Marcelo Oliveira Dias (IME - UFBA)
Axioma de Martin e categoria de Baire
Dada a independência da Hipótese do Contínuo dos axiomas de ZFC, surgem diversas perguntas sobre o comportamento dos cardinais não enumeráveis menores que a cardinalidade da reta real. No contexto de categoria, o Teorema de Baire garante que, em espaços compactos e Hausdorff, conjuntos magros (contidos em uma união enumerável de fechados de interior vazio) possuem interior vazio, justificando a noção de que esses conjuntos são topologicamente pequenos. Dessa forma, apresenta-se a questão sobre se em compactos Hausdorff, dado um cardinal não enumerável κ menor que a cardinalidade da reta, a união de κ fechados de interior vazio ainda possui interior vazio, ou se a união de κ magros ainda é magra. O Axioma de Martin é uma asserção combinatória sobre pré-ordens que, de certa forma, diz que os conjuntos não enumeráveis de cardinalidade menor que o Contínuo comportam-se de forma semelhante a conjuntos enumeráveis, e buscamos apresentar como ele dá uma resposta positiva a ambas as perguntas anteriores.
Michel Viana Smykalla (IME - USP)
Uma Abordagem Categórica para Operadores Modais
A apresentação será baseada no artigo "Topos-Theoretic Approches to Modality" de Gonzalo E. REYES e Houman ZOLFAGHARI. O artigo apresenta uma generalização de duas formas de definir os operadores modais de necessidade (\Box) e possibilidade (\Diamond) utilizando uma abordagem via teoria de topos. Durante nossa conversa, apresentaremos a construção desses operadores via morphismo geométrico, algumas consequências imediatas das definições, bem como a caracterização do morphismo geométrico de tal forma a garantir a existência dos operadores e exemplos.
Pedro Lucas Santos dos Reis (IME - UFBA)
A Lógica Modal Clássica: As noções de completude e
correteza na semântica de Kripke
A lógica Modal é uma dentre tantas outras lógicas que surgem a partir das limi- tações da lógica clássica. Nela temos essencialmente o acréscimo de operadores (unários) chamados de operadores modais. Diversas são as lógicas modais, entretanto temos, em destaque, a clássica, a regular e a normal. Cada uma dessas lógicas é caracterizada por uma regra, além do modus ponens : Uma lógica L é dita clássica sse A ↔ B ∈ L implica □A ↔ □B ∈ L e é dita regular sse A → B ∈ L implica □A → □B ∈ L. Especicamente a lógica normal é denida por conter toda fórmula que é instância do axioma distributivo e é fechada pela regra de necessidade. Existe uma menor lógica normal, denominada lógica K, e ela é essencial para o estudo de extensões axiomáticas. A semântica própria para a lógica é a semântica de Kripke. Nela trabalha-se com um conjunto M de mundos possíveis, uma relação binária R em M e funções de avaliação e. Dado isso, denimos os frames (M, R) e modelos (M, R, e) e com isso podemos tra- balhar com a noção de validade de fórmulas em modelos e frames. Denimos a partir de uma classe de frames C e de uma lógica L: A lógica L(C) advinda de C é o conjunto de todas as fórmulas válidas em todos frames de C; E a classe de frames C(L) advinda de L é a classe de todos os frames que validam todos teoremas de L. Daí então pode-se trabalhar com a noção de completude e correteza em lógica modal, que na semântica de Kripke tem duas perspectivas. Uma é com respeito a uma classe de frames: diz-se que uma lógica L é completa e correta com respeito a uma classe de frames C se L = L(C). A segunda noção de completude é mais restrita e diz respeito à lógica ser completa de maneira absoluta: diremos que L é completa se L = L(C(L)).
Robert Lima (FFCH-UFBA)
Descrições Definidas, Lógicas Livres e os Enigmas de Frege-Russell
Em 1905, Russell publicou o seu célebre On Denoting. Nesta obra, Russell argumentou que sentenças onde descrições definidas ocorrem possuem uma forma lógica distinta e mais complexa do que a sugerida pela sua forma gramatical. Parte fundamental da defesa de sua tese é a consideração das dificuldades enfrentadas por uma teoria que aceite a forma lógica aparente de sentenças onde descrições definidas ocorrem. Em On Denoting, tais dificuldades foram sistematicamente apresentadas através da formulação de cinco enigmas lógicos-semânticos. Portanto, é graças à suposta capacidade de solucionar os enigmas que a preeminência da tese advogada nessa obra lhe é concedida. Posteriormente, em 1910, Russell e Whitehead publicaram conjuntamente a primeira edição do Principia Mathematica. Parte deste trabalho é o desenvolvimento de uma teoria formal das descrições definidas. Grosso modo, em Principia Mathematica, descrições definidas são introduzidas numa linguagem formal como símbolos incompletos (da forma ιxαx), i.e., símbolos que não possuem significado isoladamente. Outras abordagens para as descrições definidas já foram exploradas na literatura. Dentre essas, a teoria livre russelliana das descrições definidas. Tal teoria caracteriza-se por preservar as principais características técnicas da teoria das descrições definidas desenvolvidas por Russell e Whitehead no Principia Mathematica, mas fundando-se em sistemas lógicos não- clássicos denominados lógicas livres negativas. A pesquisa aqui proposta visa estudar e comparar as características conceituais e técnicas de ambas as teorias, utilizando os enigmas apresentados em On Denoting como suas principais ferramentas avaliativas.
Palavras-chave: Descrições definidas. Forma lógica. Lógicas livres. Enigmas.