes , en concreto formas u órdenes distintos . La función de cuantía de la distribución binomial negativa quedará como :
La distribución Hipergeométrica
Este modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposición de independencia de éste último. Veámoslo:
N = N1 + N2
1) Esperanza: E(X) = n N1 / N 2.
2) Varianza: V(X) = (n N1 N2 (N-n)) / (N2 (N-1) )
1) Esperanza: E(X) = n ´ N1/N
2) Varianza: V(X) = (n ´ N1 ´ N2 (N − n))/(N2 ´ (N − 1))
FECHA: 11/07/2017
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:
Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.
Esta distribución suele utilizarse para contajes del tipo número de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.
Propiedades del modelo de Poisson
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.
3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:
y definimos Z = X1 + X2, entonces, Z ~ P(λ = λ1 + λ2)
Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.
La variable aleatoria discreta mas sencilla, es aquella que tomo sólo un número finito de valores posibles n, cada uno con la misma probabilidad. Ella se denomina valores entonces variable aleatoria discreta uniforme y sudistribucion uniforme discreta está dada por:
f(x) = 1/n
Para una variable aleatoria discreta uniforme X, que puede tomar los valores 1,2, ..., n, la media es:
- En la distribucion de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con idéntica probabilidad.
- El parámetro de la distribucion de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la inversa de los valores que puede tomar la variable aleatoria.
- La variable aleatoria que describe el numero de caras obtenidas al lanzar dos monedas legales sigue una probabilidad de distribución uniforme.
- La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), siempre coincide con uno de los valores de la misma observados en el experimento.
- La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), no depende del numero de valores que pueda tomar la variable.
FECHA: 14/07/2017
Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:
Curva de la distribución normal
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
Su función de densidad es:
Su gráfica es:
FECHA: 25/07/2017
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es:
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro :
Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,
Luego la función de distribución es:
FECHA: 28/07/2017
Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n > 30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:
Consecuencias
1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.
2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.
3.Inferir la media de la población a partir de una muestra.
Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.
1.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.
2.Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese más de 51 kg.
