Resumen. En esta charla usaremos el enfoque Riemann-Hilbert para estudiar ciertas familias de polinomios ortogonales matriciales. Esto nos permitirá encontrar propiedades diferenciales para las familias de polinomios ortogonales matriciales así como para las funciones de segundo tipo. En este estudio, las ecuaciones diferenciales generalizadas de Pearson (i.e. ecuaciones diferenciales matriciales de Sylvester) para los pesos de ortogonalidad, asumen particular importancia. Tomaremos el caso Hermite y Laguerre como ejemplo en dicho estudio. Asimismo, mostraremos como los coeficientes de la relación de recurrencia de ciertas familias de polinomios ortogonales matriciales, variaciones de las de Hermite y Laguerre, satisfacen ciertas ecuaciones discretas de Painlevé. El trabajo que ahora presentamos resulta de una colaboración con Ana Foulquié Moreno (Universidade de Aveiro) y Manuel Mañas (Universidad Complutense de Madrid y ICMAT).

Resumen. En esta charla presentamos algunos resultados sobre el estudio de los polinomios ortogonales Sobolev en varias variables con respecto a un producto interno continuo-discreto que involucra derivadas de orden superior. Si el tiempo lo permite, presentamos ejemplos y resultados adicionales sobre un producto de dominios, el simplex, la bola unitaria y el cono.

Resumen. Polinomios ortogonales en varias variables. La construcción de Koornwinder. Polinomios ortogonales clásicos en dos variables. Armónicos esféricos y polinomios ortogonales sobre la bola unidad.

Resumen. El matemático holandés Thomas Joannes Stieltjes estableció en torno a 1885 que las posiciones de equilibrio de los ceros (o raíces) de polinomios ortogonales clásicos (Jacobi, Laguerre y Hermite) vienen dadas por una función potencial análoga a la utilizada en Física para determinar los puntos de equilibrio de cargas físicas. La diferencia con el problema físico radica solamente en la naturaleza de esta función potencial, que en el caso de cargas es un potencial coulombiano, y en el caso de los ceros de polinomios ortogonales es un potencial logarítmico. Hoy en día sabemos que dicha interpretación la verifican también los ceros de muchas otras familias de polinomios ortogonales.

El esquema de la charla es el siguiente. En la primera parte, haremos una pequeña revisión histórica del origen y naturaleza del problema físico. Compararemos las fuerzas inducidas por un potencial logarítmico y otro colombiano. Daremos un ejemplo de sistema físico real que está sometido a fuerzas inducidas por un potencial logarítmico, y finalmente analizaremos la interpretación electrostática general de la distribución de ceros de polinomios ortogonales como puntos de equilibrio en una interacción de potencial logarítmico, bajo la acción de un campo externo.

Resumen. Desde que Guillermo López Lagomasino, Héctor Pijeira e Ignacio Pérez demostraron que los ceros de los polinomios ortogonales de Sobolev están acotados cuando el operador de multiplicación está acotado, un problema natural ha sido entender los espacios de Sobolev con medidas para poder garantizar la acotación de dicho operador. En esta conferencia intentaremos entender estos espacios y sus propiedades. También se incluirán algunos resultados que hemos probado recientemente en estos espacios.

Resumen. Introducción a la aproximación de integrales definidas mediante fórmulas de cuadratura positivas cuando el integrando es susceptible de ser aproximado por polinomios. Se resaltan aquellas propiedades relevantes que permiten extender las técnicas para integrandos menos bondadosos. Como aplicación, se muestra la conexión con la aproximación Padé.

Resumen. En la conferencia se estudia el Problema de Momento de Hamburger desde el punto de vista de la Teoría de Operadores. Se muestra el papel crucial que juegan los polinomios ortogonales y los operadores de Jacobi en el estudio de este problema.

Resumen. Es bien conocida la relación entre los polinomios Hurwitz (polinomios cuyas raíces se encuentran en el semiplano complejo izquierdo) y algunas familias de polinomios ortogonales. En particular, la parte par de un polinomio Hurwitz puede asociarse con un polinomio ortogonal, mientras que la parte impar puede asociarse con el correspondiente polinomio de segunda especie. En esta charla, expondremos algunos resultados recientes que permiten construir, utilizando sucesiones de polinomios ortogonales, algunas familias de polinomios Hurwitz que han sido aplicadas en el estudio de la estabilidad robusta de sistemas lineales.

Resumen. Se entiende como polinomio extremal al polinomio mónico de grado n con norma mínima. En esta conferencia se presentará una motivación al estudio de la extremalidad con respecto a normas p en espacios de Sobolev. Primeramente se comentará la relación existente entre la noción de norma secuencialmente dominada y la acotación del operador de multiplicación. Estas nociones juegan un papel clave en la localización de ceros de los polinomios extremales con respecto a normas continuas y discretas. Finalmente se discutirán la caracterización del elemento extremal, así como ciertas asintóticas de raíz n-ésima.

Resumen. En esta conferencia se presentará una motivación al estudio de polinomios ortogonales respecto a productos de Sobolev desde la perspectiva de problemas de mínimos cuadrados "suaves" respecto a normas asociadas a vectores de medidas soportadas en la recta real así como a través de sus aplicaciones en el estudio numérico de problemas de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias. El estudio de propiedades analíticas de estos polinomios, en particular propiedades asintóticas y el comportamiento de los ceros, constituirá la segunda parte de la exposición. Finalmente, se presentará una colección de problemas abiertos.

Resumen. El famoso y célebre teorema de aproximación de Weierstrass caracteriza al conjunto de funciones continuas en un intervalo compacto mediante aproximación uniforme por polinomios algebraicos. Este teorema fue el primer resultado significativo sobre teoría de aproximación de funciones a valores reales definidas sobre subconjuntos de R, y tiene un rol clave en el desarrollo de la teoría de aproximación general. En esta charla examinaremos brevemente varias pruebas de este resultado.

Resumen. En esta charla haremos una breve introducción a la teoría de polinomios ortogonales múltiples y su conexión con la aproximación Hermite-Padé. Veremos la extensión a este marco de algunas propiedades mas importantes de los polinomios ortogonales y la aproximantes de Padé.